2002年全国高中数学联赛加试题另解

20 0 2年全国高中数学联合竞赛于 2 0 0 2年 1 0月 1 3日结束 ,许多读者于一周之内寄来加试题的解答 ,其中诸多证明方法或解法相同或相近 .现根据来稿先后及解法特点整理如下 .图 1第一题　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解法 1:连ＯＢ、ＯＣ ,并设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .由三角形外心性质知∠ＢＯＣ =2∠Ａ =12 0° .由垂心性质知∠ＢＨＣ =180° -∠Ａ =12 0° .所以 ,Ｂ、Ｃ、Ｈ、Ｏ四点共圆 .由…     

2002年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.函数f(x)=log_(1/2)(x~2-2x-3)的单调递增区间是     

2001年全国初中数学联合竞赛试题及解答

第一试(4月 1日上午 8:30 - 9:30 )一、选择题 (本题满分 42分 ,每小题 7分 )1 .a,b,c为有理数 ,且等式 a b 2 c 3=5 2 6成立 ,则 2 a 999b 1 0 0 1 c的值是 (　　 )(A) 1 999　　　　 (B) 2 0 0 0(C) 2 0 0 1 (D)不能确定2 .若 a· b≠ 1 ,且有 5 a2 2 0 0 1 a 9=0及9b2 2 0 0 1 b 5 =0 ,则 ab的值是 (　　 )(A) 95 　　　　 (B) 59(C) - 2 0 0 15 (D) - 2 0 0 193.9已知在△ ABC中 ,∠ ACB=90°,∠ ABC=1 5°,BC=1 ,则 AC的长为 (　　 )(A) 2 3　　　(B) 2 - 3(C) 0 .3 (D) 3- 24.如图 ,在△ ABC中 ,D是边 AC上…     

竞赛专栏——一道2006年全国高中数学联赛加试题的另解

《2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案》对加试第三题给出的标准答案的代换让人眼花缭乱，不易想到．笔者在给初三学生进行竞赛辅导时，引导学生得出了一个思路相对自然，解法相对常规的别解，现叙述如下，供读者参考．     

2008年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,给定凸四边形ABCD,图1∠B ∠D<180°,P是平面上的动点,令f(P)=PA.BC PD.CA PC.AB.(1)求证:当f(P)达到最小值时,P、A、B、C四点共圆;(2)设E是△ABC外接圆⊙O的AB上一点,满足AEAB=23,EBCC=3-1,∠ECB=12∠ECA,又DA、DC是⊙O的切线,AC=2,求f(P)的最小值.(1)证明:如图1,     

2006年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 以B0、B1为焦点的椭圆与△B0B1的边ABi交于点Ci（i=0，1）．在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心、B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于点Q0；以C1为圆心、C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于点P1；[第一段]     

2003年全国高中数学联赛加试题另解

2003年全国高中数学联赛结束后，编辑部收到很多热情读的来稿，就联赛加试题给出了许多异于标准答案的解法．现根据来稿先后及解法的特点将部分解答进行整理，望与广大读分享．     

2004年全国高中数学联赛加试题另解

第一题　在锐角△ABC中 ,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H ,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点 ,FG与AH相交于点K .已知BC =2 5,BD =2 0 ,BE =7.求AK的长 .解法 1 :易得CD =1 5,CE =2 4 .又易知B、C、D、E四点共圆 .由托勒密定理知CE·BD =DE·BC CD·BE .代入数据解得DE     

2005年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 如图1，在△ABC中，设AB〉AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心、AC为半径作圆分别交线段AB于点D，交直线l于点E、F．证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．     

2007年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 在锐角△ABC中,AB〈AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点,过P作PE⊥AC,垂足为E,作PF⊥AB,垂足为F,O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心．求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心．     

2009年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,M、N分别为锐角△ABC（∠A〈∠B）的外接圆网Г上弧BC、AC的中点．过点C作PC／／MN交圆Г于点P,I为△ABC的内心,联结P,并延长交圆Г于点T.求证：     

2010年全国高中数学联赛加试题另解

第一题已知锐角△ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A、B、D、C四点共圆.     

2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨

这道题目初看起来比较平易，给人一种可以直接使用柯西不等式的惊喜，殊不知，这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正是在这里设置了较好的陷阱。