形如1/a+1/b=1/c的几何题证明

例题如图1,已知直线AB同侧有平行线AC、BD,连结AD、BC交于E,又EF∥AC交AB于F,求证:A1C+B1D=E1F.分析:这是形如1a+b1=1c的证题,通常先化为ca+bc=1,再用等比代换证ac=ef,bc=eg且f+g=e,即化成同分母分式相加的形式。证明∵EF∥AC∥BD图1∴AECF=AFBBBEDF=AABF∴AECF+BEDF=BFA+BFA=1∴A1C+B1D=E1F.由此例可得:过梯形对角线交点向一腰所引平行于底的线段长的倒数等于两底长的倒数之和。把图1作为“基本图形”,在证形如1a+1b=1c的证题时,只要寻找或构出“基本图形”便可找到解决问题的突破口。一、直接应用“基本图形”…     

巧证三角形全等

三角形全等是初中几何的一个重点内容 ,同时也是一个难点 ,特别是当三角形出现重合部分时 ,更难找出对应角和对应边。现介绍一种方法———分离图形法 ,即把所需证明全等的两个三角形从原图形中平移出来。例 1　求证 :等腰三角形两腰上的高相等。已知 :如图 1 ,在△ABC中 ,AB =AC ,BD⊥AC ,CE⊥AB ,垂足分别是D、E 求证 :BD =CE 分析 :BD和CE可分别看成△ABD和△ACE的两条边 ,便可把BD和CE所在三角形分离出来 ,如图 1所示 ,更易找出这两个三角形的相等的边和角。图 1证明 :∵BD⊥AC ,CE⊥AB∴∠ADB =∠AEC =90°在△AB…     

作圆妙解题

例在△ABC中,AB一AC一7cm,点尸是BC边上的一点,A尸一scm,求B尸.Cj〕的值. 解法l如图1.作A AD土BC于点D, 丫AB一AC,八D 土BC,…BD一CD. :。B尸·CP一(BD+PD)(BD一尸D)一BD”一尸DZ一(AB“一AD“)一(八尸2一ADZ)=ABZ一A尸”一7“一52一24(emZ). 解法2如图2.以A为圆心、AB为半径作OA,过点A、尸作直径入了N, 由相交弦定理,得 B尸。CP一尸八沙。尸N 一(A尸+A」沙)(AN一A尸) =(7+5)(7一5) =24( emZ).BD尸C 图1图2 利用圆的一些性质解题,往往会收到事半功倍的效果.其关键是对图形仔细的分析,沟通与圆的内在的联系,进…     

巧变换妙解题

图形的变换,通常是指对图形进行折叠、平移、旋转等.在解题过程中,若能注意变换图形,往往会收到"柳暗花明又一村"的效果.一、折叠变换例1如图1,ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D,过C作BD的垂线交BD的延长线于E.你能用所学的知识说明BD是CE的2倍吗?     

四边形的一个定理及其应用

<正> 本文将四边形的一个关于对角线互相垂直的定理及其部分应用介绍如下,供师生参考。 1 定理 在四边形ABCD中,如果AB~2+CD~2=AD~2+BC~2,那么AC⊥BD。 证一:如图1,若AC不垂直BD,设∠DMC>∠BMC,AC交BD于M,则由余弦定理和公式cos(180°-α)=-cosα得     

10.2 相似三角形(一)

考测点导航 1.熟练掌握相似三角形的判定和性质; 2.正确、迅速进行平面图形中有关线段的计算和证明。典型题点击一、如图10-9,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,对角线AC⊥BD于P点,已知AD:BC=3:4,则BD:AC的值是_______。     

对角线互相垂直的任意四边形性质的证明和应用

性质:对角线互相垂直的任意四边形性质的面积等于两条对角线乘积的一半.如图1:在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,且AC⊥BD,垂足为P,则:四边形ABCD的面积=1/2AC×BD证明:因为AC⊥BD,所以S△ACD=1/2AC×DP,S△ACB=1/2AC×BP.因为四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ACB.     

角平分线与全等三角形的构造

与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜。由于角平分线具备“角相等”和“公共边”这两个自身条件,因此,解决这类问题,常可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法。例1如图1,在△ABC中,∠BAC的外角平分线上取一点D,连结BD、CD。求证:BD+CD>AB+AC·证明:在BA延长线上截取AE=AC,连结DE.图1∵∠1=∠2,AD公用∴△ADC≌△ADE∵ED=CD在△EBD中,ED+BD>BE,∴BD+CD>AB+AC·例2如图2,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,AC=AB+BD·求证:∠ABC=2∠C·证明:延长AB到E,使AE=AC,连结DE·图2∵AE=AC,∠1=∠2,AD=A…     

平行线分线段成比例两个基本图形的应用

在解决有关平行线分线段成比例问题中,首先要掌握有关的基本图形,从基本图形出发分析相关问题,从而解决问题。一、基本图形基本图形一如图一,由DE∥BC,可得:ADDB=AEEC,BDAB=CEAC,ADAB=AEAC=DEBC。基本图形二如图二,由DE∥BC,可得:ABAD=ACAE=BCDEAEEC=ADDB,ABDB=ACEC。二、基本图形的应用例1.如图△ABC中,E在AB上,F、D在AC上,ED∥BC,EF∥BD,AB=25,AC=15,AEEB=32,求:AF、DC、AE、EB各为多少?分析:这个图由两个基本图形组成。由图(一),ED∥BC,可得:AEEB=ADDC,由图(二),EF∥BD,可得:AEEB=AFFD…     

你可会用角的对称性?(初二)

角平分线,是将一个角平分成两个相等的角的射线.它是轴对称图形,它所在的直线是它的对称轴.因此,含有“角平分线”的问题,可考虑利用对称性通过构造全等三角形来解决. 例1 已知:如图1,在△ABC中,∠A=108°AB=AC,BD是角平分线.求证:BC=AB+CD.     

巧构等腰三角形解题

等腰三角形是一种特殊的三角形,它具有普通三角形的一切性质,同时还有自己的特性。所以在某些图形中,若能构造出合适的等腰三角形,利用等腰三角形的性质及其判定,往往能使问题迎刃而解。一、作腰构造等腰三角形1.如果题目中出现直角三角形斜边上的中点,常作出斜边上的中线,构成等腰三角形。例1:如图1,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别是对角线AC、BD的中点,求证:EF⊥BD。证明:连结BE、DE∵∠ABC=90°,E为AC中点,∴BE=12AC同理ED=12AC∴BE=ED又∵F为BD中点∴EF⊥BD2.如果题目中出现某线段垂直平分线,不妨作腰构…     

旋转变换解题举例

图形的变换主要有平移、翻折、旋转三种情形.利用图形的变换解题不仅可以化难为易,出奇制胜,而且可以培养同学们的求异思维.本文试以图形的旋转变换求解数学问题,以供参考. 例1 已知,如图1,△ABC中,AB=AC,∠ADB>∠ADC试探究BD、CD的大小关系. 分析:欲证DB相似文献   

例谈异面直线的距离的求法

例1已知正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求直线DA1与AC的距离.一、定义法利用异面直线距离的定义,作(找)出公垂线段并求其长度.解法1:如图1,易证BD1⊥AC,BD1⊥DA1,设DD1的中点为E,BD交AC于O,则OE∥BD1,连接AE交DA1于M,作MN∥OE交AC于N,则MN∥BD1,则MN为AC与DA1的公垂线段.如图2,     

面积计算与几何证明

利用面积计算来证明某些几何问题,具有直观、简便、灵活、新颖的特点,兹举例说明如下。一、证明线段相等例1 如图1,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上一点,且BD=CD,P是BC上任一点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,求证:PE+PF=AB。 (1986年西安市中考试题)     

“旋”而未定 “转”而得解——以“巧用旋转，探究线段数量关系”专题复习课为例

<正>图形的旋转是重要的图形变换,由于旋转不改变图形的形状和大小,只是位置关系发生变化,旋转转移了边和角,使图中的条件重新组合,构造了新的图形,在新的图形中发现新的数量关系,位置关系,从而使复杂的问题变得简单了,有些百思不解的题目也可能豁然开朗了!一、认知模型问题1 在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上且(1)如图1,若∠BAC=90°,求证:BD2+CE2=DE2.(2)如图2,若∠BAC=60°,     

几何不等问题

在平面几何里,证明线段不等的问题是一个难点·学生常常束手无策,那么是否有规律可循呢?其实,这类问题都可以转化为利用三角形三边关系定理来解决,这里从以下几方面举例说明·一、利用翻折变换集中条件例1已知:如图1,DE是BC的垂直平分线·求证:AB>AC.证明:连接DC.在△ADC中,AD+DC>CA·因为DE是BC的垂直平分线,所以BD=DC,所以AD+BD>AC,即AB>AC.例2已知:如图2,在△ABC中,AE为外角∠DAC的平分线,P为AE上的一点·求证:PB+PC>AB+AC.在AD上截取AM=AC,连接PM·因为AP=AP,∠1=∠2,AM=AC,所以△APM≌△APC,所以PM=P…     

借助极限图形证题

借助图形的变化趋势——极限图形证题,是将一般图形特殊化,复杂问题简单化的一条有效途径.正确利用,对解题十分有利.1 借助极限点例1 如图1,凸四边形 ABCD 的对角线     

一道几何题的多种证法

例已知:如图1 △ABC中,AB=AC、PE⊥AB.PF⊥AC,BD⊥AC.求证:BD=PE+PF.一、截取法一条线段等于两条线段的和,可在最长线段上截取一条与其中一条较短的线段相等,再证明剩下的线段与另一条线段相等,     

浅谈几何图形的处理

几何教学以培养学生的空间想象能力 ,逻辑思维能力和计算能力作为出发点 ,对图形的处理 ,一方面通过对图形添加辅助线、辅助面 ,构造出新的图形 ,另一方面指对图形的平移、分割、补全、折叠、展开等变形 ,通过以上两种方式的处理可以使立体图形平面化 ,复杂图形简单化 ,从而使解题过程简捷明快 .1　平移问题图 1例 1　如图 1,在梯形ABCD中 ,AD∥BC ,对角线AC ⊥BD ,且AC =6cm ,BD =8cm .求梯形ABCD中位线的长 .评析　把AC沿AD方向平移到DE的位置 ,AC与BD从“交叉”位置平移成了直角三角形的两条直角边 ,由勾股定理得 ,BE =10cm…     

线段垂直平分线性质在解题中的应用

线段的垂直平分线(中垂线)的性质定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用,现举例说明,供同学们参考.一、用于求线段长例1如图1,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E.若AB=14,△BCD的周长为22,求BC的长.分析:由DE是AC的垂直平分线,得DA=DC.则BD+DC=BD+DA=AB=14.又BC+BD+DC=22,故BC=22-(BD+DC)=22-14=8.(具体证明过程请读者自行完成,下同)二、用于求角的度数例2如图2,AB⊥CD于B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于E、F,EB=EF,求∠A的度数.分析:由CF是AD的垂直平分线想到连结DE,则AE=DE,故∠A=∠1…