从“角”入手的三角函数解题策略

<正>三角函数与角关系密切,求解三角函数问题从"角"入手十分重要.以下从三个方面举例说明.一、从角的范围入手三角函数值的符号由角的终边所在象限确定,三角函数值的符号必须根据角的范围来确定.例1已知3sinα-cosα=1,α∈(0,π),求sinα.分析∵α∈(0,π),∴sinα> 0.解由3sinα-cosα=1,得cosα=     

求带电粒子在磁场中的运动时间的思路

1．由圆心角α求时间带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,设周期为T,可求出运动圆弧所对的圆心角α,     

三角函数中最易出错问题例析

1漏写k∈Z 很多同学在做这部分习题时,都会出这种问题.如由sinα=0求角α的值时,同学的答案往往是α=kπ.规范性的答案应该是α=kπ(k∈Z).     

“二倍角的三角函数”导学案设计

<正>1.课前预习导学1.1情景创设问题1:设α∈(π/2,π),sinα=1/2,如何求sin 2α?试判断sin 2α=2 sinα成立吗?问题2:设α∈(π/2,π),sinα=5/13,求sin 2α,你会做吗?1.2引入课题本课研究的课题:角α的三角函数与它的二倍角2α的三角函数之间存在什么样的关系?如果从形的方面来思考:看书P105图3-2-1观察函数     

巧变角 速求值

在三角函数的条件求值问题中 ,常需要运用整体观念 ,巧变角 ,沟通条件式和欲求式之间的关系 .现举两例说明 .例 1　已知ｃｏｓα-π3 =1 51 7.,-π2 <α<0 ,求ｃｏｓα的值 .分析　若将条件式ｃｏｓα-π3 直接展开求ｃｏｓα ,虽然思路清晰 ,但无疑有一定的计算量 .若将α-π3 看作整体 ,则ｃｏｓα =ｃｏｓα -π3 +π3=12 ｃｏｓα-π3 -32 ｓｉｎα-π3=1 53 4-32 ｓｉｎα -π3 ,∵ -π2 <α<0 ,∴ -5π6<α -π3 <-π3 ,∴ｓｉｎα -π3 =-81 7,∴ｃｏｓα=1 5+833 4.注　本题通过角的变换α=α-π3 +π3 ,只需求出ｓｉｎα -π3 的值…     

直线边界磁场的圆心角算法

<正>解决带电粒子在匀强磁场中的运动问题时,常常需要计算粒子做圆周运动时经过的圆弧所对应的圆心角,必然需要计算粒子运动的时间。那么,如何计算圆心角呢?圆心角的计算有没有固定的计算办法呢?答案是肯定的,圆心角α=2π-2θ,其中θ是射入角(速度与边界的夹角)。     

三角函数

基础篇课时1角的概念与任意角的三角函数诊断练习一、填空题1.与-490°终边相同的最大负角是,最小正角是.2.在半径为2米的圆中,120°的圆心角所对的弧长是.3.角α是第二象限角,则π+α是第象限角;-α是第象限角;π-α是第象限角.4.若角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是.二、选择题5.将时钟拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是()(A)π6.(B)-π6.(C)π3.(D)-π3.6.设E={锐角},F={小于90°的角},M={第一象限的角},N={小于90°的正角},那么有()(A)E=F.(B)F=M.(C)E=M.(D)E=N.7.若角α的终边在直线y=2x…     

高一数学单元测试

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合M={x｜x=k2π+π4,k∈Z},N=x｜x=kπ4+π2,k∈Z,则()(A)M=N(B)MN(C)MN(D)M∩N=2.若1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()(A)sin12(B)π6(C)1sin12(D)2sin123.已知角α的终边与角-690°的终边关于原点对称,其中绝对值最小的角α是()(A)30°(B)-150°(C)60°(D)-120°4.若cos(-100°)=k,则tan80°等于()(A)1-k2k(B)-1-k2k(C)1+k2k(D)-1+k2k5.若π4<α<π2,则sinα、cosα、tanα的大小关系是()(A)tanα<…     

三角恒等变形中角的变换常用的五种策略

一、"给值求值"时将"待求角"用"条件角"表示 例1 已知cos(α-β)=-4/5,cos(α β)=4/5,且α-β∈(π/2,π),α β∈(3π/2,2π),求cos2α.     

利用三角变换,确定角的大小

在三角中,求角的大小,通常是通过求这个角的一个三角函数值来解决.根据三角函数的周期性,一个三角函数值对应无数个角,因此用三角函数值确定角的大小的核心问题是确定角存在的范围.例1:已知α∈(0,π),β∈(0,π),cosα=4/5,tgβ=-7,求α+β.分析因为已知条件中有taβ的值,所以用 tg(α+β)确定α+β的大小比较简单.     

构造方程求三角函数式的值

构造方程是求三角函数式的值的一种很“厉害”的方法.兹举例说明.1利用根的定义例1求下列各式的值:(1)tan7πtan27πtan37π;(2)tan2π7+tan227π+tan237π.解求值式类似于韦达定理中的式子.设法构造三次方程,而倍角公式中有3次方.于是推导如下:令tan 7α=0,则α=k7π(k∈Z)且tan 4α=-tan 3α(反之亦然),两边各用倍角公式,得4tanα-tan3α1-6tan2α+tan4α=-3ta1n-α3-ta tna2nα3α,当k=1,2,3时,tanα≠0,上式可化为tan6α-21tan4α+35tan2α-7=0,说明tan2π7,tan227π,tan237π是方程t3-21t2+35t-7=0的根.据韦达定理,知(1),(2)两式的值…     

三角恒等变形中角的变换常用的五种策略

一、“给值求值”时将“待求角”用“条件角”表示例1 已知cos(α-β)=-4/5,cos(α+β)=4/5,且α-β∈(π/2,π),α+β∈(3π/1,2π),求cos2α. 解:由已知求得sin(α-β)=3/5,sin(α+β)=-3/5.又2α=(α-β)+(α+β),所以cos2α=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)·代入已知数据得cos2α=-7/25. 练一练已知sin(π/4-α)=5/13(0<α<π/4),求cos2α/(?)的值.     

转化思想在三角函数求值中的应用

转化思想是把未知的问题转化到已有知识范畴解决问题的一种重要思想方法.数学问题的解决就是将要解决的问题转化为已经解决的问题.在三角函数求值中体现得更为突出,主要表现为以下几个方面.下面举例加以说明.一、角的转化一把结论中的角转化为已知条件中的角求解,以达到求三角函数值的目的例1(高中数学教材高一下,P4211题)已知cos(α-β)=-54,cos(α β)=54且α-β∈(π2,π),α β∈(32π,2π),求cos2α,cos2β的值.分析:要求cos2α,cos2β的值,首先要建立2α,2β与α-β,α β之间的转化,即为2α=(α β) (α-β),2β=(α β)-(α-β).所…     

数形结合法在三角函数中的应用

在三角函数这一章的学习中,要非常重视数形结合思想的运用,尤其是在选择、填空题中,除了常见的求三角函数单调性、值域、最值等借助数形结合进行处理外,以下问题也可以用数形结合法解决.1、若0FαF2π,且｜cosα｜F｜sinα｜,则角α的取值范围是__________.解:(法一)Q｜cosα｜F｜sinα｜,不等式的两边同平方得cos2α-sin2α=cos2αF0,2α∈[0,4π]由y=cosα图像可得2α∈[12π,23π]U[25π,72π]∴α∈[14π,43π]U[45π,47π](法二)由y=｜cosα｜和y=｜sinα｜在0FαF2π的图像直接可得α∈[14π,34π]U[45π,47π]评注:由此可见,借…     

例谈三角解题的切入点

三角变换的方法与技巧很多 ,归纳起来有十多种 ,但面对具体问题时 ,不少同学就不知选择哪一种 .为此本文介绍如何寻找切入口 ,以便快速解题 .一、从角切入三角变换离不开角 ,仔细分析条件与结论之间、等式的左边和右边之间的角的差异 ,这时解题可从消除角的差异切入 .例 1　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )已知ｓｉｎ2 2α+ｓｉｎ 2αｃｏｓα-ｃｏｓ 2α =1 ,α∈ 0 ,π2 .求ｓｉｎα、ｔａｎα的值 .分析　本题待求角是α ,故可先用倍角公式 ,接下来用因式分解法 ,就可求出ｓｉｎα=12 ,再求ｔａｎα即可 .解　由倍角公式 ,得4ｓｉｎ2 αｃｏｓ2…     

正、余弦函数有界性的解题功能

｜sinx｜≤1、｜cosx｜≤1(x∈R),是三角函数中广泛应用的重要性质,恰当运用可使解题过程简捷流畅;反之,忽视正、余弦函数的有界性,是解题过程中出现错误的常见原因.下面结合实例介绍它的解题功能.一、求角【例1】已知6sin3β-cos22α=6,求α、β.解:原方程变形为6(sin3β-1)=cos22α,则有6(sin3β-1)≥0,即sin3β≥1因为｜sin3β｜≤1,所以sin3β=1,3β=2kπ 2π,即β=23kπ 6π(k∈Z),此时,cos2α=0,2α=kπ 2π,即α=12kπ 4π(k∈Z).评注:等式中含有两个未知数,需从正弦函数的有界性中挖掘隐含条件,寻找突破口.二、求最值【例2】求函…     

例说处理和(差)角范围问题的几点做法

在三角解题中经常遇到确定和(差)角范围的问题,学生常因确定和(差)角范围的偏差导致解题失误.本文举例说明这类问题的处理方法.一、合理选用公式来确定例1已知α,β均为锐角,sinα=55,sinβ=1010,求α β的值.解析:由已知条件有cosα=255,cosβ=31010,且0<α β<π.又cos(α β     

处理带电粒子在磁场中的运动的基本方法

解决带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题时,应首先画好草图,确定带电粒子在磁场中的运动轨迹,然后利用几何关系,结合运动规律求解。其中必须掌握确定轨道圆心、计算轨道的半径和圆心角的基本方法。1圆心的确定画出粒子运动轨迹中任意两点(一般是射入和射出磁场的两点)的洛仑兹力方向,它们延长线的交点即为圆心;轨迹中任意两点连线的中垂线也一定过圆心。2半径的计算半径的计算一般是利用几何知识,常用解三角形的方法。3时间的求解利用圆心角θ与弦切角的关系,或者是四边形内角和等于2π计算出圆心角θ的大小,由公式t=2θπ×T求出运动…     

一道最值问题的多维思考

最值问题是高中数学的重要内容之一 ,也是高考的热点 .本文通过对一道简单的最值问题的多维思考 ,来说明这类最值问题的一些常用求解方法 .题　已知 :ａ +ｂ=1 ,且ａ>0 ,ｂ >0 ,求1ａ +1ｂ 的最小值 .思路 1　由已知ａ+ｂ=1 ,联想到ｓｉｎ2 α+ｃｏｓ2 α =1 ,用三角代换方法求解 .解法 1　设ａ =ｓｉｎ2 α,ｂ =ｃｏｓ2 α 0 <α<π2 ,则1ａ +1ｂ =ｓｅｃ2 α+ｃｓｃ2 α=2 +ｔａｎ2 α+ｃｏｔ2 α≥ 4,当且仅当α=π4,即ａ=ｂ =12 时 ,取得最小值 4.思路 2　由ａ+ｂ =1 ,有 1ａ+1ｂ =1ａｂ,联想到ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,可用基本不等式求解 .解…     

通过构造辅助方程求某些三角函数式的值

构造法是数学中常用的也是重要的方法之一.本文将通过构造辅助方程求某些三角函数式的值,而这些三角函数的值都是不易直接求解的。例1 求sin18°的值. 解:设α=18°,那么3α=90°-2α,从而sin3α=cos2α,即 3sinα-4sin~3α=1-2sin~2α, 4sin~3α-2sin~2α-3sinα 1=O.这说明sin18°是方程4x~3-2x~2-3x 1=0的一个根. ∵ 4x~3-2x~2-3x 1=(x-1)(4x~2 2x -1). ∴原方程的根为1,(-1±5~(1/5))/4,于是sin18°=(-1 5~(1/5))/4. 例2 求 cosπ/7-cos2π/7 co3π/7的值。解:设α=π/7,并设原式为y,那么y=cosα cos3α cos5α,从而