自然数集及其性质

人类最早认识的数就是自然数,在理论上研究数的概念,首先需要建立关于自然数的理论。自然数是人类最早认识的数,但在中小学教学中很少有人对它进行证明的教法,但作为教师理应掌握其实质,文章就自然数的两种理论(基数理论和序数理论)做以探究。     

零是自然数引起的思考

本就中学教学中从零是自然数这一理论引发对自然基数、自然数序数理论以及集合、数学归类的思考，并对相关理论提出自己的观点。     

自然数公理系统的科学意义

在自然数理论中,皮亚诺公理系统把“0”、“自然数”、“后继数”(记号为“′”)作为原始概念,用下述五条公理作为发展自然数理论的最根本的命题: Ⅰ.0是自然数; Ⅱ.自然数n的后继数n′是自然数; Ⅲ.如果b、c是自然数a的后继数,则b、c是相等的;     

《算术》第一章整数的学习辅导

一、本章的教学目的要求 1.明确自然数的产生过程。能从自然数的基数理论与序数理论两个方面理解自然数的意义。明确自然数列的概念、性质及零的意义。掌握用十进制读、写整数的原则与法则。 2.掌握用自然数的基数理论与序数理论分别定义的加法,并理解这两种定义的加法运算最后都可以归结为数数。所以两种定义有着本质上的沟通。掌握整数减法、乘法、     

"0"作为自然数后应作哪些相应补充

自然数集是日常生活中应用最为广泛的一个数集 ,它既可以用来清点数目的多少 ,也可用来编排顺序 ,也就是说点数或排序的结果都是自然数 .数学上据此形成了两种自然数理论 :基数理论和序数理论 ,而这两种理论都是在零不是自然数的前提下给出的 .现在将“0”作为自然数后 ,[《中华人民共和国国家标准》(ＧＢ310 0— 310 2— 93)规定 :自然数包括 0 ]这两种理论皆有必要作相关补充 :1　基数理论下的有关补充集合论的创始人康托尔 (Ｇ·Ｃａｎｔｏｒ)指出 :如果一个集合能够与它的一个真子集建立等价关系 ,这个集合就是无限集 .据此有以下定义 :…     

音同意不同

【第105题】自然数的基数意义和序数意义有什么不同？（浦城县实验小学尹隆茂老师整理） 【解答综述】关于自然数的理论有两种,一种是基数理论,一种是序数理论。     

设计『过程』,理解概念本质——以刘延革老师执教的『小数的意义』为例

直觉主义的先驱克罗内克尔曾说:上帝创造了自然数,其他的数都是人造的玩意儿.确实,很长一段时间,人们只承认自然数是"数",自然数是从计算有限集合的元素的个数过程中抽象出来的,自然数的理论是整个数学大厦的基础.日常生活中存在大量需要计数个数的量,因此人们能够朴素地理解自然数.     

自然数幂和通项公式证明的新方法

针对自然数幂和问题,利用多项式和矩阵理论,得到了一种计算自然数幂和通项公式的方法,给出了该方法的具体推导过程．此方法的优点是将自然数幂和问题转换为了线性方程组求解问题,更浅显易懂．     

设计“过程”，理解概念本质——以刘延革老师执教的“小数的意义”为例

直觉主义的先驱克罗内克尔曾说：上帝创造了自然数．其他的数都是人造的玩意儿。确实,很长一段时间,人们只承认自然数是“数”,自然数是从计算有限集合的元素的个数过程中抽象出来的,自然数的理论是整个数学大厦的基础。日常生活中存在大量需要计数个数的量．因此人们能够朴素地理解自然数。但在现实生活中．我们不仅要数单个的对象（离散的量）,而且也需要度量像长度、面积、质量和时间这样的量（连续的量）。     

《数学》第四讲 数集(二)——有理数

由于人类社会实践的需要,数集在不断扩展。本文将按下述的逻辑顺序,把扩大自然数集扩展到有理数集,建立有理数的理论。 自然数集N→添加零→扩大自然数集 N_0→添加正分数→算术数集 Q_0~+→添加负整、分数→有理数集Q。     

“0”作为自然数的两个基本问题

目前，我国所有数学出版物，包括各类数学新教材，都把自然数集记为N={0，1，2，3，…}非零自然数集记为N (或N。)={1，2，3，…}。这就是说，今后要把数…0’作为自然数，第一个自然数是0而不是1。由此看来，这就不仅仅是一个数学符号的改变，而是对自然数及其相关理论要进行一次重新认识。故此有两个基本问题需要澄清：     

自然数的等差分拆

把自然数表示成自然数等差数列之和的形式,本文称为自然数的等差分拆.在对自然数的等差分拆研究中,运用计算机作为辅助,经编辑程序,输入30以内自然数运行程序,获取了数据.然后,对数据的分类处理、观察归纳,并经猜想、论证得出几个基本结论.具体如下:     

自恋数

自然数有许多奇妙的性质,曾留下许多扑朔迷离、悬而未决的问题,构成了数论朗理论。在自然数家族中,还有一类正整数,它们的各位数字的立方和与其本身相等,这样的数叫做“自恋数”.如     

一个命题的再推广

文 [1 ]将命题 :对任何自然数n ,存在自然数m ,使得(2 - 1 ) n=m +1 -m作如下推广 :1 .对任何自然数p、n ,存在自然数m ,使得(p +1 -p) n=m +1 -m .2 .对任何自然数n、p、r,存在自然数m ,使得(p +r -p) n=m +rn-m .笔者将此命题再作如下推广 :1 .对于任何自然数n ,存在自然数m ,使得(2 - 1 ) -n=m +1 +m .2 .对于任何自然数p、n ,存在自然数m ,使得(p +1 -p) -n=m +1 +m .3 .对于任何自然数n、p、r,存在自然数m ,使得(p +r -p) -n=m +rn+mrn .下面证明推广 3 .证明 :因为 (p +r -p) n(p +r -p) -n=1 ,而由文 [1 ]知(p +r -p) n=m +rn-m .所…     

从公理化视角看待自然数及其算术运算

重温了意大利数学家皮亚诺的自然数公理系统,认真研习并解读了自然数公理化的定义,并在自然数基本定义和公理的基础上,运用数学归纳法,对自然数加法和乘法的基本运算进行了例证,从而探讨皮亚诺自然数公理系统在高中数学教学中的意义.     

数学“麻辣烫”

（三）有趣的“3x＋1”问题 从任意一个自然数出发，按照确定的规则得到另一个自然数（它与原先的自然数可以相同，也可以不同），我们称此为对自然数施行了一个变换．例如，只要你随意说出一个自然数x，利用这个自然数，我们可以构造一个新的自然数y，方法如下：     

自然数序数理论中的几个问题——与《初等代数研究》作者商榷

本文指出余元希等所著的《初等代数研究》中关于自然数的序数理论的定理 1(自然数的加法是唯一存在的 )证明不妥 ,定理 13(最小数原理与归纳公理是等价命题 )及其证明是错误的 ,并提出了修改意见     

自然数的等比分拆

自然数的等比分拆陕西华阴黄河工程机械厂中学李建章文［１］、［２］论述了自然数的等差分拆，本文给出自然数等比分拆的充要条件，从而得出分拆自然数为等比数列之和的方法．定义把自然数表示成自然数等比数列之和的形式，叫做自然数的等比分拆．公比为１的等比分拆，称...     

任意一个大于6的偶数都可以表达为至少一组两个素数之和

本论文是通过对自然数的合理列表,寻求出了能快速定位任意大不同自然数(全体奇数、偶数、质数、合数)所在位置,进而推导出文中的通项公式(4),通过计算和分析,找出了自然数之间有趣的关系。     

紧致性定理在群论中的应用

文章用模型论中的紧致性定理证明了若L中理论T有任意可数阶的Abel群模型,则T有无扭Abel群模型;若一个语句φ在任意一个无扭Abel群中真,则对任意大的自然数n,存在自然数m>n,使φ在m阶Abel群中真.最后证明了无扭Abel群不能有限公理化.