对称与周期关系的探索过程实录

1 问题的起源 今年高考压轴题中有这样一个小题:偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称,求证:f(x)为周期函数. 因为偶函数的图像关于y轴对称,所以该函数的图像有两条对称轴x=0与x=1,一般地,如果f(x)的图像分别关于两条直线x=α和x=b对称,f(x)为周期函数吗?若是,周期T与a,b又有何关系呢?2 特例的启发 带着这个疑问,观察函数y=sinx的图像可以发现:     

周期函数的三个定理及应用

文阐述了周期函数的两个定理及其应用,读后很有启发,但就该文讨论的函数结构关系式来说却不够全面、深刻.本文根据文[1]的思考方法,从直线、点、直线与点三个方面对周期函数的性质进行了探讨,得出以下三个定理,作为文[1]的补充说明. 对于函数y=f(x),x∈R,有定理一如果函数f(x)的图象关于直线x=2/1(m+n)和x=1/2(a+b)(m+n相似文献   

抽象函数的两个性质

性质一一个偶函数的图象若关于直线x=a(a≠0)对称,则这个函数为周期函数,且2a为它的周期. 证明设f(x)是偶函数,因其图象关于y轴对称,所以,如果点(x,y)在图象上,则点(-x,y)也在图象上,即f(-x)=f(x).又因其图象关于直线x=a对称,所以点(x+2a,y)也应在图象上,即f(2a+x)=f(-x),于是f(x)=f(-x)=f(x+2a)对于一切x都成立,f(x)为周期函数,2a为它的周期.     

偶函数的周期性和对称性

引理如果函数y=f(x)的图象关于直线x=a与直线x=b(a≠b)都对称,那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=2(a-b)     

听了“函数的轴对称性”一课后的几点感受

我听了马老师的"函数的轴对称性"一课后感受很深,收获很大.整个课堂讲授精彩,下面谈谈自己的几点感受.感受一:马老师在解决巩固练习":设函数在R上满足条件,求方程在区间上解的个数"中若再引入函数y=(fx)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数(fx)必为周期函数,且T=2|a-b|.这样可得函数为同时关于直线x=2与x=-1轴对称的周期函数,且T=2|2-(-1)|=6的周期函数,所以(f0)=(f-6)=(f6)=0,又关于直线x=-1对称,所以(f-2)=(f-8)=(f4)=(f10)=0,这样方程在区间上共有7     

对一个有关函数"三性"的命题之论证

文[1]中定理5给出三个条件(a≠b)：(1)函数f(x)的图像关于点(a，0)对称；(2)函数f(x)的图像关于直线x=b对称；(3)函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)是它的一个周期．以其中任两个论断为条件，另一个论断为结论，得到的三个命题均为真命题．文[1]只证明了由(1)、(2)推出(3)，那么，另外两个命题是否正确呢?     

函数对称性的探究

函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a.b)对称的充要条件是:f(x) f(2a-x)=2b推论:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是:f(x) f(-x)=0定理2.函数f=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是:f(a x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)推论:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是:f(x)=f(-x)定理3①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4｜a-b｜是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f(x)与y=2b-f...     

对一个定义的探讨

关于周期函数,中学课本中已有明确定义,这里不再赘述。而贵刊1994年第9期P.37页刊登的《周期函数》中,是这样定义周期函数的:“对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,且 (1)对于函数定义域中自变量x的任意值,x T和x-T都属于函数的定义域; (2)对于函数定义域中的任意x,都有f(x T)=f(x)或f(x-T)=f(x),则称函数f(x)是以T为周期的周期函数。 笔者认为,这个定义存在两个问题,一是条件(1)是多余的,不符合对一个概念下定义的原则。因为由(2)f(x T)=f(x)或f(x-T)=f(x)可知x T或x-T应属于定义域,否则其函数值谈不上相等。二是在(1)中说“x T和x-T都属于这个函数的定义域”,这又增加了限制条件,从而缩小了概念的外延。实际上x T和x-T不要求都属于这个函数的定义域,x T和x-T中有一个属于定义域即可。如,对于函数f(x)=     

探求函数的奇偶性、对称性、周期性三者关系

背景资料　 2 0 0 1年全国卷高考试题 (第 2 2题 ) :设 f(x)是定义在R上的偶函数 ,其图象关于直线x=1对称 ,对任意x1,x2 ∈ [0 ,12 ]都有 f(x1+x2 ) =f(x1)·f(x2 ) ,且 f( 1 ) =a >0 .( 1 )求 f( 12 )及f( 14) ;( 2 )证明f(x)是周期函数 ;( 3 )记an=f( 2n +12n) ,求limn→∞(lnan) .探求设想　对上面资料中的部分条件和结论删除 ,把其内容分成三个部分 :①f(x)是定义在R上的偶函数 ;②f(x)图象关于直线x =1对称 ;③ f(x)是以T =2为一个周期的周期函数 .我们可以这样设想 :把上面任两个条件组合能否推得第三个条件成立 ?显然由①② ③就…     

几个有关函数性质的命题及应用

命题1 已知函数y=f(x),x∈R,给出如下三个论断: ①f(x)是奇函数; ②f(x)的图像关于点(a,0)(a≠0)对称; ③f(x)是以2a(a≠0)为周期的周期函数.     

两个易混淆的公式

<正> 命题1 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x+T)=f(x-T)那么f(x)是周期函数,2T为它的一个周期证∵f(x+2T)=f[(x+T)+T] =f[(x=T)-T]=f(x)∴f(x)为周期函数,并且2T是它的一个周期.命题2 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有     

周期函数f(x)的倒数函数1/f(x)的周期性

关于周期函数f(x)的倒数函数1/(f(x))的周期性,文[1]是这样叙述的:“若f(x)是集M上的周期函数,则1/(f(x))是集{x|f(x)≠0,x∈M}上的周期函数。若f(x)有最小正周期T则1/(f(x))也有最小正周期T。”该定理的后半段是不正确的。文[2)曾给出一反例如下。     

函数的奇偶性、对称性、周期性(高一)

1.奇偶性、对称性与周期性定理1 设y=f(x)是定义在R上的奇函数,它的图象关于直线x=α对称(α为非零常数)那么 (1)y=f(x)是周期函数; (2)若y=f(x)的图象在x=α和x=-α之间无对称轴.则y=f(x)的最小正周期 T=4 |α|.     

怎样解三角函数的周期性问题

判别一个函数是不是周期函数,求周期函数的周期,以及证明最小正周期等问题,一般都是利用定义解决的。若函数f(x)为周期函数,必有等式 f(x+T)=f(x)成立。这里要注意:(1)T必须是常数,且不为零。(2)上式必须对于定义域内的所有x值都成立。要判别函数f(x)是周期函数或者非周期函数,以及求周期函数的周期只要列出等式f(x+     

周期函数若干判定定理

本文讨论周期函数的几个判定定理。 定理1 设y=f(x)是数集M上的周期函数,则 (1)kf(x) c(k,c为常数)是M上的周期函数; (2)|f(x)|是M上的周期函数; (3)1/f(x)是{x|f(x)≠0,x∈M}上的周期函数;     

亦谈周期函数与其导函数的周期

本刊92年第五期刊登了一篇题为“周期函数与其导函数的周期”的文章,该文证明了下述定理。定理非常值周期函数f(x)在R上有定义且连续,而f′(x)存在且可积,则f′(x)也为周期函数,并且f(x)与f′(x)有相同的周期。并举下例说明其应用。例设f(x)=x-2k,(2k≤r<2k+1) -x+2(k+1),k∈2 (2k+1≤x<2k+2) 则f(x)与f′(x)有相同的周期2。(见原文例3)。显然,上例中的f′(x)当x=k时,不存在,故上述例不满足定理之条件,故用上述定理得出其结果不妥。易见,条件“f′(x)存在且可积”是相当强的,以致于象f(x)=tgx这样常用的初等函数     

由条件f(ωx+ψ)≡f(x)确定的函数f(x)

本文的f(x)是定义在A上的函数,对于任何一个x∈A,都有f(ωx+ψ)=f(x)(其中ω、ψ为常数).众所周知,在上式中当ω=1、ψ≠0时,f(x)是T=ψ的周期函数;当ω=-1时f(x)的图像关于直线x=-ψ/2对称;当ω=0时f(x)是常值函数y=f(ψ).那么,当ω≠±1、0时f(x)又是如何的函数呢?     

用最小公倍数法求周期函数的周期

设f1(x)和f2(x)都是集合M上的周期函数,T1、T2分别是它们的一个周期,若T1/T2∈Q,则它们的和差与积商也是M上的周期函数,T1与T2的公倍数为它们的一个周期.     

由2001年数学高考"压轴题"产生的联想

2001年数学高考的“压轴题”是: [文科]设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x_1,x_2∈[0,1/2]都有f(x_1 x_2)=f(x_1)·f(X_2)。 (Ⅰ)设f(1)=2,求f(1/2)、f(1/4); (Ⅱ)证明f(x)是周期函数。 [理科]设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象是关于     

几道高考压轴题所蕴涵的重要分析引理

1先看2001年高考数学题(全国卷的压轴题,第22题)的表述:设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,P x1,x2∈0,21都有f(x1 x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a>0.(1)求f(21)及f(41);(2)证明f(x)是周期函数;(3)记an=f(2n 21n)求lni→m∞(lnan).这里问题的关键是函数方程式f(x1 x2