用赋值法解一类小学数学竞赛题

近年来,“小学效学奥林匹克竞赛”、“华罗庚金杯赛”、“九章杯中国小学生数学竞赛”等小学数学竞赛在全国小学中蓬勃开展。这些竞赛的试题有一个共同的特点:试题较难,题量较多。这要求参赛的学生不仅要有扎实的基础知识和熟练的基本技能,而且还要掌握多种解题方法与技巧。本文通过例题介绍一种有效的解题方法——赋值法。     

怎样用配对法解竞赛题

解题时,将题中某一结构(如数、式、图形等)设为A,然后配上一个与A密切相关的结构B,通过A与B的运算,通常是A±B,AB或A÷B,从而使问题获得巧解。这种解题的思想方法称为配对法。下面选择几道典型的适于配对法的赛题作为例题,以说明其     

均值代换解一类数学竞赛题

由已知 x+y=a,取 a 的平均值 a/2,令 x=a/2+r,y=a/2-r;也可令 x=a/2+r_1,y=a/2+r_2,其中 r_1+r_2=0;对于含有更多变量的已知条件,可作类似变换,这个代换我们称之为均值代换,用均值代换解含有已知条件 sum from i=1 to n x_i=     

用待定系数法解一类竞赛题

例1 (第八届“五羊杯”初中数学竞赛试题)若a-2b 3c=7,4a 3b-2c=3,则5a 12b-13c=( ). A.30 B.-30 C.15 D.-15 解:设5a 12b-13c=l(a-2b 3c) m(4a 3b-2c).     

用增元法解一类竞赛题

在水流问题中涉及到许多已知量和未知量,因而不易找出等量关系,若采用多设未知数的方法便可方便地列出方程来求解。这里多设的未知数称为“增元”或“辅助未知数”。例1 一艘轮船从A港到B港顺水航行需6小时,从B港到A港逆水航行需8小时。若在静水条件下,从A港到B港需( )。 (A)7小时 (B)6(6/7)小时 (C)7(1/2)小时 (D)6(1/6)小时 (1990年武汉、重庆、广州、洛阳、福州联赛题) 解设船在静水条件下,从A港到B港需x小时,两港之距为s千米。     

用分组法解一类竞赛题

新颖别致的融思考性、趣味性、技巧性于一炉的竞赛题，解题策略很多。分组法是其中的一种。例１１＋２－３－４＋５＋６－７－８＋９＋１０－１１－１２＋…＋１９９７＋１９９８－１９９９－２０００＋２００１＋２００２等于多少？分析与解：除首尾两项之外，其余各项依次每四项分为一组，每组的计算结果都为０：２－３－４＋５＝０，６－７－８＋９＝０，……１９９４－１９９５－１９９６＋１９９７＝０，１９９８－１９９９－２０００＋２００１＝０，整个算式的计算结果等于首、尾两数之和。即原式＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７…     

用根变换解一类竞赛题

对一元代数方程（多项式）的根x作一个变换：是处理与其根有关的一类问题的有效手段，特别是解证一些竞赛题简捷、明快例1证明，对任意非零的a、β，多项式ax~3-ax~2 βx β的根x_1,x_2,x_3满足（民主德国1977年竞赛题）证对多项式：作根变换：x→1/x,得多项式：∵多项式(1)的根为x_1，x_2，x_3,∴多项式(2)的根为对多项式(1),(2)分别用韦达定理，得例2设多项式：恰有n个正根，证明，它们都相等.(保加利亚1983年竞赛题)证设多项式(1)的n个正根为x_1，x_2,据韦达定理，现对多项式(1)作根变换:x→1/x,得多项式：其根为由韦达定理，由Canchy不…     

用均分组合法解一类竞赛题

一类含有多变元及常数,且变元间具有轮换对称性的竞赛题,采用把常数项或独立项(指与其他项不成对称的项)均分到其他各对称项,进行重新组合,并使表达式右边为零.这样,在变形、化简、及放缩过程中     

用一个代数恒等式解一类竞赛题

利用配方法容易证明下面的代数恒等式:a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca=1/2[(a-b)~2 (b-c)~2 (c-a)~2](*)上式左右两边关于 a、b、c 轮换对称,并且右边是三个非负数之和的一半,同时隐含着(a-b) (b-c) (c-a)=0这一条件.下面举例说明它在解一类竞赛题中的应用.     

用构造法解数学竞赛题

在解决一些数学问题时 ,有时需要把已知条件重新进行一番“构造制作”,以一种新型的“数学模型”出现 ,这样问题就变得直观、简明 ,使较难的问题得以顺利解决。这种方法称之为“构造法”。一、构造图形有些几何图形 ,如直角三角形、正三角形、正方形、矩形、圆等是我们非常熟悉的。若题中的某些条件或结论与这些特殊图形有某种关联 ,就要想法构造出这些特殊图形 ,通过数形结合降低难度、简化运算。例 1 .△ ABC中的三边为 a,b,c,∠A=1 35°,∠ B=1 5°,求 a∶ b∶c。分析 :∵∠ C=1 80°- (1 35° 1 5°) =30°,∴可考虑构造含 30°角的…     

用余数分类解数学竞赛题

整数是数学竞赛中的一项重要内容,而余数又是整数中很重要的概念.我们知道:设 n>1是正整数,对于任何整数 a,a被 n 除得的余数有有 n 种可能性,即余数为0,1,…,n-1之一,按照被 n 除得的余数,我们可以把全体整数分作 n个类,这样,每个整数都在某个类中,且同一个整数不会在两个不同的类中出现.特别地,n=2时便得到奇、偶数两个类.一用奇偶性分析解题例1 设 n 为奇数,a_1,a_2,…,a_n是由 n 个自然数,1,2,…,n 按某种顺序排列的 n 个数.证明     

巧解一类竞赛题

对于一些数字计算竞赛题,逆用乘法分配律可找到很好的解题途径,收到事半功倍的效果. 例1计算9999火2222十3333又3334. (1998年长春市初三数学竞赛题) 解原式=(3333X3)X2222+3333X3334 =3 333只(3又2 222+3 334) =33 330 000. 例2计算17.48又37+174.8又1.9+8.74只88. (1998年“希望杯”初一数学邀请赛培训题) 解原式=17.48又37+(17.48XIO)只1.9+8.74 又(2只44) =17.48X37+17.48X19+17.48X44 =17.48X(37+19+44)=1 748. 例3已知1“+23+33+…+19963=a,则23+4,+63十…+39923等于()(A)Za(B)a3(C)sa(D)sa20一中考与竞赛一 (1996年“聪明杯”…     

剖分三角形法解一类数学竞赛题

什么叫剖分三角形法?笔者一下子也给不出个确切定义,其实也未必有这个必要,还是请读者通过下面的例子自己去领会吧. 例1.如图,P,Q,R将△ABC周长三等分,且P,Q∈AB.求证S_(△PQR)>2/9S_(△ABC).(88年全国高中数学竞赛题) 解如图,将△ABC各边三等分,把△ABC剖分为9个全等的小三角形,显然有     

巧解一类竞赛题

例1 方程|x-2|+|x-3|=1的实数解的个数有( )。 (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数多个 (1992年“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题) 解易见当x>3或x<2时,无解。而当2≤x≤3时, |x-2|+|x-3|=|x-2|+|3-x|=|x-2+3-x|=1。所以 2≤x≤3,故原方程有无数多个实数解。故答案选(D)。说明此题一般解法是分段讨论,求方程的解。现另辟蹊径,采用|a+b|=|a|+|b|当且仅当ab≥0时成立,能取到意想不到的效果。当然,采用|a+b|=|a|+|b|要特别注意条件。     

用比例的知识巧解一类竞赛题

数学奥林匹克竞赛题目既来源于数学教材,又高于数学教材。也就是说,可以用书本上所学的知识来解决竞赛题,只不过竞赛题本身的条件相当隐蔽,许多题目按照常规思路不易解决罢了。但如果我们善于分析竞赛题,转换思维角度,综合运用所掌握的书本知识,往往一些问题会迎刃而解。例1:5个空瓶可以换1瓶汽水,某班同学喝了161瓶汽水,其中有一些是用喝剩下来的空瓶换     

用杠杆原理巧解一道数学竞赛题

如图1,AB为杠杆,O为支点,根据杠杆原理有FA·OA=FB·OB。 若把实物杠杆AB看作一条线段,且把A、B两点看作有质量的质点mA、mB,如图2,同样有:mA·OA =mB·OB(＊) 如图3,P是△ABC内的一点,连接AP、BP、CP并延长,分别与对边交于D、E、F,已知AP=6,BP=9,PD=6,PE=3,CF=20,求△ABC的面积?     

怎样解函数竞赛题

函数是数学中的重要概念,也是数学竞赛的重要内容.在数学竞赛中,常见的函数有一次函数、二次函数、正比例函数和反比例函数,要正确解答函数相关的竞赛题,必须熟练掌握这些函数的概念,具备较强的数形转化能力和计算能力,现以竞赛题为例,说明这类问题的解法.     

怎样解一元二次方程竞赛题

一元二次方程是初中方程中的枢纽,是训练思维的好题型,是历届初中数学竞赛命题采撷的对象,为了使同学们熟悉有关解题的方法与技巧,现把在竞赛中常用到的几种方法归纳如下: 一、求根法:如果求方程有、无有