30分钟智力冲浪

1.如图1,△ABC中,AB≠AC,△ADB与△AEC都是等边三角形(三边相等、三内角相等).那么,CD与BE是否相等?为什么?图1图22.已知,如图2,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,他们相交于点F,且BF=AC.在CE的延长线上取点G,使CG=AB.连接AF,AG.试说明AF⊥AG.3.已知,如图3,AD∥BC,DE∥BF,点E,F在AC上,AF=CE.你能说明AB与DC的位置关系吗?图3图4图54.已知,如图4,CF是正方形ABCD外角∠DCG的平分线,E是BC边上的一点,且AE⊥EF.你能说明AE与EF相等吗?(提示:正方形的四条边相等.设法找到分别以AE,EF为一边的两个三角形,并说明他…     

巧作外接圆 妙解几何题

圆是一种基本图形,也是一种重要的辅助线.在一些有关三角形和多边形的问题中,若能作出三角形或多边形的外接圆,并恰当利用圆的性质,可使解题过程简化. 一、题目中有过同一点的三条线段相等的条件时,一般可作辅助圆例1如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=a,BC=b,求BD的长.分析:题目中有过A点的三条线段AB、AC、AD相等的条件,可考虑过B、C、D三点作辅助圆.解:以A为圆心,a为半径作圆,延长BA交⊙A于E,连结DE.∵AB=AC=AD=a,∴B、C、D均在⊙A上.∵AB∥CD,∴DE=BC.∴DE=BC=b.又∵BE是⊙A的直径,∴由勾股定理,得…     

化归法简解一道中考题

试题 如图1,AD是圆的直径.BC切圆于D,AB、AC与圆相交于点EF,那么显然有结论:AE·AB=AF·AC.(*) 在图1中,如果把直线BC向上平移,使它与圆相交于两点,而AB、AC与圆的交点仍分别是E和F,便得图2.在此条件下,结论(*)是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。     

圆的基本题型解析

一、圆的有关性质题型例1如图1,以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点G,连结AD,并过点D作DE⊥AC,垂足为E.根据以上条件写出三个正确结论(除AB=AC,AO=BO,∠ABC=∠ACB外)是     

几何不等式证明八法

1.利用三角形的边长关系 例1.AB为半圆直径,AC、AD指为半圆的满足∠BAC=∠CAD。 求证:AB+AD<2·AC。 简证:如图,显然有DC=BC,且知∠ADC与∠ABC互补。将△ABC绕着C旋转至△EDC位置,易证A、D、E共线,DE=AB,EC=AC。     

巧作垂线妙解题一例

题目如图,已知:圆内接四边形ABCD中,AD≠AB, ∠DAB=90°,对角线AC平分∠DAB,若AD=a,AB=b,则AC=___。(1996年《中学生数理化》“东亚杯”竞赛初三年级试题) 解过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,则∠ACB+∠BCE=90°,又∠DAB=90°→∠DCA+∠ACB=90°,∴∠DCA=∠BCE,又∠CBE=∠D。 AC平分∠DAB→DC=BC→DC=BC。     

与圆有关的折叠

我们对圆的折叠问题接触不多,解题时也难找到突破口.为方便你掌握此类问题的求解策略,现举例说明折叠问题的解法,供你学习时参考. 一、求折叠后弧的度数 例1(2016年舟山卷)把一张圆形纸片按图1所示方式折叠两次后展开,虚线表示折痕,则(BC)的度数是( ) A.120°.　　B.135°. C.150°.　　D.165°. 解:如图1所示,连接BO,过点O作OE⊥AB于点E, 由题意,得EO=1 BO,AB∥DC,所以∠EBO=30°, 故∠BOD=30°,则∠BOC=150°, 即(BC)的度数是150°.选C.     

一道2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)试题的多种解法

2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题的17题:如图1,已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E,与AC边相交于点F和G,求∠DEF的度数.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初227 如图1,在ABC中(AB＞AC),点D1在边BC上,以AD1 图1为直径作圆,交AB于点M,交AC的延长线于点N,联结MN,作AP⊥MN于点P,交BC于点D2,AE为ABC 外角的平分线.求证:     

有心圆锥曲线一个性质的新发现

<正>1背景介绍近日,笔者发现圆中有以下结论:如图1,AB是⊙O的直径,C、D是圆上异于A、B的两点,设直线AC、BD相交于点M,直线AD、BC相交于点N,则MN⊥AB.证明因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BM,BC⊥AM,于是点N是△ABM的垂心,从而有MN⊥AB.     

构造三角形重心解题

在解一点分线段为二倍关系的几何题中 ,可以构造以该点为重心的新三角形 .利用三角形的重心性质解题 ,有时可以收到很好的效果 ,因为解题是构造性的 ,因此在培养学生的解题能力有很大帮助 :其解法新颖别致、能提高学生的学习兴趣 .1　证线段相等例 1　△ABC中 ,AB =AC ,E在AB上 ,BE =2EA .以AB为直径的圆交BC于D .连AD、CE相交于F .求证 :AF =FD .证明　如图 1,利用BE=2EA ,构造△BGC使E是△CBG的重心 .这样得A是GC中点 ,H是GB中点 .AD⊥BC ,由AB =AC知D是BC的中点 ,因此四边形HDCA为 .由此得AF =FD .图 1　　　…     

八年级数学单元测试题（课标人教版）

!BACED图6一、填空题(1￣3每题2分,4￣11每题3分,共计30分)1.如图1,线段AB和线段A′B′关于直线MN对称,则AA′⊥"""",BB′⊥"""",OA="""",AB=""!!.2.如图2,是轴对称图形,则相等的线段是!!!!,相等的角是!!!!.3.在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,若∠CAD=10°,则∠B的度数是!!!!.4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点F,垂足为E,△BFC的周长为20cm,AB=12cm,则BC的长为!!!!.5.如图3,已知∠BAC=130°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,那么∠PAQ的度数是!!!!.6.点P是∠AOB内一点,点P关于OA、OB的对称点分…     

应用平行四边形的性质证题

应用平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质,可以证明许多几何命题,现分类举例如下．一、证明线段相等例1ΔABC中,AB＝AC,在AB上取D点,在AC的延长线上取E点,使CE＝BD,连结DE交BC于C．求证：DC＝CE．证明作DF人AC交BC于F,连结DC、EF,则／DFB＝／ACB＝／B．DF＝IJB＝CE．故DF其DE．DFl《为平行四边形…．DG＝cy．Dn回＊且〔二、证明两角相等例2如图2,四边形ABCD中,AB＝DC,ADJBC,且AB＄t：D．求证：／B＝／C．证明作ACVDC．ADffBC,四边形ACCD是平行四边形．DC＝AC．而AB＝DC,、…     

利用方程计算线段和角

数学学习中,经常遇到计算线段和角的问题.解答它们,仅仅从线段或角的和差倍分关系出发,有时很难奏效,若利用设未知数后构造方程的方法,则往往可化难为易.例1如图1,已知线段AB,延长AB到C,使BC=31AB,D为AC的中点,DC=2,那么AB的长为.解设AB的长为x,由BC=31AB,得BC=31x.因为D为AC的     

《角的平分线的性质》测试题

基础巩固一、填空题1.如图1,在△ABC中,∠C=90°,BC=40,∠BAC的平分线AD交BC于D,且DC∶DB=3∶5,则点D到AB的距离是.中学生数理化·八年级数学2.如图2,D是△ABC的内角平分线的延长线和外角平分线的交点,自点D作BC、AC和BA的垂线DE、DF和DG,垂足分别为E、F、G,则DE、DF、DG的关系     

《证明(三)》单元测试卷

一、填空题1.在ABC D中,若∠A+∠C=140°,则∠C=°,∠B=°.2.对角线相等且互相平分的四边形是,对角线相等且互相垂直的平行四边形是.3.若菱形的两条对角线长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为,面积为.4.如图1,矩形ABCD的两条对角线交于O点,∠AOB=60°,AB=2cm,则矩形的对角线长是,矩形的周长是.图1图25.如图2,四边形AB C D是正方形,延长BC至点E,使CE=AC.连结AE,A E交CD于F,那么∠A FC度数是.6.如图3,直线l是四边形A BC D的对称轴,且AB=C D.今给出下面四个结论:①AB∥CD;②CA⊥B D;③AO=O C;④AB⊥BC.其中正确的结…     

利用线段的垂直平分线解题

我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线…     

如何解决圆与函数相结合的压轴题

1.圆与一次函数、二次函数联姻例1(2011湖北襄阳)如图1,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C,连结BC,AC.CD是⊙O′的切线,AD丄CD于点D,     

一法多用

对形如x~2=y~2 k·z形式的结论的几何题,可把上式变形为k·z=(x y)(x-y),这样就可以应用圆的相交弦定理或圆的割线定理证明.下面就以例题来加以说明:例1:已知在△ABC中,∠B=2∠A,求证:AC~2=BC~2 BC·AB分析:由AC~2=BC~2 BC·AB变形得:BC·AB=AC~2-BC~2=(AC BC)(AC-BC)这样就可以以C为圆心,以BC或AC为半径作圆,利用圆的相交弦定理或圆的割线定理来证明.证明:如图1-(1)示:由于∠B=2∠A,则AC>BC,作以C为圆心,BC为半径的圆,分别交AC及其延长线于D、E,交AB于F点,则:AD=AC-CD=AC-BC,AE=AC CE=AC BC     

借助三角形的垂心解题

<正>如图1,CF,BE是ABC的高,其交点H是ABC的垂心,则AD必定垂直于BC.证明如图1,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连结AH并延长交BC于点D.∵CF⊥AB,BE⊥AC,∴四边形BFEC为圆内接四边形,四边形AFHE为圆内接四边形.