解含有绝对值符号的一元二次不等式的一种方法

解不等式 ax~2 bx c sum from i=2 to n-1(d_i)|a_ix~2 b_ix c_i|>0。(或<0)其中a、b、c、a_i、b_i、c_i、d_i、i=2,3,…,n-1均为常数。简捷的解法是:先令 y=ax~2 bx c sum from i=2 to n-1(d_i)|a_ix~2 b_ix c_i| 因为函数y的表达式中含有n-2个二次式的绝对值,要去掉基些绝对值的符号,可按绝对值符号内二次式的零点把数轴分成若干个区间,在每个区间上写出这个函数的表达式,显然都是一元二次式或特殊情形的一次式,可知函数y的图象是由若干条抛物线段或直线段所组成,我们并不需要作出函数y的图像;只须列出若干条抛物线段的端点坐标,以及当抛物线     

一个几何命题的推广

常庚哲教授在初等数学论丛第2期上给出了一个几何命题: △ABC的三边为a_i,b_i,c_i,面积为△_i,三边上的高分别记为p_i、q_i、r_i,这里i=1,2,令a~3=(a_1~2 a_2~2)~(1/2),b_3=(b_1~2 b_2~2)~(1/2),c_3=(c_1~2 c_2~2)~(1/2),则有:     

Gerasimov不等式的加强

1971年,JU.I.Gerasimov给出下述三角不等式: 设△ABC内部任一点P到三边BC、CA、AB的距离为r_1、r_2、r_3,BC=a,CA=b,AB=c。则 r_1r_2/(ab) r_2r_3/(bc) r_3r_1/(ca)≤1/4。 (1) 最近,刘健先生在文[1]中将(1)推广到两个三角形中。本文拟给出(1)的如下加强:     

一个几何不等式的简证、加强与其它

1992年,杨学枝先生在文[1]中提出了下述有关三角形不等式的两个猜想:设r_1,r_2,r_3分别为△ABC内部任一点P至边BC、CA、AB的距离,则1/r_1~2+1/r_2~2+1/r_3~2≥12(1/a~2+1/b~2+1/c~2), (1)1/r_1r_2+1/r_2r_3+1/r_3r_1≥12(1/bc+1/ca+1/ab), (2)其中a、b、c分别表示边BC、CA、AB。最近,文[2]在否定(1)式的同时提出并     

Gerasimov不等式的推广

1971年,Ju.I.Gerasimov给出了下述三角形不等式: 设△ABC内部任一点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,边BC、CA、AB分别为a、b、c.则 (r_2r_3)/(bc) (r_3r_1)/(ca) (r_1r_2)/(ab)≤1/4. (1)等号仅当P为△ABC的外心时成立. 在已知的有关△ABC、△A′B′C′及任意正数x、y、z的不等式 (1 y z)~2≥4(yzsinAsinA′ zxsinBsinB′ xysinCsinC′)(2)     

圆台的平行于底的截面的一个重要性质

众所周知:设圆台上、下底面的半径为r_1、r_2、中截面的半径为r_0,则有 r_0=(r_1 r_2)/2 (1) 将(1)加以推广,可得如下的一个重要性质。定理设圆台O_1O′的上、下底面的半径分别是r_1、r_2,平行于底面的截面的半径是r_0,截面分圆台的高成两段h_1、h_2、且h_1∶h_2=m:n。求证     

ACZEL不等式及其运用

众所周知，著名的算术──几何平均值不等式、柯西不等式有着十分广泛的应用，许多书刊都进行了深入研究．然于国内的书刊似乎很少见到专文研究Aczel不等式应用的文章，其实Aczel不等式的应用也很广泛，它是一批新老不等式的综合．一、Aczel不等式定理设a、a_2∈R,b、b_i∈R(i=1,2,…,当且仅当a_i/b_i=a/b(i=1,2,…,n)时时取等号．证明设A=a~2-sunfromi=1tona_i~2,B=ab-sumfromi=1tona_ib_i,构造二次函数∴抛物线y=f(x)与x轴有交点，则a_i/b_i=a/b时(1)取等论.推论设a、a_i∈R,b、b_i∈R(i=1,2,当且仅当a_i/b_i=a/b(i=1,2,…,n)时等号成…     

切比雪夫不等式的推广及其应用

本文将切比雷夫不等式:“a_1≥a_2≥…≥a_n,b_1≥b_2≥…≥b_n(?)(sum from i=1 to n a~i)(sum from j=1 to n b_j)≤n sum from i,j to n a_ib_j”作如下的推广:如果{a_i}_(i=1)~n与{b_j}_(i=1)~n同时为单调增加或单调减少实数列,那么对于任何实数列{c_i}_(i=1)~n有(sum from i=1 to n a_ib_ic_i)(sum from i=1 to n c_i)(?)(sum from i=1 to n a_ic_i)(sum from j=1 to n b_jc_j) ……(Ⅰ) 如果{a_i}_(i=1)~n与{b_j}_(j=1)~n中有一个单调增加而另一个单调减少,那么对于任何非负实实数列{c_i}_(i=1)~n有(sum from i=1 to n a_ib_(ii))(sum from i=1 to n c_i)≤(sum from i=1 to n a_ic_i)(sum from j=1 to n b_jc_j)……(Ⅱ) 如果{c_i}_(i=1)~n为正的实数列,那么不等式(Ⅰ)、(Ⅱ)中的等号成立当且仅当{a_i}_(i=1)~n或{b_j}_(j=1)~n 中有一个是常数列。如果取c_i=1(i=1,2,…,n,那么就得原来的不等式。推广后的切比雷夫不等式的证明:在第一种情形下,sum from i=1 to n sum from j=1 to n (a~i-a_j)(b_i-b_j)c_ic_j     

从一道定值问题的解法谈起

[题] 从椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1的中心作三条两两互成2π/3角的半径r_1,r_2,r3,求证:1/r_1~2+1/r_2~2+1/r_3~2定值。证:将椭圆方程化为极坐标方程得ρ~(2)cos~(2)θ/a~(2)+ρ~(2)sin~(2)θ/b~(2)=1→1/ρ~(2)     

用待定系数法求一类递推数列的通项公式

设数列{u_n}的第一项为u_1,第一项为u_2,并且有递推公式u_(n 1)=q_1u_n q_2u_(n-1)则称数列{u_n}为二阶线性齐次递推数列,并称方程r~2-q_2r-q_2=0为该数列的特征方程.设r_1,r_2为这个特征方程的两个根,那么,当r_1≠r_2时,数列{u_n}的通项公式为u_n=C_lr_1~n C_2r_2~n,其中C_1,C_2由方程组C_1r_1 C_2r_2=u_lC_1r_1~2 C_2r_2~2=u_2来决定.当r_1=r_2=r_0时,则数列{u_n}的通项公式为u_n=(C_1 nC_2)r_0~(n-1),     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

球台体积公式的一个简单证法

球台的体积公式是 V=1/6πh(3r_1~2+3r_2~2+h~2 其中r_1、r_2分别为球台上、下底面的半径,h为球台际高。如果把公式变形为 V=1/2h(πr_1~2+πr_2~2)+1/6πh~3=1/2(S_1+S_2)h+V′这里S_1,S_2分别为球台上、下底的面     

在大气阻力作用下“卫星-地球”系统的负热容现象——由一道高考题所引起的思考

2005年江苏物理高考第5题:某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆.由于阻力作用,人造卫星到地心的距离从r_1慢慢变到r_2,用E_(k1),E_(k2)分别表示卫星在这两个轨道上的动能,则( ) A.r_1r_2 E_(k1)E_(k2) D.r_1>r_2 E_(k1)>E_(k2) 解析假设轨道半径不变,卫星受大气阻力作用使线速度减小,因而需要的向心力减小,而提供的向心力(万有引力没变)大于需要的向心力,所以卫星将     

用a≥2-1/a证不等式

若a∈R_ ,则有a≥2-1/a (*),等号当且仅当a=1时成立. 不等式(*)不仅结构简单,而且利用它还可以简捷地证明一些较难的不等式.下面举几例说明. 例1 设a_i,b_i∈R_ ,且sum from i=1 to n(a_i)=sum from i=1 to n(b_i),求证sum from i=1 to n(a_i~z)/(a_i b_i)≥1/2 sum from i=1 to n(a_i).(1991年亚太地区数学竞赛题)     

AM-AHPTAC共聚及其竞聚率测定

以3-丙烯酰氧基-2-羟丙基三甲基氯化铵(AHPTAC)与丙烯酰胺(AM)为单体,以(NH_4)_2S_2O_8-NaHSO_3作引发剂,在40℃水中通过溶液聚合法合成了阳离子共聚物,并通过IR、~1H-NMR对其结构进行了表征。采用AgNO_3滴定方法,测定了共聚物的阳离子度,然后用截距斜率法(Fineman-Ross法)测得AM、AHPTAC两单体的竞聚率分别为r_1=10.90,r_2=0.14;直线交叉法测得AM、AHPTAC竞聚率分别为r_1=10.94±0.20,r_2=0.15±0.04。     

微分方程y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)(特征实根r_1≠r_2)特解的多种求解法

求微分方程y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)(特征实根r_1≠r_2)特解的多种方法:待定系数法、算子法、迭代法、构造法的介绍。     

数学竞赛专栏

有奖解题擂台(21)河南师范大学数学系吴伟朝(邮编:453002)已知:凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点P,三角形ABP、BCP、CDP和DAP的内切圆圆心分别是I_1、I_2、I_3和I_4,其内切圆半径分别是r_1、r_2、r_3和r_4,且点P到直线AB、BC、CD和DA的距离分别是h_1、h_2、h_3和h_4。求证:(1)I_1、I_2、I_3、I_4四点共圆的充分必要条件是AB CD＝BC DA,(即ABCD有内切圆)。     

高阶常系数线性差分方程一种解法

解差分方程通常是先求对应齐次方程的通解再与非齐方程的特解叠加,对高阶(n≥2)来说寻求非齐方程的特解是困难的。本文将给出一种高阶线性差分方程的方法。 、主要内容:本文给出下面定理 定理:若r_1,r_2…r_(m-1),r_m是m(m≥2)阶常系数线性差分方程     

2000年物理高考（全国卷）几道力学试题的分析

第3题某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用,绕地球运转的轨道会慢慢改变.每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动.某次测量卫星的轨道半径为 r_1,后来变为 r_2,r_2T_1(C)E_(k2)>E_(k1),T_2E_(k1),T_2>T_1     

数学问题与解答——2003年第4期问题解答

581.如图1,O为三个同心圆的公共圆心,共线的三点A、B、C(O、A、B、C四点不共线)分别在三个圆上,又设三个圆的半径从小到大依次为,r_1、r_2、r_3。求证: