绝对值之和的最小值问题解法探究

<正>绝对值是代数学的重要概念.考査绝对值知识点的问题很多,如解不等式、方程或求最值等.本文讨论有关绝对值之和最小值问题的解法.一、问题呈现北京大学自主招生曾经有个这样一道关于绝对值之和最小值的问题:     

数形结合 巧解绝对值之和的最小值

在全国及各省市的初中数学竞赛中,经常出现一类考题：求几个绝对值之和的最小值.这类问题用零点分段法解,求解过程较为复杂,但若能数形结合,把数的问题转化为形的问题,利用图形的直观性则可巧妙解决．下面利用数形结合法,先证明四个相关的结论．     

多个绝对值相加求最小值问题

在平时练习与做题中经常要遇到两个绝对值或者多个绝对值相加求最小值问题,形如：｜a｜＋｜b｜≥｜a＋b｜．｜a｜＋｜b｜＋｜c｜≥｜a＋b＋c｜等问题,当然也可以从两个、三个扩展到多个绝对值相加,这样的形式在取等号时要求a、b同号（两个相加时）,或者a、b、c同号（三个相加时）,     

审慎求解二项展开式中系数的绝对值之和问题

赋值法是计算二项展开式中各项系数之和的常用方法,借鉴此法来求解二项展开式中各项系数的绝对值之和时,容易犯一类较为隐蔽的错误.     

三条线段之和最小值问题

近几年,中考数学试卷中出现了求三条线段之和最小值的试题,题目多变,风格清新,但万变不离其宗.下面举三例:例1(2009福建彰州改编)如图1,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,     

一类线段长之和的最小值

在平面几何中经常遇到一类求线段长之和的最小值问题，解决的办法是把折线问题转化成直线问题，利用平面内两点间直线段最短的公理，从而求出各线段长之和的最小值，在立体几何中，也有这样一类求线段之和的最小值问题，解决办法首先是将空间问题转化成平面问题．进而将折线问题转化成直线问题，最后利用公理来解决。     

一类正值分式之和的最小值的求解策略——构造分布列

<正>Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差.由Dξ=E(ξ-Eξ)2=Eξ2-(Eξ)2≥0,知Eξ2≥(Eξ)2(*),当且仅当ξ可能取的值都相等时取等号.构造随机变量ξ的分布列,利用(*)式可以巧求一类题型的最小值.例1已知x,y,z∈R+,且2x+4y+7z=5,求2x+y4+7z的最小值.解构造ξ的分布列为     

用轴对称探索线段之和的最小值

数学学习源于课本,而课本对知识的阐述通常以标准图形和标准问题出现,学生在学习时容易形成思维定式,分不清图形与问题的本质属性和非本质属性,借助变式训练有利于加深对知识本质的理解,加强对教学有效性的提高.     

求解绝对值方程

求解绝对值方程的关键是根据绝对值的定义或性质,正确地去掉绝对值符号,将其转化为一般方程,下面举例分析．     

非绝对值问题添绝对值求解

在解含有绝对值符号的问题时,化去绝对值的符号是很容易想到的。但有些非绝对值的数学问题,按照常规思路求解较难,若合理地添加绝对值的符号,反而会得到问题求解的新途径,既避免分类,又收到意想不到的效果,今举几例说明。     

求解绝对值方程

解绝对值方程的关键是去掉绝对值符号, 要去掉绝对值符号,首先可令方程中的所有的绝对值式子分别等于0,解出相应的值(相同的看作一个),然后根据求出的值(零值点)划分区间, 最后根据这些区间进行分类讨论．请看:     

一类多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法

近年来,高考和竞赛常出现多个绝对值求和型函数的最值问题,该类型问题常常采用分类分段讨论去绝对值符号的办法来解决,但往往因分段区间太多而难以有效解决．     

求解两个正数和的最小值问题解析

本文再现近五年高考数学中“求两个正数和最小值”的有关问题,通过试题来演绎使用均值不等式解决此类问题关键．不等式在高考数学中占有重要的地位,而均值不等式又是不等式这一章中最基础、应用最广泛的灵活因子,对均值不等式内容考查的命题始终是高考热点问题之一．每年高考考试大纲里明确要求：理解和掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理,可见它是考查素质、能力的一个窗口。     

一类含有绝对值的函数最小值的求法

讨论含有绝对值号函数的最小值求法     

交流电的电荷量是绝对值之和吗

本文举例论证了电流反向时一段时间内的电荷量对应电流的平均值而非均绝值,并对电荷量问题的教学和命题提出了建议.     

利用对称性求解根之和

有关方程所有根之和,我们有下列结论: 结论1 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,且方程f(x)=0有n个根,则这n个根之和为na(n∈N*).     

四招求解等比数列之和

教材中证明等比数列前n项和公式的方法是错位相减法，本文再从四个不同视角出发，给出四种方法，供大家学习参考．     

绝对值问题的求解策略

有关含绝对值的试题,尤其是绝对值与不等式的综合试题在各级各类数学竞赛中频频出现,本文就此介绍一些常见的求解策略．     

怎样求解含绝对值不等式

解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,转化为不含绝对值符号的一般不等式。因此,掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。一化归定义法     

数形结合,巧求两线段之和最小值

<正>~~