一个行列式等式的引出及其证明

本文从微分方程的刘维尔定理的证明中引出了一个行列式等式,有趣的是这一等式的成立与定理无关,文中给出了一般的证明。本文采用下列记号:1>X_i,(i=1,2,…,n)表示n维列向量,从它们作列构成的行列式记为X=|X_1X_2…X_n|。2)X_(ij)(i、j=1,2,…,n)表示行列式X的代数余子式。3)n×n矩阵A与n维列向量X_i(i=1,2,…,n)相乘仍为n维列向量,记为AX_i。     

独立性与相关性

本文证明了如下结论:设f_1(x)、f_2(y)分别是m维和n维有有限方差的分布密度函数,若存在m维和n维常向量A、B及常数k 0、0,使得f_1(x-A)≥h~m,f_2(y-B) h~n,-k x_i,y_j k,1 i m,1≤j≤n,a、e,则存在m维和n维随机向量X和Y,满足:(1)X有分布密度f_1(x),Y有分布密度f_2(y);(2)X和Y不独立,(3)C_(OD)(X,Y)=0。     

实对称行列式表示的二次型的特征值与标准形

设n阶实对称矩阵B的特征值为λ1，λ2，…，λn，则二次型|X 0^B X^T|的特征值为λi'=-Πk=1,k≠i n λk，使B对角化的正交变换X^T=PY^T可使它简化为|Y 0^C Y^Y|,其中C=diag(λ1,λ2,…，λn).     

关于一般线性群的2—子群的一个定理

设X、Y是任意n×n实矩阵,对于矩阵指数函数,一般说,e~X·e~Y≠e~(X+Y),除非〔X,Y)=0.当[x_1y]=(x+y)X-(x-y)Y时,本文通过浩繁的计算,终究得出一个具体的解析函数λ=f(x,y),使得e~X·e~Y=e~(X+Y+λ[X’Y])所得此公式,实际上正是一般线性群GL(n,R)的 2—Lie子群结构的一种表示.     

利用线性方程组计算极小多项式

设n阶方阵A的特征多项式为∏(i=1,s)(λ-λi)^ci，λi对应的幂零阵Ai^h(h=0，1，…，ci-1)可通过解固定的n阶线性方程组求得．若Ai^ni=0而Ai^ni-1≠0，则A的极小多项式为∏(i=1,s)(λ-λi)^ni．     

某些代数插值的统一与基函数的选取

我们知道,在数值计算中的插值问题,实质上就是对某一基本空间X的一函数f(x)在一定约束条件下寻求逼近函数。本文试图从有限维子空间出发的逼近法,讨论一般的插值问题及其基函数的选取,从而对代数插值有一比较统一和本质的认识。一、插值问题的一般提法设X是线性函数空间,Y是X的n维线性子空间,u_i(i=1,2,…n)是定义在Y上的n个线性泛函。给定f(x)∈x 第一种插值问题的提法,求(x)∈Y使u_i(?)=y_i(i=1,2,…,n) 第二种插值问题的提法:求(?)(x)∈Y使U_i (?)=U_i(f)(i= 1,2,…,n) 二、问题的存在唯一性条件(以第二种提法提出) 定理1设Y是函数空间x的的-n维线性子空间,SPan{(?)_1,…(?)_n}是Y的某     

一级线性差分方程组解的结构

本文得到了一级线性差分方程组满足初始值条件下的解的明显表达式。设B(x)是已知的n×n的整函数矩阵,f(x)是已知的n维的整函数列向量,y(x)是n维函数列向量。采用[1]中的符号:     

β_L是β的最小方差线性无偏估计的证明

设Y服从线性模型(Y,Xβ,σ~2V_n),X是n×m(n>m)满列秩阵,且V是已知的n×n满秩阵,β_L是β的最小二乘估计,求β_L且证明它是β的最小方差线性无偏估计。 首先求β_L设V是满秩阵,因此V必为正定阵,故存在正交矩阵Γ,使     

关于矩阵方程AXB=C的解

设一般矩阵方程为AXB=C,其中A为m×n矩阵,X为n×s矩阵,B为s×t矩阵,C为m×t矩阵,变量有n×s个,X即为: 关于矩阵方程AXB=C,有些教材用矩阵A、B的Moore—Penrose的逆给出了AXB=C有解的条件及有解时解集用Moors—Penrose逆的表示,如文选[1],本文试图不用矩阵Moore—Penrose逆的概念,仅用初等方法指出了AXB=O的解构成的解空间的维数,求其解空间的一个基的方法,对AXB=C的解给出了有类似于一般线性方程组的解结构表示。 一、关于齐次矩阵方程AXB=O的讨论 定理1 齐次矩阵方程 A_(m×n)X(n×s)B（s×t）=O其中A为m×n矩阵,X为n×s矩阵,B为s×t矩阵,A、B的元素属于数域F,X为未知阵,些么（※?）式的解集M为矩阵空间F（n×s）的一个子空间,且若设秩A=r_1,,秩B=r_2,则M的维数为ns-r_1r_2。 证明（※?）的解集M构成F（n×s）的子空间是显然的。     

向量的性质及其应用

向量的性质常见于教材的例、习题中 ,但其应用是教材的薄弱内容 .同学们学习时应掌握下面性质的应用 ,以加深对向量知识的理解和掌握 .1若 e1、e2 是平面α内非零不共线向量 ,则对于α内任一向量 a,有且只有一对实数λ1,λ2 ,使得 a=λ1e1+λ2 e2 成立 ;2非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的数量积为a .b =x1x2 +y1y2 ;3设向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,b≠ 0 ,则 a∥b x1y2 - x2 y1=0 ;4设非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,则 a⊥b x1x2 +y1y2 =0 ;5非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的夹角θ满足 cosθ =cos〈a,b〉 =a .b|…     

向量加法的“多边形法则”(高一、高二、高三)

由向量加法的定义知,向量的加法满足“三角形法则”,即:设a、b为非零向量,在平面上任取一点O,作OA=a,AB=b,则有这就是向量加法的“三角形法则”(如图1).利用向量加法的“三角形法则”及向量加法的结合律易得:     

发挥向量在立几中的工具性作用

引入空间向量解决立体几何中的四大类问题 ,其独到之处 ,在于用向量代数来处理空间问题 ,淡化了旧教材的由“形”到“形”的推理过程 ,使解题变得程序化 ,降低思维难度 ,容易掌握 ,体现了工具性作用 .一、用向量解决平行问题的方法( 1 )设a、b分别是两条不重合的直线a、b的方向向量 ,则a∥b a∥b a =λb(λ∈R且λ≠0 ) .( 2 )设直线l在平面α外 ,a是l的一个方向向量 ,n是α的一个法向量 ,则l∥α a⊥n a·n =0 .设直线l在平面α外 ,a是l的一个方向向量 ,p、q是α内的两个不共线向量 ,则l∥α a =xp+yq(x ,y∈R ,x·y≠ 0 ) .( 3 )设m…     

梅涅劳斯定理在n维空间中的一个推广

梅涅劳斯定理:直线L与△ABC的三边AB,BC,CA分别交于X,Y,Z三点,当且仅当λ_1λ_2λ_3=-1。其中λ_1=(AX)/(XB),λ_2=(BY)/(YC),λ_3=(CZ)/(ZA)。下面试将该定理推广到n维空间。 设V是实数域R上的一个n维向量空间R~n,对于V中任一对向量ξ=(X_(11),X_(12),…,X_(1n)),η=(X_(21),X_(22),…,X_(2n))。记d(ξ,η)=~(1/2)(sum from i=1 to n(X_(2i)-X_(1i))~2),定义内积     

例说解平面向量题的方法和技巧

解平面向量题除用到向量的有关知识外,还常用到一些方法和技巧,现举例说明.一、提取或分配例1设a是非零向量,且b≠c,求证a·b=a·c的充要条件是a⊥(b-c).     

计算机组成原理综合练习

Ⅰ　练习题1　填空题(把正确的答案(小数点后保留8位)填在括号内)( 1) ( 0 .0 1110 0 0 1) BCD=(　　　　) 10 =(　　　　) 2 =(　　　　) 16( 2 )X =- 0 .110 1　　　　　[X]原=(　　　　)[X]补=(　　　　)　[-X]补=(　　　　)[-Y]补=( 11111)　[Y]原=(　　　　)[Y]补=(　　　　)　Y =(　　　　)[Y -X]补=(　　　　)( 3)按照IEEE标准,一个浮点数由1位、n位和m位组成,其中的部分选用移码表示,选用原码表示。该浮点数的数值范围主要取决于的位数,而数据的表示精度主要取决于的位数。浮点数的零是均为零,非零值的规格化的浮点数尾数数…     

对于线性模型中误差方差Bootstrap统计量的相合性

本文将讨论线性模型中误差方差的最小二乘估计的Bootstrap统计量的相合性问题。设: Y(n)=X(n)β+ε(n) (1)为一个线性模型,这里β为P×1向量,为未知参数,Y(n)是一个n×1资料向量,并且x(n)为一个n×P数据矩阵,P≤n,并且秩为P,ε(n)是n×1随机误差向量,ε(n)=(ε_1,ε_2,…,ε_n)~τ,ε_1,ε_2,…,ε_n独立同分布,共同的分布记为F,并且假定     

联系单形顶点角与二面角的一类不等式及其应用

§1 主要定理及其应用设n维欧氏空间E~n中n维单形∑A的顶点为A_i(i=1,2,…,n 1),顶点A_k所对的侧面f_k的单位外法向量为e_k,f_i与f_i所的内二面角为θ_(ij)(1≤i相似文献   

向量共线的充要条件的应用

向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa, 由于零向量与任一向量共线，故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是：存在不全为0的实数λ1, λ2, 使得λ1a+λ2b=0, 它的逆否命题为：若向量a, b不共线，(a≠0, b≠0)，且λ1a+λ2b=0, 则λ1=λ2=0，这些结论可用来证明几何中三点共线与两直线平行等问题.举例说明如下：     

两个距离公式

本文利用正投影的概念将点到直线与点到平面的距离公式统一起来并作推了广。我们证明了:Ⅰ 设O≠δ=(a_1,a_2,…,a_n)∈R~n,则R~n中的点(y_1,y_2,…,y_n)到R~n的子空间W={x_1,x_2,…,x_n)∈R~n|sum from i=1 n(a_ix_i=0}的距离为|sum from i=1 n(a_iy_i)/(sum from i=1 na_i~2)~(1/2);Ⅱ 设O≠δ=(a_1,a_2,…,a_n,…)∈l~2,则l~2中的点(y_1,y_2,…,y_n,…)到l_2的子空间W={(x_1,x_2,…,x_n,…)∈l~2|sum from n=1 ∝(a_nx_n)}的距离为|sum from n=1 ∝(a_ny_n)|/(sum from n=1 ∝a_n~2)~(1/2)。     

证明·推广·应用——对一个复数命题的探究

1 命题 设a为非零实数,z为非零复数,则|z-a|=|z a|(?)z为纯虚数。 证明简单,这里略去。 2 推广 推广1 设(z-a)/(z a)为纯虚数,且a>o,则|z|=a.(z≠±a) 证 因(z-a)/(z a)为纯虚数,故由命题知 |(z-a)/(z a) 1|=|(z-a_/(z a)-1|, ∴|2z|=|-2a|,即|z|=a。