谈周期函数的最小周期

证明了连续且异常数的周期函数ｆ（ｘ）必有最小周期。，又证明了定义在Ｄ上的周期函数ｆ（ｘ）有最小周期ｋ时，则函数ψ（ｘ）＝ｆ（ａｘ）也是周期函数，并且它的最小周期为ｋ／｜ａ｜，这里ａｘ∈Ｄ。     

对一道高考题的思考

１９９６年全国高考（１５）题：设ｆ（ｘ）是（－∞，＋∞）上的奇函数，ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）．当０≤ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（７－５）＝（　　）（Ａ）０－５，（Ｂ）－０－５，（Ｃ）１－５，（Ｄ）－１－５．此题解法较多，这里不赘述．引起笔者注意的是对条件ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）的两种变形．将ｘ以ｘ＋２代换得ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝－〔－ｆ（ｘ）〕＝ｆ（ｘ）．（１）若将ｘ以－ｘ代换可得ｆ（２－ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）．（２）（１）表明ｆ（ｘ）是周期函数；结合ｆ（ｘ）为奇函数得到的（２）…     

一元函数解析式求法种种

复合法由函数的定义运用复合的办法可求得函数解析式．例１已知ｆ（ｘ）＝５ｘ＋２,φ（ｘ）＝ｆ〔ｆ（ｘ）〕,求φ（ｘ）．解∵ｆ（ｘ）＝５ｘ＋２,∴φ（ｘ）＝ｆ〔ｆ（ｘ）〕＝ｆ（５ｘ＋２）＝５（５ｘ＋２）＋２＝２５ｘ＋１２．２凑合法已知ｆ〔φ（ｘ）〕＝ｔ（...     

例说寻找原型解数学题

本文试用寻找原型的思想来解决一些与抽 象函数有关的周期问题，供参考． 例１已知函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ （ａ为常数，且ａ≠０），求证：函数 １－ｆ（ｘ） ｆ（ｘ）是周期函数． 分析：观察式子的特点，易知函数ｆ（ｘ）的 原型是ｙ＝ｔｇｘ，且ｔｇ（ｘ＋）＝，而４ × ＝π正是函数ｙ＝ｔｇｘ的周期，故我们可以猜 测４ａ为函数ｆ（ｘ）的周期． 证明：ｆ（ｘ＋２ａ）＝ｆ［（ｘ＋ａ）＋ａ］＝ １－ｆ（ｘ＋ａ） ｆ（ｘ＋４ａ）二ｆ［（ｘ＋２ａ）＋２ａ］＝ 即ｆ（ｘ＋４ａ）＝ｆ（ｘ），所以函数ｆ（ｘ）是周 期函数． 例２…     

求函数y=f(x)解析式的常用方法

求函数ｙ＝ｆ（ｘ）解析式的常用方法张强根据已知条件来求函数的解析式ｆ（ｘ）,有多种方法,这里通过例题归纳出以下几种常用的方法。一、待定系数法例１已知ｆ（ｘ）为有理整函数,且ｆ（ｘ＋１）＋ｆ（ｘ－１）＝２ｘ２－４ｘ,求ｆ（ｘ）。分析：因为ｆ（ｘ）与ｆ（...     

一道习题的引申与推广

１引子许多书上都列有这样一道练习题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ,那么对 ｘ∈Ｒ,恒有 ｆ（ｘ ３） -３ｆ（ｘ ２） ３ｆ（ｘ １） - ｆ（ｘ）＝０（１）解答该题似乎无甚奇妙之处 .然而只要我们仔细观察（１）的结构特征 ,就会发现该习题改写成下面问题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ ,ｎ为自然数 ,ｇ（ｘ,ｎ）＝Ｃｎｎｆ（ｘ＋ｎ）＋Ｃｎｎ－１ｆ（ｘ＋ｎ－１）（－１）＋ … ＋Ｃｎ１ｆ（ｘ＋１）（－１）ｎ－１＋Ｃｎ０ｆ（ｘ）（－１）ｎ （２）试求 ｇ（ｘ,３）的值 .自然提出 :（Ａ）当 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ时 ,…     

关于导函数的一个特性

关于导函数的一个特性任建娅函数ｆ（ｘ）在ｘ０点的导数ｆ＇（ｘ０），从导数的定义来讲，从导函数ｆ＇（ｘ）出发，那么ｆ＇＋（ｘ０）与之间有什么区别，又有什么联系呢？下面就以ｆ＇＋（ｘ０）与ｆ＇（ｘ０＋０）为例来讨论这个问题。１ｆ＇＋（ｘ０）与ｆ＇（ｘ０＋...     

一种组合数计算的推广形式

若２是函数ｆ（ｘ）的周期,则有∑ｎ２［］ｉ＝０ｆ（ｘ＋ｉ）ｎ－ｉｉ＝１２［ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋１）］Ｆｎ＋１３［ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋Ｉ）］ｓｉｎｎ＋１π３,其中数列｛Ｆｎ｝为Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列。     

数形结合 化难为易

数形结合化难为易卢朴勤（甘肃省甘谷一中７４１２００）今年高考第２４题：设二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０），方程ｆ（ｘ）－ｘ＝０的两根ｘ１、ｘ２满足０＜ｘ１＜ｘ２＜１ａ．（Ⅰ）当ｘ∈（０，ｘ１）时，证明ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ１；（Ⅱ）设函数ｆ（ｘ...     

函数f(x)与函数f(ωx+φ)的单调性

函数ｆ（ｘ）与函数ｆ（ωｘ＋φ）的单调性□民勤县一中赵文广关于函数ｆ（ｘ）与ｆ（ωｘ＋φ）的单调性我们得到以下结论：１若函数ｆ（ｘ）在区间（ａ,ｂ）上是增函数,则函数ｆ（ωｘ＋φ）（ω＞０）在区间（ａω－φω,ｂω－φω）上也是增函数证明：设ｘ１...     

对不定积分概念的进一步探索

一、问题的提出 高等数学教材中,把函数ｆ（ｘ）的全体原函数（如果存在的话）组成的函数族定义为函数ｆ（ｘ）的不定积分,记为∫ｆ（ｘ）ｄｘ。且若ｆ（ｘ）。连续,Ｆ＇（ｘ）＝ｆ（ｘ）。时,则∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋ｃ（ｃ为任意实常数） 以下记为：∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋ｃ　　ｃ∈ｋ（ｋ为实数集） 然而不定积分的概念到底是什么呢？ 首先,∫ｆ（ｘ）ｄｘ不是通常的初等函数。 例如： 再分部积分２＋ 上述等式按不定积分定义去解释是成立的,但若将它看成初等函数,则会引起谬误：０＝ １＝ ２＝… 因此不定积分不是初等…     

函数y=f(x)、x=f-1(y)和y=f-1(x)的本质关系

函数ｙ＝ｆ（ｘ）（设它有反函数）和它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）,以及对换ｘ、ｙ之前的反函数形式ｘ＝ｆ－１（ｙ）这三者之间的关系,一直有很多同学含糊不清,本文简单归纳如下：１．从方程观点看,ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝ｆ－１（ｙ）是两个同解方程,而ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ...     

f^—1[g（x）]与f[g（x）]的反函数

已知　　　,函数ｙ＝ｇ（ｘ）的图象与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称,则ｇ（３）等于 甲解：　ｆ（ｘ）＝２ｘ＋３／ｘ－１,且由已知得ｙ＝ｇ（ｘ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）互为反函数, 故ｇ（３）＝１１／３。选（Ｄ）。 乙解：ｇ（ｘ）与ｆ－１（ｘ＋１）     

一些丢番图方程的简单解法

丢番图方程是一门历史悠久而又富有生命力的学科,历来受到人们的青睐,它使得不同时代的、不同层次的、不同年龄的人淘醉其中,它以求解极难和技巧性极高而闻名于世。虽是如此,但也有一些方程可以用极其简单的方法来解决,本文即是一例。１　定理定理１　设Ｋ是不含４Ｋ＋３形素因子的正整数,ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）为整系数多项式且ｆ（ｘ）≡３（ｍｏｄ４）,则ｙ２＋ｋ２＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）的整数解满足ｆ（ｘ）＜０证明　假设ｆ（ｘ）＞０并且ｙ２＋ｋ２＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）有整数解,则因ｆ（ｘ）≡３（ｍｏｄ４）,故ｆ（ｘ）含有一个４…     

残数求法公式的拓广

本文在文「１」的基础上，对残数的求法公式“设ａ为ｆ（ｎ）＝ψ（ｚ）／ψ（ｚ）的一级极点，且满足ψ（ｚ）及ψ（ｚ）在点ａ解析，ψ（ａ）≠０，ψ（ａ）＝０，ψ（ａ）≠０，则Ｒｅｓｆ（ｚ）＝ψ（ａ）／ψａ）”进行拓广，得到较好的结果，即文中定理１、２及推论１、２，较圆满地解决了ｆ（ｚ）＝ψ（ｚ）／ψ（ｚ）为０／０型及∞／∞型的其奇点的残数问题。     

关于函数图象对称性的两个结论

我们知道,在现行高中教材《代数》第一册中的函数部分给出了函数的性质：（Ⅰ）偶函数的图象关于ｙ轴对称。（即：对ｙ＝ｆ（ｘ）定义域中任意的Ｘ都有：ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）成立,则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝０对称）显而易见：（Ⅱ）函数ｙ＝ｆ（ｘ）与函数...     

多项式值的一种算法

１ 问题的提出 设Ｒ是数环，求ｆ（ｘ）在ａ的值ｆ（ａ）． 当ｆ（ｘ）次数较低时可将ａ代入ｆ（ｘ）直接计算［２］；当ｆ（ｘ）次数较高或ａ的形式较复杂时，直接代入计算就不可能了．那么此时如何计算ｆ（ｘ）呢？ 例 求多项式ｆ（ｘ）＝３ｘ８－６８ｘ６－１４４ｘ５－２５ｘ４＋９６ｘ３＋４６ｘ２－７在值 显然，直接代入计算，运算量大，且容易出错．下面给出一种简便易行的方法．２ 主要结论 命题 ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，ａ∈Ｒ．若存在ｇ（ｘ）∈其中 或则 由带余除法［３］容易证明，此处略． 于是，解决问题的关键是找到合适的ｇ（…     

函数对称性的一个定理及应用

函数对称性的一个定理及应用安徽省泾县中学汪民岳函数的对称性，是函数一个重要性质，有着广泛应用．下面介绍一个简洁优美的对称定理：函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于ｘ＝ａ对称ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ－Ｘ）．（以下简记）证明从略．下面举例说明应用．一...     

互为反函数的图象的交点问题

互为反函数的图象的交点问题贵州瓮安一中周承欢用方程组ｙ＝ｘ，ｙ＝ｆ（ｘ）｛求方程ｆ（ｘ）＝ｆ－１（ｘ）的解、求ｆ（ｘ）与ｆ－１（ｘ）图象的交点，为什么有时无解、有时漏解呢？这是因为互为反函数的两个函数的图象，有的不相交，而相交的其交点不一定都在直线ｙ...     

Gauss求积公式的误差分析

本文考虑利用Ｇａｕｓｓ求积公式Ｑｎ（ｆ），ｎ∈Ｎ来逼近定积分Ｉ（ｆ）＝ｗ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ。其中权函数ｗ（ｘ）＝Ｗ（ｘ）／ｐ（ｘ），ｐ（ｘ）＝（２ｂ＋１）ｘ２＋ｂ２，ｂ＞０和Ｗ（ｘ）＝（１－ｘ）α·（１＋ｘ）β＝，α，ｎ＞１。误差函数Ｒｎ（ｆ）＝Ｉ（ｆ）－Ｑｎ（ｆ），在某些解析函数空间是连续的。对于满足限制条件的权函数，我们得到了计算误差函数Ｒｎ（ｆ）的明显表达式。若α＝β＝和ｎ＞１时，若和α＝β＝和ｎ＞１时，若和α＝－β＝和ｎ＞２时，