正方形折叠中一条性质的证明及其运用

<正>正方形的一种特殊折叠中,折叠后所得的一个直角三角形的周长与原正方形的周长之间,有一条很重要的性质.本文给出该性质的证明及其运用,供读者参考.1性质如图1,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点H重合(H不与端点C、D重合),点B的对应     

一道课本习题的引申——正多边形被覆盖的面积

人教版初中《几何》第二册第157页“想一想”中有这样一个题目：如图1，正方形ABCD的对角线相交于一点O，点O是正方形A’B’C’O的一个顶点，如果两个正方形的边长都是口，那么正方形A’B’C’O绕点O无论怎么转动，两个正方形的重叠部分的面积1总等于一个定值1/4a^2。试问：其它的正多边形吐是否有这种性质呢？     

关于正方形内一个点的探讨

在正方形内部,有一个很迷人的点.它以其特殊的位置,诱人思考. 正方形ABCD中,以点A为圆心,边长a为半径的弧与以BC的中点O为圆心,a为直径的弧相交于点P(如图1).关于点P,我们有下面的结果:     

所有的轮子都是圆的吗?

裁缝用的划粉其形状是令人着迷的.要作成划粉形,可以从等边三角形开始.以每一顶点为圆心,以三角形边长为半径,作弧经过另外两顶点即可.划粉形可以内接于一个正方形,当它被放在外接正方形中时,它能紧贴着正方形旋转(想一想,为什么?).作为这     

对正方形一个性质的拓展探究

<正>1正方形的一个性质如图1,正方形ABCD的边长为1,直线l经过B、D,连接AC,则AC⊥l.由正方形的性质及勾股定理可知,AC=槡2.由此可知,点A、B、C、D到直线l的距离之和等于槡2.性质1正方形ABCD的边长为1,它的一条对角线在直线l上,点A、B、C、D到直线l的距离分别为AA'、BB'、CC'、DD',设d=AA'+BB'+CC'+DD',则     

对一道课本题的探究与思考

正原题再现:如图,在方格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC,并分别以这个直角三角形的各边为一边向外部作正方形,试探究3个正方形面积之间有怎样的数量关系?数学模型:以BC为边的正方形面积记为S_1,以AC为边的正方形面积记为S_2,以AB为边的正方形面积记为S_3,则3个正方形面积之间的关系为S_1+S_2=S_3.解决问题:所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角     

正方形对称性的妙用

在刚刚结束的江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第一试试卷中有这样一题(第15题):如图1,四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,CE与DB相交于点F,则∠AFD=度.本题用度量的方法易知答案为60°.但是如何推得这一结论呢?利用正方形关于对角线对称的性质可以巧妙     

浅谈“直角三角形中两锐角互余”的广泛应用

“直角三角形中两锐角互余”这个性质是初一学生必学的一个知识点.这个看似简单而又常常被忽视的性质在以直角为背景的题目中使用频率最高,应用极为广泛,而且往往是解决问题的关键点和切入点.1全等中的应用例1如图1,正方形ABCD的对角线相交于O,E为OA上任意一点,CF⊥BE于点F交OB     

一道正方形与相似综合中考试题的探究与拓展

正方形具有多种性质,对边平行且相等,对角线互相垂直平分且相等,对角线平分一组对角,两条对角线分原四边形为多个等腰直角三角形等,在正方形一边上取一个动点,与这条边的对边的一个端点连线段,与经过另一个端点的对角线相交,构造线段比值问题,具有一定的规律,下面结合一道中考试题进行分析,并得出一般结论,供参考.     

以问题为中心。构建有效的课堂教学

在学习相似三角形的判定和性质之后,我们在平时的练习或考试中就经常会碰到一些关于三角形内接正方形的题目,这些题目灵活、多变、发散,往往是学生所惧怕的．基于这点,在复习课时我以三角形的内接正方形这一问题为中心,开展了一堂颇为有效的数学课．     

在深度学习背景下探索解题思维的自然性和问题生成的合理性

<正>深度学习是培养学生核心素养的重要途径,在深度学习中,着重研究解题思维的自然性和问题生成的合理性.本文从一道试题出发,谈谈笔者的认识和思考.一、试题分析(2019年宿迁中考题)如图1,正方形ABCD的边长为4,E是BC上一点,且BE=1,F是AB边上的一个动点,连结EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连结CG,则CG的最小值为___.本题通过设置动点,构造等边三角形,借助旋转,运用等边三角形和正方形的性质等核心知识,巧妙考查     

由课本例题演变的数学中考题

人教版初中（几何》第二册“想一想”栏目中有如下一道习题： 题目如图1（1）,正方形ABCD对角线相交于点O,点O是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形的面积1/4,想一想这是为什么。     

源于课本习题的创新题

实验与探究：如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，两个正方形的边长相等，那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的1/4,想一想，为什么？     

关于格点多边形的性质的讨论

平面直角坐标系中,纵坐标和横坐标都为整数的点称为格点,顶点都为格点的凸n边形称为平面格点凸n边形,1×1的格点正方形称为单位格点正方形.文[1]中提出了下列关于格点凸九边形的几个性质而没有给出证明:命题A(1)平面格点凸九边形的内部至少有11个格点;(2)平面格点凸九边形的内部及边界包含一个长为3,宽为2的格点长方形;(3)平面格点凸九边形的内部及边界最少包含10个两两不同的单位格点正方形.经研究后发现上述3个结论都不正确,事实上如下图,我们取格点A1(0,0),A2(3,1),A3(7,2),A4(12,3),A5(18,4),A6(16,3),A7(12,2),A8(7,1),A9(1,0).则…     

动动手

<正>鲁班是木匠的祖师。张木匠、李木匠和王木匠为了提高技艺,要拜鲁班为师,鲁班热情地接待了他们。鲁班说:"行啊,让我先考你们一下吧!这儿有块木板,上面有12个点,如果用4个点围成一个正方形,要求每个点都用上,你们可以围成多少个正方形?"张木匠说:"我先来。"他用绳圈围出两个大正方形和一个小正形,小正方形与大正方形不相连,点也不共用。鲁班点头表示赞许。     

关注正方形的探究问题

正方形的探究问题近年来在中考中屡见不鲜.这类问题以正方形为框架,将探究问题融入其中.解答时,要注意灵活利用正方形性质,借“全等三角形”之力.现举例介绍如下: 例1(梅州市中考题)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?     

第25课 特殊平行四边形

一、核心概念，内容定位 矩形、菱形、正方形的性质与判定，及其解决相关的计算和证明问题． 二、以题点知，回顾应用     

巧用正方形关于对角线对称解题

在2004年12月5日举行的江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试试卷中,有这样一题:如图1,四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形外作等边三角形ABE.CE与DB相交于点F,则∠AFD=.通过测量不难发现∠AFD=60°.如何推出这个答案呢?充分利用正方形关于对角线对称就可以迅速找到解题思路:∵正方形ABCD关于对角线BD对称,∴△AFD#△CFD,∴∠AFD=∠CFD.∵CB=AB=BE,∠CBA=90°,∠ABE=60°,∴∠BCE=∠BEC=15°.∴∠AFD=∠CFD=∠ECB+∠FBC=15°+45°=60°.正方形关于对角线对称,这是一个明显的事实,利用这一性质,可以较为巧…     

例说构造辅助正方形的思维策略

正方形由于图形完美 ,因此具有其他图形难以企及的性质 .挖掘题设条件 ,展开联想 ,构造出相应的正方形 ,其特性即可得到充分利用 ,使解题过程简捷明快 ,生动有趣 .本文谈谈构造正方形的思维策略 ,即构造正方形的几种“基” .一、以等腰直角三角形为“基”例 1　如图 1,在等腰直角△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =1,∠Ａ= 90° ,点Ｅ为腰ＡＣ的中点 ,点Ｆ在底边上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ .求△ＣＥＦ的面积 .( 1998年全国初中联赛试题 )解 :以等腰直角△ＡＢＣ为基 ,作正方形ＡＢＧＣ(如图1) .延长ＥＦ交ＣＧ于Ｈ .因ＦＥ⊥ＢＥ ,易证Ｒｔ△ＡＥＢ∽Ｒｔ△ＣＥＨ .…     

由课本例题演变的中考题

<正>人教版初中《几何》第二册“想一想”栏目中有如下一道习题:题目如图1(1),正方形ABCD对角线相交于点O,点O是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动,两个正方形重