小马做几何

有人说,数学的殿堂庄严神圣.你不把它当回事,它也会不把你当回事.一次,老师给小马做了以下几道几何题:第1道,△ABC的边BC上的高AD为5cm,又BD=2cm,DC=4cm,求△ABC的面积.小马画出了左图后答:S△ABC=12AD·BC=21AD(BD+DC)=21·5(2+4)=15(cm2).第2道,请设计一种方案求出△ABC三内角之和.小马在△ABC的边BC上取了一点D(如图),连接AD,于是他写道:设三角形的三内角之和为x,则∠1+∠3+∠B=x,∠2+∠4+∠C=x.那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C=2x.即x+(∠3+∠4)=2x.x+180°=2x`,x=180°.第3道,BE、CF分别是△ABC的高,已知∠A=α,BC=…     

一道IMO预选题的另一个结论

1988年前苏联提供的一道IMO预选题是: 给定七个圆,六个小圆在一个大圆内,每个小圆与大圆相切,且与相邻两个小圆相切,若六个圆与大圆切点依次为A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,证明: A_1A_2×A_3A_4×A_5A_6 =A_2A_3×A_4A_5×A_6A_1     

巧算六边形面积

题目如图1,RtΔABC的三边长为a,b,c(c~2=a~2+b~2),由边AB,BC,CA向外作正方形ABB_1A_2,ACC_2A_1,BCC_1B_2,连结A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,得六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2,求此六边形的面积。分析与解求六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2的面     

关于凸五边形的一个不等式

定理 设A_1A_2…A_5是凸五边形,记A_iA_(i 1)=a_i,A_iA_(i 2)=m_i(i=1,2,…,5约定A_6=A_1,A_7=A_2),则 sum from i=1 to 5m_i~2相似文献   

一道概率题“不同解法”的商榷

北京市西城区2007年5月份抽样测试题的第15题,曾先后在多种出版物上出现,其不同的版本上的解法各不相同,为避免该题解答的混乱状况,现就此题以及此类问题的不同解法进行分析.问题有6件产品,其中含有3件次品,现逐个抽取检查(不放回),求:(Ⅰ)前4次恰好查出两件次品的概率;(Ⅱ)设查出全部次品时检查产品的个数为ζ,求ζ的分布列与数学期望.解答:(Ⅰ)P=(C_3~2C_3~2A_4~4)/A_6~4=3/5.第(Ⅰ)问的解法没有问题.以下就第(Ⅱ)问的不同解法进行分析.解法1:有两种出版物上的解法如下:当ζ=3时,即在6次抽查中,前3次就查出全部3件次品,或前3次查出全部3件正品,均视为检查出全部3件次品,∵P(ζ=3)=A_3~3/A_6~3×2=1/10;同理,当ζ=4、5时,有P(ζ=4)=(C_3~2A_3~3C_3~1)/A_6~4×2=3/10;P(ζ=5)=(C_4~2A_3~3C_3~2A_2~2)/A_6~5×2=3/5;∴ζ的分布列为     

“小题”要大做

小题如图1,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.1.从不同解法中得到启示(1)连结CB,OC,则OC⊥CD,∠3+∠5=90°=∠5+∠6=∠5+∠B,知∠3=∠B.而∠1+∠3=∠2+∠B.所以∠1=∠2.     

三角形内角和定理及推论的灵活应用

学数学,既要善于抓住不变的根本,又要善于灵活地在变化中认识、处理和解决问题。三角形的内角和定理及其推论常常是几何问题中的隐含条件,合理和灵活地应用它们,也常常能使几何题达到一题多解和一题多变的效果。图1一、一题多解例如图1,E为△ABC内一点,求证:(1)∠AEB=∠1+∠2+∠C·(2)∠AEB>∠C·解题思路1:充分利用三角形内角和定理证法1:如图2(1)∵∠1+∠2+∠C+∠3+∠4=180°∴∠1+∠2+∠C=180°-(∠3+∠4)∵在△AEB中,∠AEB=180°-(∠3+∠4)图2∴∠AEB=∠1+∠2+∠C(2)∵∠AEB=∠1+∠2+∠C∴∠AEB-∠C=∠1+∠2>0∴∠AEB>∠…     

四边形内角和定理的证明

证法 5 :如图 5 ,作AC的延长线CE ,则点C处有一周角 ,即∠BCE+∠DCE+∠BCD =36 0° .∵∠BCE =∠ 1+∠B ,∠DCE=∠ 2 +∠D ,∴ (∠ 1+∠B) +(∠ 2 +∠D) +∠BCD =36 0° ,即 ∠BAD +∠B+∠BCD+∠D =36 0° .证法 6 :如图 6 ,若延长BA、CD相交于点E ,则有∠B +∠C =∠ 1+∠ 2 ,∴∠BAD+∠B +∠C+∠CDA=(180°-∠ 1) +∠B +∠C+(180°-∠ 2 )=36 0°- (∠ 1+∠ 2 ) +(∠B+∠C)=36 0°- (∠ 1+∠ 2 ) +(∠ 1+∠ 2 )=36 0° .证法 7:如图 7,若CD∥AB时 ,过点D作DE∥AB交BC于点E ,则∠A =180° -∠ 1,∠B =∠ 2 ,∴…     

5-ALA对皖江区域大豆产量和品质的影响研究

目的:探究5-ALA(氨基乙酰丙酸)对皖江区域大豆产量和品质的影响。方法:在安徽省华阳河农场农科所,以皖豆15为研究对象,采用单因子随机区组设计法,在大豆5~6片复叶期时,叶面喷施5-ALA。分别设置对照组CK=0mg/L、A_1=40mg/L、A_2=80mg/L、A_3=120mg/L等4个5-ALA浓度梯度,每个浓度梯度有3次重复。田间小区面积为27m~2,分别测定大豆分枝、单株荚粒数和百粒重,按小区实收大豆计产。结果:A_3各指标均高于A_2、A_1和CK,说明在大豆5~6复叶期叶面喷施高浓度的5-ALA效果最好。结论:在最佳条件下,5-ALA可提高大豆产量及品质,可以在皖江区域大豆主产区大面积推广应用。     

2007年第7—8期《错在哪里》参考答案

1.3/25[提示:错解中运用了互反事件的加法原理.事实上,A_1与A_3、A_1与A_7、A_2与A_8不互反.事件A_1包含了事件A_3与A_7的所有结果,A_2包含了A_8的所有结果,而A_1、A_2、A_4、A_5、A_5、A_6、A_9是互反事件,故P= P_1 P_2 P_4 P_5 P_6 P_9=3/25] 2.设此时火箭上升到离地球表面为h的高度,此处重力加速度为g′.火箭中物体的视重等于物体受到的支持力F_N,物体受力如题中的图所     

用计算法证明几何题

不少几何题,可由题设及图形特征,通过边计算边推理进行证明。这是几何证明中常常采用的一种证题方法。 例1 已知:如图1,在△ABC中,∠C=90°,D和E是斜边AB上的点,且AD=AC,BE=BC。求证:∠ECD=45°。证明 ∵ AD=AC,BE=BC。 ∴ ∠1+∠2=∠4=∠3+∠B,① ∠1+∠3=∠5=∠2+∠A,②     

活用“规形”性质求角度之和

有这样一道题,已知:如图1,O是ABC内任意一点,试说明:∠AOB=∠1+∠2+∠C(留给同学们思考)。我们可以由这个图形中抽出“”,它形如圆规状,就把它叫做“规形”(如图2),由上可知∠BOC=∠A+∠B+∠C就是“规形”的性质。现就用“规形”这一性质来求角度之和。∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.例2如图4,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。解:由“规形”图可知,ABOC为“规形”,由性质得∠1=∠A+∠B+∠C又∵∠1=∠2而∠2+∠D+∠E=180°∴∠A+∠B+∠D+∠E=180°.例3如图5,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数解:由“规形”图可知,ACOD为“规…     

2003年“TRULY(○R)信利杯”全国初中数学联赛

一、选择题 (每小题 6分 ,共 30分 )1.若 4x - 3y - 6z=0 ,x +2y - 7z =0 (xyz≠ 0 ) ,则代数式 5x2 +2y2 -z22x2 - 3y2 - 10z2 的值等于 (　　 ) .(A) - 12 　 (B) - 192 　 (C) - 15　 (D) - 132 .在本埠投寄平信 ,每封信质量不超过 2 0g时付邮费 0 80元 ,超过 2 0g而不超过 4 0g时付邮费1 6 0元 ,依此类推 ,每增加 2 0g需增加邮费 0 80元(信的质量在 10 0g以内 ) .如果某人所寄一封信的质量为 72 5g ,那么 ,他应付邮费 (　　 )元 .(A) 2 4 0 (B) 2 80 (C) 3 0 0 (D) 3 2 0图 13.如图 1所示 ,∠A+∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G…     

初中数学竞赛中的折叠问题

<正>(本讲适合初中)纸张折叠问题源自初中数学图形基本变换之一:轴对称变换,是初中竞赛的热点问题.此类问题一般从量不变(对应边长度不变、对应角度数不变和对应图形面积不变)或矩形折叠出等腰三角形(或菱形)切入,利用勾股定理或相似,构建等量方程解决问题.1量不变——对应角度数不变例1如图1,将六边形ABCDEF沿直线GH折叠,使点A、B落在六边形CDEFGH的内部,∠C+∠D+∠E+∠F=α.则下列结论一定正确的是().^[1]     

一道几何题的多种证法

题 如图所示,在矩形ABCD中,A_1E∥AB,AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4D=a,AB_1=B_1B_2=B_2B=3~(1/2)a, 求证:∠B_1A_1E     

数学重在分析推理(二)

(接上期)定理3两条平行线,第三条直线和它们相交,则内错角相等.分析在图5中,直线l2∥l1,l3与l1,l2相交,要想证图5明∠1=∠2,根据基本事实2,只要能证明∠2=∠3就行了.证明因为∠1和∠3是,所以=().又已知∠2=∠3,所以=().定理4两条平行线被第三条直线所截,则同旁内角互补.分析在图6中,直线l2∥l1,直线l3与l2,l1相交.∠1和∠2是同旁内角.要想证明∠1+∠2=180°,根据基本事实2,图6只要能证明∠2=∠3就可以了.证明因为∠1+=180°(),又已知∥,所以∠2=∠3,所以∠1+∠2=().定理5试证明:三角形ABC三内角之和∠A+∠B+∠C=180°.分析在图7中,CE∥B…     

江苏省姜堰市2003～2004学年度第二学期期终考试初一数学试题

一、认真填一填!(每空2分,共20分)1.若2x+5y=7中y=1,则x=.2.已知x=-2是方程(1-m)x-12=3的解,则m=.3.一个三角形中的两个内角分别是22.5°和68.5°,则第三个角是°.4.若多边形的每一个外角都为18°,那么这个多边形的边数为.5.用一种正多边形的地面砖铺满地面,这样的地面砖可以是边形.6.已知等腰三角形的一个底角为80°,则它的顶角为度.7.如图,已知DE是AC的垂直平分线,AB=9cm,ABD的周长为23cm,则BC=.8.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=度.9.举一个不可能事件的例子:.10.时代超市3月份随机抽查了10天的营业额,结果如下:(单位:万元)14.515.…     

关于四面体的一个等式的证明

在二维平面上,设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,则有不等式 abc≥(8/3)(?)3S~(8/2);①其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。对于三维空间的四面体,我们有: 设四面体A_1A_2A_3A_4的6条棱长分别为a_1(i=1,2,…,6),体积为V,则有不等式     

空间n边形余弦定理

三角形有余弦定理。空间多边形,如:四边形,五边形,……,直到空间n边形,是否有余弦定理?本文就这一问题作一些探讨。首先考虑最简单的空间四边形。如图(1)所示,A_1A_2A_3A_4是空间任意一个四边形。设a_1=A_1A2,a_2=A_2A_3,a_3=A3A_4,a_4=A_4A_1。θ_(12)、θ_(23)各是△A_1A_2A_3、△A_2A_3A_4的一个内角。如图过顶点A_2作与向量     

问题征解

问题2.5△PQR的边长PQ=2,QR=3,RQ=4,∠P和∠Q的平分线相交于点I.试问△PIQ的面积和△PQR的面积之比是多少.(请剪下第41页问题征解小三角,连同正确答案一起于5月底前寄至本刊编辑部.)图1图2问题213参考答案有多种设计方案,下面提供两种:11如图1,2个五边形AMNEF能拼成一个正六边形,所以能密铺整个平面121如图2,这种五边形能密铺整个平面1这里∠α+∠β=180°1问题211～2获奖名单江苏省泰州市凌河兵许莹镇江市孙静张静怡扬州市曹茂伟吴魁乔成苏州市王新波陈逸阳邢飞无锡市张行健连云港顾祥娟问题征解…