2010、2009年高考中的分段函数

1 分段函数的求值（域）问题 例1 （2010陕西文）已知函数f（x）＝{3x＋2,x〈1,x2＋ax,x≥1,若f（f（0））＝4a,则实数a＝__. 解析 f（0）=2,f（f（0））=f（2）=4＋2a=4a,所以a=2.     

抽象函数的周期性研究

关于抽象函数的周期性研究,多见于报刊,但都不够全面,现将常见的类型归结于下,供参考．1．若函数f（x）（x∈R）满足f（x＋a）=f（x＋b）,则以f（x）（x∈R）是周期为a-b的函数．证明 令x’=x＋b,贝x＋a=x＋b＋（a-b）=x′＋（a-b）,由已知条件f（x＋a）=f（x＋b）得f（x′）=f（x′＋（a-b））,即a-b为函数f（x）的一个周期．     

f（x）（x∈A）的值域为[m，M]与m≤f（x）≤M对x∈A恒成立不等价——剖析一道全国高考题的别解

（2008年全国高考全国卷Ⅱ文21） 设a∈R,函数f（x）=ax^3-3x^2． （1）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值; （2）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围．     

数学解题要从重视数学逻辑开始

1 问题提出 例1（2008年高考数学全国卷文科第21题）设a∈R,函数f（x） =ax3-3x2.（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值;（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.     

三次函数图象的对称中心的一条性质

引理：（1）若函数y=f（x）在定义域D上可导,且a∈D,则函数y=f（x）的图象关于点（a,f（a））对称 函数y=f’（x）的图象关于直线x=a对称．     

超级难题的简单解法（三）

一、深挖细查,突破解题的瓶颈 例1已知函数y=f（x）有反函数,定义：若对给定的实数a（a≠0）,函数y=f（x＋a）与y=f^-1（x＋a）互为反函数,则称y=f（x）满足＂a和性质＂;若函数y=f（ax）与y=f-1（ax）互为反函数,则称y=f（x）满足“a积性质”．     

浅议一个恒等式的来龙去脉

我们经常遇到这种问题：若f（x）=1/4^x＋2（或f（x）=1/a^x＋√a），求f（-3）＋f（-1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）的值，解答这类问题是依据这类函数一个恒等式：若f（x）=1/4^x=2，则f（x）＋f（1-x）=1/2，若：f（x）=1/a^x＋√a，则f（x）＋f（1-x）==1/√a。     

一道周期函数例题的一般情形

例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数,f（x）满足,f（x＋a）=1/2＋√f（x）-（f（x））^2,求证：f（x）是周期函数．     

一道周期函数例题的一般情形

例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数,f（x）满足,f（x＋a）=1/2＋√f（x）-（f（x））^2,求证：f（x）是周期函数．     

更正两道流传很广的函数题的答案

题1已知函数f（x）=x/ax＋b（a,b为常数,且a≠0）,满足f（1）=1/2,f（x）=x有唯一解,求函数f（z）的解析式和f[f（-3）]的值．     

2006女子数学奥林匹克

第一天 1．设a＞0，函数f：（0，＋∞）→R满足f（a）=1．如果对任意正实数x、y，有f（x）f（y）＋f（a/x）f（a/y）=2f（xy）, 求证：f（x）为常数。     

高考“压轴题”课本“寻根”

题目已知a是给定的实常数,设函数f（x）=（x-a）^2（x＋b）e^x,b∈R,x=a是f（x）的一个极大值点．     

高考“压轴题”课本“寻根”

题目 已知a是给定的实常数,设函数f（x）=（x-a）^2（x＋6）e^x,b∈R,x=a是f（x）的一个极大值点．     

拆项求最值

对于不能直接运用均值定理处理的"积定和最小"问题,一个有效的方法是拆项.结论对于函数f（x）=x+a²/x（x∈R⁺,a为正常数）,设b为正常数.（1）若bmin =f（b）;（2）若b≥a,则当x∈[b,+∞)时,[f（x）]_min=f（b）.证明f（x）=x+a²/x =（x+b²/x）+（a²-b²）/x.（1）若b相似文献   

例析平移思想在对称问题中的整体处理

高考中经常会出现函数图像对称问题,这类问题又是学生掌握的难点．复习中,老师一般会补充下列对称性质：①若Y=f（x）满足f（a＋x）=f（b-x）,n、b〉0,则函数Y=f（x）图像本身关于直线x=a＋b/2成轴对称图形;而函数Y=f（a＋x）与Y=f（b-x）的图像则关于z=b-a/2成轴对称图形．     

“源”于“疑惑”,“晓”于“探索”——对一个问题的探索历程

1 问题的提出 已知f（x）=ax2 ＋bx＋c（a≠0）,且方程f（x）=x无实数解,下列命题：①方程f[f（x）]=x也一定没有实数解;②若a＞0,则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立;③若a＜0,则必存在实数x0,使f[f（x0）]＞x0;④若a＋b＋c=0,则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立.正确命题的序号是____.本题是高三数学模拟试卷中的一道填空题,讲评课时,一位学生作了如下阐述：2疑惑：对问题的初步思考及质疑2.1对问题的初步思考     

5．天津卷第8题

题目 已知函数f（x）=x（1＋a｜x｜）．设关于x的不等式f（x＋a）〈f（x）的解集为A若[-1/2,1/2] A,则实数a的取值范围是（ ）     

对一道含参不等式考题的解评

例题（2013年天津理）已知函数f（x）=x（1＋a｜a｜x）。设关于x的不等式f（x＋a）〈f（x）的解集为A,     

关于介值定理的进一步探讨

从所周知,闭区间的连续函数有几个理想的性质,其中介值定理在研究函数方程的根、不动点等问题方面应用非常广泛。下面对介值定理再作进一步的探讨。命题1若函数f（x）在［a,b］连续,且有,则存在ξ∈［a,b］使f（ξ）=ξ证明作辅助函数F（x）=f（x）－x,易知函数F（x）在［a,b］连续,由已知,有f（x）∈［a,b］,即a≤f（x）≤b,从而F（a）=f（a）－a,F（b）=f（b）－b≤0当F（a）=0或F（b）=0时,取ξ=a或ξ=b即可当F（a）＞0,F（b）＜0时,F（a）·F（b）＜0,根据零点定理,至少存在一点ζ∈（a,b）使F（ζ）=0,即f（…     

多次求导——破解导数零点问题

例 设函数f（x）=ex-1-x-ax2. （1）若a=0,求f（x）的单调区间; （2）若当x≥0时,f（x）≥0,求a的取值范围．