联系教材中习题解题

几何第二册P·67第20题: 已知:如图1,△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE、BC分别交于点N、M,求证: AN/AM=ON/OM. 简证:∵ DE∥BC, ∴ AN/AM=AD/AB=DE/BC =EO/BO=ON/OM. 受上题启发可以解某些竞赛题. 例1 四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一对角线平行,证明另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段. (78年全国中学数学竞赛决赛试题) 如图1.已知四边形ADOE的两组对边延长后得     

一道耐人寻味的几何压轴题——对2021年嘉兴市第9题的赏析

<正>1原题(2021年嘉兴卷第9题)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连结DE,点F,G分别是BC和DE的中点,连结AG,FG.当AG=FG时,线段DE长为().     

一道几何题的联想

已知:如图,△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE、BC分别交于点N、M,求证: AN/AM=ON/OM(第二册几何67页20题) 简证:∵DE∥BC,∴AN/AM=AD/AB=DE/BC=EO/BO =ON/OM 联想一上题还可得出两个结论:M为BC中     

利用三角形全等证明有关问题

利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证…     

线段垂直平分线的应用

线段的垂直平分线的性质和它的判定是人教版初中几何第二册中的一节内容。在学习中一般容易被学生忽视,但有些题若能把线段垂直平分线的性质或判定利用上,会使证题过程变得简单巧妙。例1已知:如图,∠1=∠2,BC=BD求证:AD=AC(人教版初二几何复习题三)分析:这个题一般地用三角形全等的方法证明,但如果连结CD,设AB与CD相交于点E,则可以这样证明:因为:∠1=∠2,BC=BD,所以AE是CD的垂直平分线,所以:AC=AD。这样做,既复习了等腰三角形三线合一的性质,又复习了线段垂直平分线的性质一举两得。例2已知:如图,AB=ACDB=DC,AD的延长线交BC…     

蝴蝶形的妙用

在讲授苏科版七年级（下）《图形的全等》一章时,常常遇到这样一类题： 例1如图1,已知AC⊥BC,在BC的延长线上取一点D,使DC=AC,在AC上取一点E,使CE=CB.试猜想线段DE和AB的关系.     

首届中国东南地区数学奥林匹克

第一天一、设实数a、b、c满足a2 2b2 3c2=32.求证:3-a 9-b 27-c≥1.(李胜宏供题)二、设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN.(陶平生供题)三、(1)是否存在正整数的无穷数列{an     

有关特殊三角形“一题多解”的问题

<正>在解题时运用“一题多解”法,可以帮助同学们提升灵活运用数学知识的能力,活跃思维,建立主动分析问题与解决问题的思路,进一步提升数学问题解答积极性．本文就如何通过特殊三角形有关的问题进行思考,提供一题多解的方法,旨在提升同学们的数学核心素养．例1在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是CA延长线上的一点,E是线段AB上的一点,连接DE,且∠ADE=∠AED,求证:DE⊥BC.解析:第一种解法,因为AB=AC,∠ADE=∠AED,要想求证DE⊥BC,     

谈几何教学中模型思想的运用价值及实施探索

<正>一、存在问题常州市2014-2015学年第一学期九年级期末考试中曾经出现这样一道题:"如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是."     

探索几何命题辅助线的添作

许多几何命题的结论是一些线段的代数式,而代数式的某些性质,同样适合于由这些线段组成的代数式。经过分析,并利用代数式本身的一些性质,常常有助于发现辅助线的添作和证题思路。下面从几个类型举例说明。一、证明形如ab=cd+ef的线段代数式例1 在△ABC中,已知∠A=2∠B,求证:BC~2=AC~2+AC·AB。分析一要证的结论左边是单项式,右边是二项式。从代数的观点看,BC可分成两部分。如BC=x+y,然后有BC~2=BC(x+y)=     

从一道中考题谈起

20 0 3年北京市中考题第 2 2题 :如图 1 ,在 ABCD中 ,点E、F在对角线AC上 ,且AE =CF .请你以F为一个端点 ,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 ,猜想并证明它和图中已有的图 1某一条线段相等 (只须证明一组线段相等即可 )连结 :　　　　 ;猜想 :　　　　 =　　　　 ;证明 :分析 　 若连结BF ,则可证明BF =DE ;也可连结DF ,证明DF =BE .证明 　 连结BF ,∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AD =BC ,AD ∥BC ,∴∠DAE =∠BCF ,又AE =CF .∴△ADE ≌△CBF(SAS) ,∴BF =DE .点评 :本题所给出的图形是一个平行四边形中…     

线段垂直平分线性质在解题中的应用

线段的垂直平分线(中垂线)的性质定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用,现举例说明,供同学们参考.一、用于求线段长例1如图1,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E.若AB=14,△BCD的周长为22,求BC的长.分析:由DE是AC的垂直平分线,得DA=DC.则BD+DC=BD+DA=AB=14.又BC+BD+DC=22,故BC=22-(BD+DC)=22-14=8.(具体证明过程请读者自行完成,下同)二、用于求角的度数例2如图2,AB⊥CD于B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于E、F,EB=EF,求∠A的度数.分析:由CF是AD的垂直平分线想到连结DE,则AE=DE,故∠A=∠1…     

旋转法在几何中的应用

在几何问题中,巧妙地运用旋转法去解题,有时可以起到很好的效果.一、求线段的长例1如图1,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,S四边形ABCD=8,求DE的长.分析图中四边形是任意四边形,直接求解不容易,但是,题中有条件AB=BC,且∠ABC=90°,所以如果把ABE绕点B按逆时针     

构造平行四边形解题

平行四边形是一种特殊的四边形,它具有很多独特的性质.在解答一些与线段有关的证明问题时,从构造平行四边形入手,常可化难为易.例1　如图1,△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,BE=CF,EF交BC于D.试说明DE=DF.　解　过E作EG∥AC交BC于G,连结CE,FG,则∠EGB=图1∠ACB.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=∠EGB,所以EG=BE.　因为BE=CF,所以EG=CF.又EG∥CF,所以四边形EGFC为平行四边形.因此DE=DF.例2　如图2,△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点.说明:DE∥BC.图2解　延长DE到F,使FE=DE,连结AF,CF,CD.因为…     

采用套题复习平面几何

采用套题的方法进行平面几何总复习,可使基础知识的掌握与能力的提高有机的联系起来。一、由基本图形发展为复合图形的套题这是经常采用的类型,它是把简单的题目逐渐发展到较为复杂的综合题目。如 (1)已知:DE∥BC 求证:AD∶AB=DE∶BC (2)已知:DE∥BC 求证:DN∶BM=NE∶MC (3)已知:AD∥BC∥MN,MN过AC和BD的交点O。求证:OM=ON (4)已知:AD∥BC∥MN,MN交AC、BD于Q、P。求证:MP=NQ (5)已知:DE∥BC 求证:DN=NE,BM=MC (6)已知:AB为☉O直径,AD和BC切☉O于A、B,DC切☉O于E。EF⊥AB于F,交DB于P。求证:DB平分EF于P点。二、题设与结论互相转化的套题这类题目显示了题目的多样性和灵活性,能提     

聚汇、显露：辅助线的两个作用

聚汇作用。辅助线可把已知条件聚汇在一起,为证题架通桥梁。例1.在△ABC中,AB>BC,BD是∠ABC的平分线,求证:AD>DC。分析AD与DC不是同一个三角形的两条边(如左图),无法直接比较这两条线段的长短。利用∠1=∠2的关系,在BA边上截取BE=BC,然后连结DE,则DC=DE。这样,辅助线就使求证结论中的线段汇聚到同一个△ADE中了,只要再证明∠A<∠DEA就行了。这里的辅助线就起到了聚汇已知条件的作用。显露作用。辅助线可把隐含的条件挖掘出来,凸现已知与求证之间的联系,为顺利证题铺平道路。例2.已知:如图△ABC中∠ABC=100°,∠ACB=20°…     

巧构平行四边形妙解几何题

<正>在解决某些几何问题时，我们若能巧妙地构造出平行四边形，则会收到意想不到的效果．现分类举例说明，与大家分享．一、探究线段倍分关系在探究线段倍分、和差等等量关系，且题中出现三角形中线时，我们可以倍长中线构造平行四边形，为全等创造条件．例1如图1，在等边?ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），过点D在BC的另一侧作∠BDE=120°，且CD=DE,F是线段BE的中点，连结DF,CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并加以证明．     

巧用三角形中位线定理证题

三角形的中位线定理揭示了其中位线与第三边的位置关系与数量关系,巧用它可以证明若干与线段中点有关的问题. 例1 如图1,△ABC中,BD 平分∠ABC,AD BD于D,E为AC的中点, 求证:DE∥BC. 证明:延长AD交BC于F. ∵BD平分∠ABC,又AD BD 于D,∴AD=FD,又∵AE= CE,由三角形中位线定理得: DE∥FC,∴DE∥BC.     

妙用中点证题

中点是几何图形中的特殊点,与中点有关的线段有三角形的中线、中位线、梯形的中位线等.利用中点很容易构造全等三角形、等腰三角形.在解题中,若能灵活运用它的相关性质,可使许多问题得到迅速解决.一、由中点联想三角形的中线例1如图1,△ABC中BD和CE是高,M为BC中点,P为DE的中点.求证:PM⊥DE.分析:由∠BDC=∠BEC=90°,M为BC中点,可得MD=ME=12BC,故△MDE为等腰三角形.又P为DE中点,根据等腰三角形底边上的中线也是底边上的高即可得证.二、由中点联想中位线例2如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,AD相似文献   

“神奇化易是坦道”——一道几何题解法的探讨

期中测试卷中有这样一道题:如图,正方形ABCD的边长为a,AE=BG=23AB,AG与DE交于Q.求AQ∶Q G的值.同学们给出了多种解法,十分精彩,因此,Z老师在评析试卷时,让学生上讲台,讲述自己的解题思路.学生W:为求比值AQ GQ,注意到AD∥BC,联想平行线截得比例线段的基本图形(“x字型”),我将DE