因式分解的延拓——余数定理及其应用

因式分解是将一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式．如多项式f（x）分解成f（x）=p（x）q（x）,则p（x）,q（x）是f（x）的因式,     

简谈有理数域上多项式的可约性

复数域,实数域和有理数域是最为常见的三个数域,因而这三个数域上的多项式是实用最多的多项式。在复数域上,只有一次多项式是不可约的：在实数域上,只有一次多项式和含非实并轭复数根的二次多项式是不可约的。然而,在有理数域上都存在任意次不可约多项式。因此判定有理数域上多项式的可约性就成为十分必要的一个问题。一、问题的解决设f（X）是有理数域上的一个多项式。若是f（x）的系数不全是整数,那么以f（x）系数分母的一个公倍数x乘f（x）,就得到一个整系数多项式kf（x）。显然,多项式f（x）与kf（x）在有理数域上同时可约或同…     

用“ε-δ”定义证明多项式函数极限

论证极限问题，一般对初学者都感到困难．而对较复杂的函数极限更棘手．本文通过用“ε－δ”极限定义推证多项式函数的极限，对研究和解决这类问题的学者以参考．先推证多项式函数的分解式：定理1设f（r）为n次实系数多项式，则f（x）－b总可表为L（x－a）P（x）＋C．其中L、C均为常数，，b为有限实数，P（x）为n－l次多项式．注1”为主观易还，不妨设f（x）是首项系数为1的三次多项式，至干n次情况，用同样方法，通过数学归纳法得证．证明设1s则则这里故定理得证．注2”当首项系数L不为1（L一0）时，可提出L，变成f（X）一Lf；（X）…     

数学竞赛中条件多项式的求解方法

多项式理论是代数学的一个重要组成部分，有关多项式方面的问题常常被用作数学竞赛的试题．本文仅就数学竞赛中求解满足某些条件的多项式归纳几种方法介绍如下．1．从分析根的情况入手设n∈N,a_0，a_1，…，a_n∈C（或R，或Z）且a_n≠0，称f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_0(1）为复（或实、或整）系数一元n次多项式．多项式的次数常记为degf(x)=n．单独的一个非零常数，叫做零次多项式；系数a_0，a_1，…，a_n全为零的多项式叫做零多项式．若数x_0满足f(x_0)＝0，则称x_0为多项式f(x)的根．由代数基本定理：复系数一元n次多项式f（x）有…     

对一道高等代数题的推广

张禾瑞在《高等代数》（第五版）习题中给出了多项式的一个结论：＂设f（x）,g（x）和h（x）是实数域上的多项式,证明若f（x）2=xg（x）2＋xh（x）2,那么f（x）=g（x）=h（x）=0＂。本文借助一般化方法将该结论推广为更一般的定理,并给出了证明。     

“代数基本定理”的一个初等证明

1预备知识引理1实二次多项式有复根证：设f（x）ax2＋bx＋c为实二次多项式引理2设f（x）是闭区间[a，b]上的实连续函数，f（a）f（b）＜0，则f（x）在[a，b]中必有一个零点。推论1任一奇次实系数多项式都有一个实根。为了证明推论1，还必须引入两个引理。引理3设f（x）=a0x＋a1x-1＋…＋a．是一个实系数n次多项式，那末存在一个正实数N，使得对于满足条件c||＞N的实数C来说，以下不等式成立：证：设“是肝。肝卜。卜’”’，…冲最大数，我们取“”－’＋n，这个“’满足引理‘的要求。事实上，设c是一个满足条件k＞N的实数，那么…D·（…     

把多项式f（x）表示成x—c的方幂和的几种方法

在高等数学中需要将一元多项式f（x）表示成关于x-c的多项式,本文归纳总结了将f（x）表示成关于x—c的方幂和的4种方法．     

低次多行式函数方程xf~2（x）＋xg~2（x）=h~2（x）解的讨论

讨论复数域上多项式函数方程xf2（x）＋xg2（x）=h2（x）,得到这个函数方程的一些基本性质,以及当f（x）,g（x）,h（x）的次数都不超过2时,该函数方程的所有解。其解的情况如下：在复数域上,如果上述三个多项式的次数都不超过2,那么该函数方程有解当且仅当下列3个条件之一成立：（1）h（x）是零多项式;（2）f（x）,g（x）,h（x）都是1次多项式;（3）f（x）,g（x）,h（x）都是2次多项式。更进一步地,满足条件（1）的解只有1组;满足条件（2）的解一共有4组;满足条件（3）的解一共有16组。     

关于交代多项式的结构定理

一、一个系数域P上的n元多项式f（x1,x2,…,xn）,如果对于任意的i,j（i,i∈｛1,2,…,n｝,i≠j）均有下列式子成立f（x1,…,xi,…,xj,…,xn）＝－f（x1,…,xj,…,xi,…,xn）（i≠j）则称f（x1,X2,…,xn）为交代多项式,简称交代式。易见全体交代多项式集合是一个环,且为多项式环的一个子环。而一般给出了交代式如下定理：定理1．若f（x1,x2,…,xn）是交代多项式,则x1,X2,…,xn中任意两者之差一定是多项式f（x1,x2,…,xn）的因式。定理2．同变元的交代式的和、差是交代式;积、商（能整除时）是对称式…     

三次多项式各阶导数仅有整根的一个证明

本文研究了三次多项式各阶导数仅有整根的问题，给出了f（x）=x（x—a）（x－b），当且仅当a=3rt（2s＋t），b=3rs（2t＋s）时，f（x）各阶导数仅有整根的一个证明。