浅析用换元法求不定式的极限

文章浅析如何用换元法求不定式的极限，通过换元法求不定式极限的教学，培养学生学习微积分的兴趣，增强学习信心，提高素质。     

不定式极限的求法例说

数列求极限的问题在多年来的高考试题中几乎每一年都有题目出现,而最常出现的题型是不定式的极限问题,此类问题常见的类型及解法有以下几种.1.不定式为有限项.此类问题通常是经过各种方式变形后利用极限的运算法则及常用的极限值求解.(1)∞/∞型,解决的方法是用分子,分母中趋向∞较快的项去除分子和分母.     

用换元法求递推数列的通项公式

例:数列{a.},满足“:,1,aZ=2,“。 ,二o, , 。,,求通项公式. 利用“换元,的思想,构造一个新的等比数列协.圣,然后由{“。蛋的前n项和公式推出{a,圣的通项公式。 解:设。, :=(刁 B)‘,、一A·Ba。,则有 a.十:一B·a, :二月(a。 :一B·a.),令u。二a。 ,一B·a。,则u, ,=A·“。, A B二l,一AB=1,解得A=1一了了 2D_1 了万小月1JJ一—一——月又了里=一 2 矿了 2B二1一了了一一万一一;{u,}是首项价=2一B,公比为A的等比数列.由‘一、二a。一Ba,一1,B4“,一2=B·a,一l一BZa。一:,BZ·u,一3二BZ几u二一广B3·“,一3,…,B卜3·“:=Bff一…     

用第一换元法求不定积分的五步教学法

求一个函数的不定积分是积分学的一个基本问题,解决这类问题的方法多种多样,其中有一种方法就是第一换元法,而学生学习这种方法时往往觉得不易掌握,针对这种情况,笔者根据多年的教学经验,将这部分的教学归纳为五个步骤,简称“五步教学法”,在实践中收到了较好的效果．下面将这种方法介绍如下：     

对称换元法求分式值

当题目中的未知数x、y具有对称关系时(即当x、y互换位置时,原式保持不变),如果令x y=a,xy=b,用换元法进行解答,就可以使解题过程更简单.下面通过几道例题,帮助同学们掌握这种解题技巧在分式求值中的妙用.例1若x-1x=1,则x3-1x3的值为().A.3B.4C.5D.6解:设1x=y,则x-y=1,xy=1,所以x3-1x3=x3-y3=(x-y)3 3xy(x-y)=13 3×1×1=4.故选B.例2若x2-5x 1=0,则x3 1x3=.解:由x2-5x 1=0,可知x≠0,故等式两边同除以x,得x 1x=5.设1x=y,则x y=5,xy=1,所以x3 1x3=x3 y3=(x y)3-3xy(x y)=53-3×1×5=110.例3已知ax a-x=2,那么a2x a-2x的值是().A.4B.3C.2D.6…     

利用换元法求单调区间

读《中学数学教学参考》1999年第4期《对换元法的再认识》一文,深受启发。但文中“不能用换元法讨论函数的单调性”的观点,笔者认为不妥。其实某些函数用换元法讨论其单调性,简捷合理。兹举两例。 例1 函数f(x)=2x/(1 x~2)的单调增区间是____。     

用换元法解方程

初中数学试题常常有解方程(组)的类型,这类方程通常含有根式或分式。若平方去根号或去分母都会产生高次方程,很难解决。对这类方程,一定要认真观察,看看有没有一元二次方程的背景,然后用换元法来解。今以全国各地初中毕业、升学考试数学试题为例来说明。例1.解方程x2x2-3x+5√+3x+1=3x+1分析x2-3x-1-x2-3x+5√=0观察发现根号内的(x2-3x)项是有的,移项后再添上5即可。解:原方程可化为x2-3x+5-x2-3x+5√-6=0令x2-3x+5√=y,则有y2-y-6=0解得y1=-2,y2=3当y1=-2时,x2-3x+5√=-2,此方程无解。当y1=3时,x2-3x+5√=3,解这个方程得x1=4,x2=-1。经检验…     

利用偏导数求多元不定式的极限

1696年,洛必达（L’Hospital）给出了利用导数求一元不定式极限的著名的洛必达法则,本文在此基础上,给出了利用偏导数判定0/0型或∞/∞型多元不定式的极限是否存在的判定定理,以及在确定极限存在的条件下将极限求出来的方法．     

换元法求定积分的巧用

定积分在积分学中占有重要的位置,也是在生产实践中计算非均匀变化量的一种非常有用的方法,而换元积分法在定积分的计算中是重点和难点,特别是对于原函数难于求出甚至无法求出的积分更是难上加难.论文总结并介绍定积分换元积分法的两个定理和四个推论,当有些被积函数的原函数难求甚至无法求出时,可巧妙利用这些定理或者推论求出定积分.     

巧用换元法求无理函数的值域

一、形如"y=mx+n±（ax+b）^1/2"的函数对于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令t=（ax+b）1/2,将原函数转化为关于t的二次函数.通过换元将原问题转化为求二次函数的值域,但是换元后要注意新元的范围.     

巧用两个重要极限求“不定式”的极限

极限理论是微积分学的重要内容,是研究函数的重要工具之一;极限作为一种运算虽然高考要求并不高,但极限作为一种思想,一种从有限认识到无限认识的数学思想,在近几年高考中却时有考查,且有进一步加大力度的趋势。通过例证,论述利用两个重要极限巧解"不定式"的极限问题,为学生提供由静止到运动、由有限到无限的思维途径。     

关于1~∞型不定式求极限

本文利用指数函数的连续性 ,推导出求 1∞ 型不定式极限的一种新解题方法     

换元法求数列通项公式

换元法广泛的应用于解方程,证明不等式、恒等式,求极值、极限与积分,这些方面的问题大家见得多,在此不再赘述。本文补充一些用换元法求数列通项公式的例子。     

用换元法证明不等式

不等式的证明有三难：证明入口难，条件使用难，变形方向难．如果用换元法，引进恰当的新元素，可将题目中分散的条件联系起来，或把隐含的条件显示出来，或把条件与结论联系起来，或变形为熟悉的问题．因此，换元法常常可以攻破三道难关．     

用换元法解无理方程

无理方程类型很多,解的方法也是多种多样,本文根据无理方程和有理方程、无理方程和方程组之间的内在联系,介绍了用换元解一类无理方程的方法。     

用换元法解一元二次方程

我们知道,课本上讲述的一元二次方程的解法有四种：开平方法、配方法、因式分解法和公式法,其中公式法是通法,其余三种方法是特殊解法．但有些一元二次方程,若用上述四种方法求解,则变形过程是相当复杂的．在这种情况下,宜考虑用别的方法求解．例1解方程：256x2－544X＋145＝0．分析报明显,对于此方程,用上述四种方法求解是很繁的,因此应另辟蹋径．仔细观察上述方程,不难发现它有一个明显的特点,即二次项是一个完全平方式,故原方程可变形为（16x）2－2x16xx17＋145＝0．若设y＝16x,则原方程可化为y2－34y＋145＝O．此方程易用…     

用换元法分解因式

用换元法分解因式技巧性较强,也是初中数学竞赛中经常出现的问题.这方面的来稿比较多,有四川苍溪县石马镇中学侯国兴,江苏扬中市一中刘向阳,四川苍溪县白山乡初中梁德龙,河北卢龙县双望镇中学齐焕有、赵忠侠,山东即墨市二十八中姜正芝,山东龙口节东江镇东江中学崔付元、曹积林,南京金陵船厂中学邢光荣等,这些老师的文章写得都不错,由于刊物版面有限,只能将这些文章综合起来,形成下文.