应用对称性解题例说

一利用已知对称关系及其结论化繁为简例1 已知两曲线 y=kx 1和 x~2 y~2 kx-y-4=0的两个交点关于直线 y=x 对称,求两交点坐标.解:因两曲线的两交点关于直线 y=x 对称,则直线y=kx 1和直线 y=x 垂直.故 k=-1.解方程组(?)得两曲线交点为(2,-1)和(-1,2).     

从一道习题的解答,看学生的思维能力

习题:已知曲线C_1:5x~2+9y~2=45,C_2:y~2=x+m,问当m为何值时C_1和C_2相交,(1)有一个交点;(2)有二个交点;(3)有三个交点;(4)有四个交点.这个习题是关于曲线间的交点问题,所以学生较多地用图象法解答:因为C_1是一个椭圆,方程是x~2/9+y~2/5=1;C_2是拋物线,所以由图象易知(1)当m=-3时,C_1和C_2有一个交点;(2)当m=109/20(C_1和C_2相切的条件),或-3相似文献   

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道:过两曲线c_1:f(x,y)=0;c_2:g(x,y)=0的交点(如果存在的话)的曲线系方程为:f(x,y)+λ-g(x,y)=0(λ为参数)。在进行高三数学综合复习时,使学生能够熟练地使用曲线系方程来解决问题,对培养解题的能力是大有好处的。下面举例说明在教学大纲的范围内的一些应用。例1:已知两条相交曲线:x~2/16-y~2/9=1和x~2/25+y~2/9=1,试证:(1) 这两条曲线的交点在椭圆2x~2/41+y~2/41=1上;(2) 有无穷多条双曲线过这两曲线的交点。此题若按一般解法,求交点,再代入椭圆方程检     

巧设方程 避免疏漏

高中《平面解析几何》第99页有这样一道题: 题 过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1、y_2,求证:y_1y_2=-p~2。 教学参考书(人民教育出版社)上的解答如下: 设过焦点的直线为y=k(x-p/2)(k≠0),即     

错在哪里

1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0.     

构造直线和圆有交点解题

构造直线和圆有交点,利用点线距离公式可以简洁地解答不少问题. 例1若实数x,y适合方程x2+y2-2x-4y +1=0.那么代数式y/x+2的取值范围是____. 解:令y/x+2=k,则直线kx-y+2k=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4有交点,所以|k-2+2k|/(k~2+1)~(1/2)≤2 解得0≤k≤12/5,故y/x+2∈[0,12/5]. 例2求函数y=sinx/2-cosx的值域. 解:由原函数式得ycosx+sinx-2y=0. 令u=cosx,v=sinx,则直线yu+v-2y= 0与圆u2+v2=1有交点,所以+-2y|/(y~2+1/~(1/2))≤1.     

解题中的似是而非

在解数学题时,常会想到用类似的题日的解法去解,但是,搞得不好,却会铸成大错,例如例题:从时刻t=0开始,曲线F_1:x_2/a~2+y~2/b~2=1的中心以速度v沿直线y=-x向左上方平行移动,曲线f_2:x~2=- 顶点以速度v沿直线y=x的左下方平行移动,问经过多少时间后,两曲线开始分离. 当我们看到这个问题后,就想起直线和圆从相交到相离的问题.即从相交(两个交点)到相离(没有交点)必经过唯一支点的情况,因此想到求唯一的交点,在求唯一交点时,则应用一元二次方程的判别式     

例谈源于学生的问题,理解,发现的数学教学

下面是本人在自己的数学教学实践中由学生的问题、理解、发现而引出的数学教学实例。 1.水到渠成 在教学“曲线的交点”时,布置了课本上一道习题:“求经过两条曲线x~2 y~2 3x-y=0和3x~2 3y~2 2x y=0的交点的直线的方程”为作业题,原来只预料学生采用先求出     

不求交点的技巧

题　求证　椭圆 x22 5 +y29=1和双曲线 x21 5 -y2 =1在交点处的切线互相垂直。学生往往先求出椭圆与双曲线的交点坐标 ,然后再分别求出椭圆、双曲线在交点处的切线方程 ,进而由两切线斜率的乘积为 -1 ,得到切线互相垂直的结论。思路自然 ,但解题过程却比较繁琐。其实本题有如下简捷的解法。证明　设两曲线交点为 (x0 ,y0 ) ,则过交点的两曲线的切线方程为 :l1:9x0 x +2 5 y0 y =2 2 5 ,l2 :x0 x -1 5 y0 y =1 5 ,∴k1=-9x02 5 y0,k2 =x01 5 y0,k1k2 =-9x202 5× 1 5 y20①∵交点 (x0 ,y0 )在两曲线上 ,所以9x20 +2 5 y20 =2 2 5 ,x20 -1 5 y…     

两曲线的交点初探

在高中“平面解析几何”（乙种本）“曲线的交点”一节中，给出:两条曲线有交点的充要条件是，它们的方程所组成的方程组有实数解．例题利用一元二次方程根的判别式，来判定两曲线有两个交点．一个交点和没有交点的情况．例已知：圆方程x~2 y~2=2，当b为何值时，直线y=x b与圆有两个交点，两个交点重合为一点，没有交点？列方程组把（1）代入（2）得x~2 (x b)~2,即2x~2 2bx b~2-2 0(3)根据（3）的根的判别式△=(2b)~2-4×2(b~2-2)=4(2 b)(2-b).（l）当-2＜b＜2时△＞0，这时方程组有两个不同的实数解，因此直线与圆有两个交点；（2）当b=-2…     

关于圆系方程的一个补充

在解析几何中,涉及到求过两圆交点的圆方程,求过一直线和一圆的交点的圆方程时,设圆系方程来解是一个非常快捷的一个方法,但没有给出圆系方程一定表示一个圆的证明,本文拟补出这个证明.(I)如果直线1:Ax By C=0与圆C:x~2 y~2 Dx Ey F=0相交,那么过两交点的圆可表示为x~2 y~2 Dx Ey F十λ(Ax By C)=0 (1)(λ∈R)(1)圆过交点的证明略去(2)下面证明方程(1)一定是一个圆方程.证明:(1)经过整理可改写为x~2 y~2 (D λA)x (E λB)y F λC=0,证明方程(1)表示     

辅助未知数在解题中的作用

在解题过程中为了促进求解,常常要引进辅助未知数。引进辅助未知数的方式多种多样,但是宗旨只有一个——达到解题的目的,在很多场合,辅助未知数本身倒不必求出。因此我们要教会学生使用辅助未知数分析、解决问题,以沟通未知和已知的联系。例1.求经过两曲线 x~2+y~2+3x-y=0和3x~2+3y~2+2x=y=0交点的直线方程。解:设两曲线的任一交点坐标为(x_0,y_0),     

正比例函数与反比例函数交点坐标规律与应用

先看人教八年级下课本第61面第9题: 在同一直角坐标系中,正比例函数y=K1x与反比例函数y=K2/x没有交点,请确定两个常数的乘积k1k2的取值范围. 分析:解答本题,既可从k1、k2的符号入手,然后观察正比例函数和反比例函数图象的交点情况;也可联立正比例函数和反比例函数的解析式,然后找出方程组无解的条件. 思路一:观察图象 1.k1k2 ＞0 (1)当k1＞0,k2＞0时,正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2/x的图象如图1所示,它们有两个交点; (2)当k1＜0,k2＜0时,正比例函数y=k1x与反比例函数y=K2/x的图象如图2所示,它们也有两个交点;     

每期一题

题:从射线OB与圆x~2 y~2=2ax的交点B向Ox轴作垂线BC,C为垂足,求C在OB上射影的轨迹方程。解一:选取过定点的动直线斜率为参数。如右图,设直线OB斜率为k(k为参数),OB直线方程为y=kx, y=kx由 { x~2 y~2=2ax, x_1=0 x_2=2a/(1 k~2) ∴ { { y_1=0 y_2=2ak/(1 k~2) 则C(2a/(1 k~2),0)     

利用曲线系方程证明圆锥曲线上四点共圆

苏教版选修2-1《圆锥曲线》2.6.3"曲线的交点"中例题2:在长、宽分别为10 cm,18 cm的矩形地块内,欲开凿一花边水池,池边由两个椭圆组成,试确定两个椭圆的四个交点的位置?解建立合适的直角坐标系,得到两个椭圆的标准方程:x~2/25+y~2/20.25=1和x~2/6.25+y~2/81=1,通过解方程组得到两个椭圆的四个交点坐标     

从学生的节外生枝说开去——谈高中数学教学预设与动态生成的和谐统一

下面是一位教师在执教椭圆复习课中的一个教学片段:(教师在多媒体中出示例题:当m为何值时,直线l:y=x+m与椭圆x~2+2y~2=2,有一个交点②有两个交点③没有交点)师:请同学们思考一下,该怎样判断生(齐声):联立方程组,用Δ法进行判断     

直线与圆锥曲线位置关系中的“存在性问题”

一、根据圆锥曲线的定义及性质,探究直线斜率的存在性问题【例1】是否存在实数k,使直线y=kx +2与x~2-(y~2)/8=1(x≤-1)的交点C、D恰好关于直线l:y=8/3x对称?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由。     

课本中一道例题的深化

通用教材高中平面解析几何第116页上有这样一道例题: 例求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。课本首先解方程组,求得“它们有四个交点:P_1(5(15)~(1/2)/,3/4)…”笔者认为,教学中讲完课本证法后,引导学生探求新的证法是很有意义的。新的证法如下:     

数学题集锦

一、中国科技大学附中章鸿来稿题:k为何值时,直线l:y-1=k(x-1)垂直平分抛物经y~2=x的弦?(1987年合肥市高三抽样考试第七题) 参考解答利用弦与抛物线必有两个交点从而△>0来确定k的取值范围;《数学通报》1979年第10期也有这题,利用参数t的几何意义,t_1t_2<0确定k的取值范围;这里利用几何图形的性质(这是一重要方法),再给出解法如下。解设 AB是和l垂直且被其平分的弦,     

用曲线系方程解题应注意的两个问题

大家都知道 ,过两曲线ｆ1(ｘ ,ｙ) =0 ,ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0的支点的曲线系方程为ｆ1(ｘ ,ｙ) λｆ2 (ｘ,ｙ) =0 (λ∈Ｒ) .利用它来处理解几中过两曲线交点的某些问题显得特别方便 ,但是运用曲线系方程时应注意以下两个问题 .1　应判定解的存在性应判定解的存在性 ,是指解题之前首先应判定曲线ｆ1(ｘ,ｙ) =0与ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0是否有交点 .如果有交点 ,则可用曲线系方程解之 ;如果无交点 ,说明本题无解 ,否则就可能将无解题求出解来 .例 1　求过两圆ｘ2 ｙ2 - 2ｘ - 3=0和ｘ2 ｙ2- 10ｘ 2ｙ 2 5 =0的两个交点的直线方程 .解　过两圆交点的曲…