黎卡堤方程的几种可积类型

刘维尔早已证明黎卡堤方程在一般情况下,不能用初等解法求解．本文给出几类特殊的黎卡堤方程的初等解法．定理1黎卡堤方程y一川X灯’十以X）y＋wt（。）,其中P,Q,R’EC,mEC,且满足条件P（x）R’（x）＋Q（x）R（x）＋（m－l）R’（x）＝0时,则方程可积,其通解为证明：令y＝X＋B（X）,代入方程后可得此为贝努利方程,积分此方程得代回原来变量,即有y＝X＋R（X）为原方程的通解．定理2黎卡堤方程y＝P（x灯‘＋Q（x）y＋R（x）,其中P、Q、R6C,且满足条件n。‘P（x）十忡（X）＋R（X）＝0,则此方程可积,其通解为y“u…     

一类三次非齐次条件不等式的证明

一类三元三次非齐次条件不等式的证明题,屡见于数学竞赛试题或数学征解问题中,颇具难度,传统证明方法较为繁琐,目前尚未见证明通法的报道．有鉴于此,笔者作了一些探索,总结出一种证明方法,并就教于专家、读者．定理1设x,y,z∈R＋,且x＋y＋z＝1,则以上三个定理可用平均不等式证明,此处略去．我们指出：（1）Z,y,Z也可以是非零实数;（2）定理1,2,3还可以综合为l巧用定理三～3证明三次非齐次不等式创1设凸ABC的三边为a,b,c,且a＋应当指出,对于题没条件为Z＋y＋Z一天＞0,可作变换Z一kZ‘,y一切’,Z一bZ’,从而得…     

与变限积分有关的一类问题的求解

一、变限积分及其导数设函数／（x）在区间[a,b]上连续,x为区间［a,则上的任意一点。由于八X）在区间,[b]上连续,因而在卜,XI上连续。因此定积分If（Odt存在。这个变上限的定积分叫做变上限积分。由于对每一个XE,则变上限积分V（Z）a都有一个确定的值与之对应,因此它是定义在卜,b］上的函数。定理如果函数f（x）在区间,[a,b]上连续,则变上限积分V（2）对上限X的导数,等于被积函数的上限X处的值,即包j（t）dt＝f（1’）。该定理建立了导数与积分的联系,证明了连续函数存在原函数,并且指明变上限积分If（t）dt就是f（X）…     

漫谈用换元法分解因式

我们知道，因式分解的基本方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法．除此之外，还可用换元法分解因式．用换元法分解因式，关键在于把多项式的某一个部分看作一个整体，并用新的变元代替它，从而将多项式简化，使之能用基本方法分解因式．例1分解因式：（x-2y）2－4（x-2y）－5．解设x-2y＝z，则原式＝z2－4z－5＝（z－5）（z十1）．将X一X一如代入上式，得原式一（x一如一5）（X一如十I）．例2分解因式：什’－3X）’－2（X‘－3X）一民。分析若展开后再用分组分解法分解因式，则变形相当困难；若把（X‘－3X）看作一个整…     

涉及三角形和点的一个不等式及应用

1913—1914年，T.Hayashi建立了一个极为重要的不等式:当且仅当△ABC为锐角三角形且P为其垂心时或P为△ABC的一个顶点的等号成立．在探讨不等式（1）的推广形式的过程中，笔者发现了下述深刻而有用的．定理设x、y、z为满足x＋y＋z＞0，yz＋zx＋xy≥0的实数，a、b、c为△ABC的三边，则对△ABC平面上任一点P有当且仅当为锐角三角形且P为其垂心时或a~2x＝b~2y，z＝0且P＝C时等号成立．为证定理，我们尚需用到杨学枝1987年建立的一个代数不等式（参见文[2]），即引理设x、y、z、x’、y’、z’为满足x＋y＋z＞0，x'＋y'＋z'＞0，yz＋zx＋…     

一类线性微分方程解复振荡结果的综述

本文讨论二阶方程f“ (R1(Z)e^P1(z) R2(Z)e^P2(z) Q(Z)f=0，（其中P1（Z）＝ζ1Z^n ……，P2（Z）＝ζ2Z^n为非常数多项式。R1（Z）≡0,R2(Z)≠0，Q（Z）为级小于n的整函数）在ζ1／ζ2的条件下，任一非平凡解的零收敛指数。     

对称区域上积分的性质

众所周知．若函数f（x）在闭区问卜ala）上连续，则有定积分的这～性质常常使积分简化，这在Fouler级数中求Fourier系数时已有体现，现将这一性质推广到多元函数的积分中去。为了叙述上的简便，不妨将重积分和第一型线、面积分统一记为l’（M川Q，、、—、————，，·，——－“QMEQ．若Q是平面区域D，则表示二重积分；若Q是三维空间区域V，则表示三重积分；若Q是曲线L，则表示第一型曲线积分；若Q是曲面2，则表示第一型曲面积分，于是有定理设积分＼f（M）dQ满足“Q（）Q可分为对称的两部分Q；和Q。，点MEQ；的对称点M，EQ。…     

伴随矩阵的一个性质

【定理】设A是n阶矩阵，P和Q是n阶可逆矩阵。若PAQ＝B则B*=|PQ|Q－1A*P－1，这里的A*和B*分别是A和B的伴随矩阵。其次令P是消法矩阵因为每一个n阶可逆矩阵，包括换位矩阵都可以化为若干个上述两种矩阵的积。所以对任一可逆矩阵民若PA＝B，则B”。IPA”P－‘．类似地可以证明，Q是可逆矩阵，若AQ＝＝B则B“一闪闪”‘A．。现在设P，Q是可逆矩阵，PAQ＝B令PA二B，B；”二IPIA”P－‘，B二PAQ＝B；Q，则B”＝［Q·Q’‘B；“＝IQIQ”·！PA”P”‘＝IPQIQ－‘A“P－‘作为定理的特例，有如下的【命题1】A是n防矩…     

一个代数不等式的证明

《中学教学月刊》1999年第10期《一组三角形不等式的代数本质》一文中，有一个留待探讨的不等式，本文利用＜b，m＞0）给出其证明．若x，y，zR＋，xy＋yz＋zx=1，则8x2y2z2＞（1－x2）（1－y2）（1－z2）．证明（1）x＞0，y＞0，z＞0，xy＋yz＋Zx=1，x，y，z三个数中至多有一个数不小于1（若有两个数不小于1，则与xy＋yz＋zx=1矛盾）．从而原不等式左边＞0，右边＜0，不等式成立．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，由即4ZJ）r＞（1一人（1－Z勺．同理可证，勿’xz＞（1－X勺（1－X勺，4X’ry＞（1－X勺（1－y）三式相乘得4’X、‘X‘…     

高考数学模拟训练题

一、选择题1．已知集合P＝｛（x，y））｜x＝y｝，Q＝｛（x，y）｜x2＝y2｝，则有（）。（A）PQ＝P（B）PUQ＝P（C）POQ＝l（D）PUQ＝R2．如下图所示，①、②、③三个图像各表示两个变量X，y的对应关系，则有（）。（A）都表示映射，且②、③表示r关于X的函数；（B）②、③表示     

一初等最优问题的矩阵证明

一个三角形当其周长为定值时,它的面积最大者为正三角形．这一命题的证法很多,本文绘出一个用矩阵证明的方法．设三角形的周长为L,三边长分别为X,y,Z,其面积为X,y,Z的函数,记为S（X,y,X）,这里X＞0,y＞0,Z＞0且X＋y＋Z＝L．－．面用等周的线性变换设最初三角形三边长为X。,yo,Z。,作下列线性变换由平面几何常识知,有S（x。,Y。,z）＜s（x;,y;,z）＜s（x。,y。,z）＜s（x。,y。,z）且Xi＋yi＋Zi—L（i＝0,1,2,3）故上述线性变换保持三角形周长不变且使三角形面积增加,称其为面增等周线性变换．合并…     

关于几个初等数学命题的积分证明

在师范院校的《数学分析》教材中,用定积分证明了圆的周长和面积公式。事实上,在初等数学中,可以用积分理论来证明的命题是很多的,而且同一个命题可以有多种证明方法。一、圆的周长和面积的计算例1求半径为R的圆的面积S。这个问题既可以用定积分的方法,也可以用二重积分的方法求解。这里用第二型曲线积分求解。解取P（X,y）—－y,Q（X,y）一X,由格林公式知：圆域D：X’＋y’＜R’的面积为：其中闭曲线C为区域D的边界,即圆周X’＋y’一R’,C的方向取正向（如图1箭头）。取C的参数方程为x—Rocs6,y。Rsins,（0＜8＜2。）…     

高斯公式的应用

设矢量场A=Pi Qj Rk的各分量P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在由闭曲面S所围的区域Ω内有一阶连续偏导数,则有高斯—奥斯特洛格拉斯基公式这个公式建立了曲面积分与重积分之间的联系。有了这个公式,曲面积分和重积分不再被孤立地加以研究,而可以从它们之间     

关于广义Riccati方程的可积条件——与赵临龙先生商榷

指出《科学通报》1998年第1《Riccati微分方程一个新的可积条件》中的错误并给出正确结论，即方程y’=P（x）y^n＋Q（x）y＋R（x）的可积条件不是R=K’Pe^n∫ （Q-βD）dx（K＇β为常数），而是[Q-1-n（R＇/R-P＇/P）]^n／PR^n-1=r（r为常数）．给出了满足这一条件的方程的通积分；推广了该方程原有的可积条件R=KPe^n∫Qdx（K为常数）．     

计算机数学基础(A)综合练习

1填空题1）点A（3,1,-2）与点B（4,3,-4）之间的距离是__2）函数z=1/lnxy的定义域是__。（3）设z=x2y,则4）二元函数z=x3-4x3y2+5y4,5）已知积分区域D={（x,y）||x |≤1,|y+1| ≤1},二重积分在直角坐标系下化为累次积分的结果是__。6）累次积分改变积分次序后成为__。7）已知积分区域D={（x,y）|x2+y2≤R2},根据二重积分的几何意义可以得出     

Lagrange定理证明的极值方法

微分中值定理是微分学研究的重点和难点，每当学生学习到此都感到十分头疼，尤其是对于拉格朗日定理的证明，更是不好琢磨．对此有不少数学工作者潜心研究，已经获得了许多证明方法．本文也将给出一杯新的证法，供读者参考．toaranue定理设函数v一以X）满足：1．在动小〕上连续；已在〔a，Q内可导．则在〔a．b刀q至少存在一点e，使得分析；如图所示。假设P（X，：y’）为的线y—f（X）上任一点，则点P到直线AB的垂直距离函数d（X）的极值点即为所求的．．＿．＿＿＿．、，。＿，，。、、、，、＿。‘．至LD）】辽a显．＿‘．＿、。t＿…     

z~n a/(z~n)∈R的一个充要条件及应用

}在各种数学资料及各级检测试题中,频频出现“丫十丢eR’’这一条件的复数题下面给出“扩 于任R”的一个充要条件,为处理这类问题提供一个解题模式. 定理:设z为非零复数,实数a>o,n任N,则扩十合任R的充要条件是}“丫万isino)或I,(z”)一0(I,(二)表示复数z的虚部). 证明:设z一r(cos0 (r>0),则二十共- 艺尸(cos,:0 ‘s‘n7:0) 号‘cos,:0一,s‘nn“, 二二Z万二._.,10 .102一 若lzf一们。,”1!‘十管一‘十褂一‘十‘·设二一二十,‘,则1<2二簇。。冬<二(3.又二, ,,- ’了‘”-一~一2、一~一’--一10且x,y是整数,.,.x一1,y一士3或x一3,y~士1.…     

高考数学模拟试题（二）

一、选择题1．已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛y｜y2＝x－1，XA｝，则A与B的关系为（）。A．A＝BB．ABC．ACBD．A6B2．对于任意XE「O，1」，函数人X）＝X‘与其反函数广‘（x）的相应函数值之间的关系为（）。A．f00＜f‘00B．f。）＝f’00C．入X）。广‘（X）D．入X）一厂’（X）3     

一道颇有启发性的错题

初三总复习时,笔者在某重点中学的一份中考适应性模拟试题中看到一道题：如图,已知M和N外切于点P,AB分别切两圆于点A和点B,△APB的周长为20,面积为30,求点P到AB的距离．学生的解法如下：解过点P作M和N的公切线PT,交AB于T．由切线长定理知TA＝TP＝TB．从而知APB＝q尸．故rtAPB为直角三角形．设AP＝x,BP＝y,AB＝z,依题意得由（1）式可得RgZ‘＋／＋Zxy＝400－4（）＋Z‘．再将（2）、（3）代人上式,得ZZ＋120＝40O40z＋／．因此得z＝7·再设点P到AB的距离为h,则步拟一刀．2”一—一＿,6060故h＝”一警．””…     

W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…