线段垂直的一个充要条件的推广及应用

文[1]给出了平面内两条线段互相垂直的一个充要条件（本文称为定理1）．定理三线段AB与CD垂直的充要条件是对于任意平面四边形，定理1即为“平面四边形的两条对角线互相垂直的充要条件是其两组对边的平方和相等”．若将平面四边形沿其对角钱折成一个空间四边形，其两条对角线与两组对边之间也有此结论．由于空间四边形总对应于一个四面体，因此将定理1推广到四面体中，可得到四面体的如下性质．定理2四面体的一组对棱互相垂直的充要条件是另两组对棱的平方和相等．也就是：在四面体D－ABC中，AB上CD的充要条件是AC’＋BD’一AD’＋B…     

再论两条直线垂直的充要条件及应用

文①文②中用线段运算的方法给出了两条直线垂直的充要条件。本文用矢量的观点再给出两条直线垂直的充要条件。定理任意两个非零矢量a、b所在的直线垂直的充要条件是a.b=0。证明若两条直线垂直,那么这两条直     

线段垂直的一个充要条件及应用

定理 线段AB与CD垂直的充要条件是AC~2-AD~2=BC~2-BD~2. 证明 [1]必要性由勾股定理即可得出.下面证明充分性（图 1（1)),记∠AOC=α,∠AOD=β,应用余弦定理有     

证明两条直线垂直的定理向空间推广

笔者发现,本刊1987年第5期《关于证明两条直线互相垂直的一个定理》一文的定理,可进一步推广到空间的情形。有定理:四面体一组对棱垂直的充要条件是另外两组对棱的平方和相等。即在四面体     

两条直线垂直的充要条件及其应用

文(1)介绍了一种用线段运算来证明同一平面内两条直线互相垂直的方法.笔者拜读后发现,此结论在空间也是成立的,并且其逆命题亦真.这给立体几何中证明两条直线互相垂直,提供了一种方法.定理任意两条线段所在直线互相垂直的充要条件是:一条线段的两端到另一条线     

矩形的一个性质在一类折纸问题中的应用

定理 平面上两条直线互相垂直的充要条件是这两条直线分别被同一矩形两组对边(或延长线)所截得的两条线段与这矩形两邻边对应成比例。如图     

“射影证法”的改进

贵刊1988年第七期发表了郑必建同志的《比例线段的射影证法》一文,阅后颇受启发。但他所采用的垂直射影的特殊辅助证法,我认为可用更一般的射影手法,以避免在平几证题中添置过多的辅助线。该文所述的方法是:先作一条不与比例线段所在直线垂直的直线l,再将有关的点、线段垂直投影到l上,形成满足平行线截线段成比例定理之条件,使命题得以证明。例如,美耐劳斯定理: 直线     

浅谈中学数学中定理的结构

中学数学中有各种形式的定理,特别在《几何》中定理连篇。在教学中,不但要求学生记住。而且要求学生会证明和应用。为了顺利地完成这方面的教与学,必须掌握建立在命题、命题函数、及其运算基础上的定理结构。现在我们来分析下面的定理。定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。所给定理可改写成:在平面上,若点在已知线段的垂直平分线上,则它到这条线段的两个端点的距离相等。由此可见,通过改写定理中的三句话,可以把定理分成三部分:论域(平面上所有点组成的集合I);题设(点在线段的垂直平分线上);结论(点到线段两端点的距离相等)。且题设和结论都是定义在集合I上的命题函数。事实上,     

关于证明两条直线互相垂直的一个定理

在现行的平面几何教材中,关于如何证明两条直线互相垂直,方法介绍了很多,但有一个定理,即“若点 P、Q∈a,点M、N∈b,且PM~2-PN~2=QM~2-QN~2,则a⊥b”(见梁绍鸿著《初等数学复习及研究(平面几何)》第118页习题12)却谈及甚少。本文介绍并证明该定理,并举例说明某些证明线段垂直的几何题,运用该定理,较为方便。定理:若点P、Q∈a,点M、N∈b,(P≠Q,M≠N)且 PM~2-PN~2=QM~2-QN~2,则a⊥b。     

直角三角形中线定理逆定理的探究

直角三角形的中线定理,即直角三角形斜边上的中线长度是斜边长的一半,是初中几何中的一个基本定理其逆命题“从直角三角形直角的顶点向斜边上引线段,且此线段等于斜边一半,则此线段为斜边上中线”,《几何学》将其作为一个成立的定理给出,然而这个定理是有一定的适用范围的．     

关于二次曲面的切平面的定理

《曲阜师院学报》1981年第3期登载了张维谐、王恩大二位同志的文章“直线和圆锥曲线相切的充要条件”。他们指出了对这个问题讨论的重要性并且证明了以下的三个定理:定理1 一直线是椭圆的切线的充要条件是它与椭圆仅有一个公共点。定理2 一直线是双曲线的切线的充要条件是它不平行于双曲线的渐近线,且与双曲线仅有一个公共点。定理3 一直线是抛物线的切线的充要条件是它不平行于抛物线的对称轴,且与抛物线仅有一个公共点。     

谈不等式两则

一、改进一个不等式取等号的充要条件本刊1988年第6期《一个不等式取等号的充要条件及应用》一文中,给出了下面两个定理定理1 不等式|a+b|≤|a|+|b|(a∈R,b∈R)取“=”号的充要条件是ab≥0。定理2 不等式|a|-|b|≤|a+b|(a∈R,b∈R)取“=”号的充要条件是a=b=0或-1≤b/a≤0。     

平行线分线段成比例定理教学后记

初中《几何》第二册“平行线分线段比例定理”是平面几何的一个重要定理 ,它是研究相似形最重要和最基本的理论 ,一方面可以直接判定线段成比例 ,另一方面 ,当不能证明要证的比例成立时 ,常用这个定理把两条线段的比转化成另两条线段的比 .把平行线分线段成比例定理应用在三角形上 ,就得到了定理的一个重要推论 ,这个推论是判定三角形相似的理论基础 .然而 ,关于平行线分线段成比例定理 ,教科书是通过平行线等分线段定理举例说明它的正确性 ,学生没有足够体验 ,很难达到对定理的理解 ,进而影响了后续知识的掌握 .在这一课的教学中 ,笔者根据…     

高考平面向量考点解析与试题集粹（上）

数学科《考试大纲》要求考生：①理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；掌握向量的加法和减法．②掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．③了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．④掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．⑤熟练掌握平面两点间的距离公式、线段的定比分点及中点坐标公式和平移公式的应用．     

两条直线垂直的充要条件及共应用

（本讲适合高中） 平面几何中证明两条直线垂直的基础知识很多,本文介绍两条直线垂直的一个充要条件,即等差幂线定理．     

两条直线垂直的充要条件及共应用

（本讲适合高中） 平面几何中证明两条直线垂直的基础知识很多,本文介绍两条直线垂直的一个充要条件,即等差幂线定理．     

面积法证明几何定理

人教版初中《几何》第二册,《相似形》一章中的两个定理:定理1 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例(第208页).定理2 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边(第213页).     

Hagge定理的空间推广

正1引言与主要结果文献[1]介绍了三角形中一个优美的六点共圆定理,即定理0(Hagge定理)从三角形的顶点到对边引共点的线段,以它们为直径作圆;过三角形的垂心作这些线的垂线,与相应的圆相交,所得的六个交点共圆,且圆心就是共点线的公共点.本文将这个优美的六点共圆定理推广至三维空间,得到了一个关于垂心四面体的四圆共球定理:定理1设垂心四面体A1A2A3A4的垂心H在四面体内部,从顶点Ai到所对面引线段AiBi(i=1,2,3,4),四条线段交于一点P;以线段AiBi为直径作球面Si,过H作平面与线段AiBi垂直,且与球面Si相交于圆Oi(i=1,2,3,4),则所得     

构造线段垂直平分线证题

同学们知道 :垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线定理及其逆定理分别是 :线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。到一条线段两个端点的距离相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上。求解某些几何证明题时 ,从构造线段垂直平分线入手 ,可简化证明的思维过程 ,捷足先登。例 1　如图 1 ,∠ 1 =∠ 2 ,BC =BD ,求证 :AC =AD证明 :连结CD的交直线AB于E∵BC =BD ,∠ 1 =∠ 2∴BE是CD的垂直平分线∵点A在直线BE上∴AC =AD 例 2　如图 2 ,△ABC中 ,∠ACB =90° ,∠B =6 0° 求证 :AB =2BC …     

如何学好平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理及其推论是研究相似形的最基本理论,本文就如何学好《平行线分线段成比例定理》一节谈一点看法,供同学们学习时参考. 一、掌握好各线段的对应关系,是用好定理及推论的前提.