双曲线、椭圆平行弦性质再探究

文[1]给出了双曲线平行弦的两个优美性质:性质1如图1,过双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=12|AR|·|AQ性|.质2如图2,MN是过双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP∥MN,则|OP|2=2a|MN|.文[2]类比探     

圆锥曲线平行弦性质探究

文献[1]给出了双曲线平行弦的2个优美性质:性质1过双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)顶点A的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP与AQ平行,则|OP|2=21|AR|·|AQ|.性质2MN是过双曲线x2a2-by22=1(a>0,b>0)焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP与MN平行,则|OP|2=2a|MN|.在此基础上,笔者对椭圆与抛物线的平行弦做了探究,有些结论令人惊喜.图1定理1如图1,过椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)顶点A的弦AQ交y轴于点R,过椭圆中心O的半弦OP与AQ平行,则|OP|2=21|AR|·|AQ|.证明设OP的参数方程为x=tcosα;y=tsinα,(α为倾斜角,t为参数)将x,y代入椭圆方…     

双曲线平行或垂直弦的性质再探

笔者在文[1]推出了如下两个性质:性质1过双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的焦点F作一直线交双曲线的左、右两支于A,B两点,此时存在过双曲线中心O的半弦OC∥AB,使得a|AB|=2|OC|2.性质2过双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的焦点F作一直线交双曲线的左同一支于A,B两点,此时存在过双曲线中心     

椭圆平行弦的两个性质

性质1如图,过椭圆22ax2 by2=1(a>b>0)的顶点A的弦AQ交y轴于点R,过椭圆中心O的半弦OP//AQ,则OP2=12AR?AQ.证明:设直线AQ的倾斜角为α,则直线OP的参数方程为:cos,sinx ty tαα???==(t为参数),直线AQ的参数方程为:cos,sinx a ty tαα???==? (t为参数).依题意,可得:22222t P???coasα sinbα???=1,(1)?a t Rcosα=0,(2)b2(?a t Q cosα)2 a2(t Q sinα)2=a2b2.(3)由(1)得:2222P2cos22sin2OP ta b==bα aα,由(2)得:AR=t R=coasα,由(3)得:22222cosQcos sinAQ tabb aα==α α,∴OP2=12AR?AQ.性质2如图,MN是过椭圆22ax2 by2=1…     

双曲线的一个性质及应用

圆锥曲线有很多奇妙的性质．下面我们来探讨一下双曲线的一个性质及其应用．性质:A是双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的一点,l1、l2是它的两条渐近线,作AB∥l2交l1于B,AC∥l1交l2于C,则|AB|·|AC|为定值．     

椭圆两条垂直弦的一个有趣性质

本文介绍椭圆中的两条垂直弦的一个有趣性质,并说明其应用. 性质 MN是经过椭圆b~2X~2 a~2y~2a~2b~2(a>b>0)焦点的任一弦,若过椭圆中心O的半弦OP⊥MN,则 证明 以椭圆左焦点F为极点,Fx为极轴建立极坐标系,则椭圆方程为户=     

抛物线平行弦的三条性质

<正>文[1]给出了椭圆及双曲线平行弦的若干性质,阅读之后,受到启发,笔者经探究后发现了抛物线平行弦的三条性质,现与读者分享．如图1,过抛物线y²=2px(p>0)的对称轴上任意一点A(m,0)(m≠0)作倾斜角为θ的直线AM交抛物线于M,N两点,又过抛物线顶点O的弦OP∥AM,则性质 １　■．     

椭圆中的几个优美性质

笔者最近研究发现了椭圆中的几个性质,现介绍给大家． 性质1若MN、AB分别为过椭圆（或双曲线）焦点和中心的弦,若MN∥AB,则｜AB｜^2：｜MN｜为常数．     

有心二次曲线直心角的性质及其应用

从椭圆、双曲线的中心O作两条互相垂直的半径OP、OQ,我们称∠POQ为有心二次曲线的直心角.本文探讨它的性质及其应用. 命题1 若直线l:Ax+By=1与椭圆x2/a2十y2/b2=1(a>b>0)交于P、Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),则(1)1/|OP|2+1/|OQ|2=1/a2+1/b2=A2+B2;(2)|PQ|=     

双曲线的一个性质及其应用

2007年高考数学陕西卷理科第7题(文科第9题)为:已知双曲线C:ax22-by22=1(a>0,b>0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径为()A.a B.b C.ab D.a2 b2本文将给出由该题引申出的双曲线的一个性质.性质已知双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与渐近线交于A、B两     

双曲线焦半径公式的应用

命题F1(-c,0)、F2(c,0)是双曲线C:ax22-by22=1(a>0,b>0,c2=a2 b2)的2焦点,P(x0,y0)为C上的一点,我们称|PF1|、|PF2|为双曲线的焦半径,则|PF1|=±(a ex0),|PF2|=±(ex0-a),(e=ac为离心率).当点在双曲线的右支上时取“ ”,当点在双曲线的左支上时取“-”.河北证明以点P在双曲线右支上为例,设点P在双曲线左准线上的射影为Q,d=|PQ|=ac2 x0,由双曲线的第2定义有:||PPFQ1||=e,r1=|PF1|=ed=a ex0,同理(或再由双曲线的第一定义)有:r2=|PF2|=r1-2a=ex0-a.从双曲线焦半径公式的推导过程不难看出:焦半径公式就是双曲线定义的浓缩,应用焦半径…     

双曲线切线的几个优美性质

文[1]给出了椭圆切线的几个典型性质.受其启发,笔者探究了双曲线切线的一些性质.定理1双曲线的任意一条切线与切点处的两条焦半径所成角相等.图1证如图1,设双曲线方程为x2a2-by22=1(a>0,b>0),不妨在双曲线右支上任取一点为P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0)为左右焦点,离心率为e,则|PF     

圆锥曲线的两个性质

本文给出圆锥曲线的两个性质,并举例说明其应用.性质1:圆锥曲线与过定点的直线相交于A、B两点,过A、B两点的两切线的交点在同一直线上.例1对于双曲线22ax2-by2=1(a>0,b>0),若过     

有关圆锥曲线定长弦的轨迹问题

《数学题解辞典·平面解析几何》(上海辞书出版社)题730是:过椭圆22ax2 by2=1(a>b>0)的长为2d的弦的两端点作切线,求证此两切线的交点轨迹方程为2222d(ax2 by2)=(ab2y22 ba2x22)(ax22 by22?1).本题给出了椭圆的定长弦两端点的切线交点的轨迹方程,本文先探讨双曲线、抛物线的类似结论,进而探讨定长弦中点的轨迹方程.我们把上述结论作为命题1,类似地,有命题2过双曲线22ax2?by2=1(a>0,b>0)的长为2d的弦的两端点作切线,则此两切线的交点轨迹方程为2222d(ax2?by2)=?(ab2y22 ba2x22)(ax22?by22?1).证明设弦的两端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),过A、B…     

双曲线渐近三角形性质再探

定理1 已知直线l是过双曲线X2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的点P(x0,Y0)的切线,直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点,则称△OAB是双曲线的渐近三角形,渐近三角形有如下性质……     

焦点直角三角形——久经不衰的高考热点

定义椭圆或双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫做焦点三角形;有一个角为直角的焦点三角形叫做焦点直角三角形．为了减少篇幅和方便叙述,先介绍几个一般性结论．性质P是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>c≥b>0,c是半焦距)或双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0,c是半焦距)上的一点,O是原点,E,F是椭圆     

反比例函数的性质及应用

反比例函数具有如下十分浅显而又很有价值的性质:(1)对于双曲线y=kx(k≠0)上任一点P(x0,y0),恒有x0y0=k(k为定值);①(2)在(1)中过点P(x0,y0)作PA⊥x轴于点A,作PB⊥y轴于点B,O为坐标原点,PA=BO=|y0|,PB=OA=|x0|.则S OPA=12|k|,②S矩形OAPB=|x0|·|y0|=|k|.③下面举例说明其在解题中的应用.例1若双曲线y=-6x经过(m,-2m),则m的值为()(A)3(B)3(C)±3(D)±3解由性质(1),得m(-2m)=-6,m2=3,所以m=±3,故应选C.例2一定质量的二氧化碳,当它的体积V=5m3时,它的密度为ρ=1.98kg/m3.(1)求ρ与V的函数关系;(2)求当V=9m3时二氧化碳的密度;(3…     

一道高考题的解后探究

2007年全国高考浙江卷理科第9题(以下称问题)是:已知双曲线x2-a2-y2-b2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是准线上一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4ab,则双曲线的离心率是(). (A)√2 (B)√3 (C)2 (D)3     

椭圆焦点弦长度的妙用

经过椭圆焦点的直线与椭圆相交于 M、N 两点,线段 MN 叫做椭圆的焦点弦.它的长度公式如下:MN 是椭圆 b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)的焦点弦,若 MN 的斜率为k,则|MN|=(2ab~2(k~2 1))/(a~2k~2 b~2)(1)MN 是椭圆 b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)的焦点弦,若 MN 的倾斜角为θ,椭圆的半焦距为 c,则     

反比例函数y=k/x(k≠0)中k的意义

一、比例系数k的几何意义 如图1,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AB、AC,则S矩形ABOC=AB·AC=|y|·|xy|=k.S△ABO=1/2|k|. 证明:∵y=k/x,∴xy=k,∴S=|k|. ∴S△ABO=1/2|k|. 二、应用举例 1.求面积 (1)直接利用k的几何意义求面积 例1一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(-1,-4),B(2,2)两点,P为反比例函数y=kb/x图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为() A.2.B.4.C.8.D.不确定.