关于可积准则的两种等价形式

中微积分学中,判断一个函数f（ｘ）在某个区间［ａ,ｂ］上是否可积,是积分学中的一个重要的理论问题,而应用可积准则来判断函数f（ｘ）在［ａ, ｂ］上的可积性,又是积分学中一种常用的方法,但在我们所见的《微积分》教程中,却出现了两种形式不同的可积准则。 定理１函数ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］上有界,则ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］上可积的充分必要条件是：对任给的ε＞ｏ,存在δ＞０,对［ａ,ｂ］上的任何一个分割Ｔ,只要　Ｔ　＜δ时,有： 　　　　　　　　　其中ω＝Ｍ 定理２　函数ｆ（ｘ）在［ａ,ｂ］上有界,则ｆ（ｘ）在［ａ,…     

一元二次方程根的范围的制约条件

一元二次方程根的范围的制约条件史晓蓉本文就一元二次方程根的范围的制约条件，介绍几个定理及其应用，供参考。引理若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，且ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，则至少有一点ｃ，ａ＜ｃ＜ｂ，使得ｆ（ｃ）＝０。定理设ｘ１、ｘ２（Ｘ１≤ｘ２）...     

关于积分中值定理的一个注释

这个注释是对文献〔１］中ＢｅｒｎａｒｄＪａｃｏｂｓｏｎ的积分中值定理的推广。定理１如果函数ｆ在区间［ａ,ｂ］上连续,那么存在一点ｃ（ａ＜ｃ＜ｂ）,使得通过定理卫可知,当ｘ∈（ａ,ｂ）时,区间［ａ,ｘ］中可以找到一点Ｃｘ,使得Ｊａｃｏｂｓｏｎ研究了当ｘ趋近于ａ时ＣＨ的性质,并证明了以下结论：定理２若函数／在区问［ａ,ｂ］上连续,并存在一阶导数如果Ｃｘ是满足（２）式的中介点,则我们来讨论定理２中ｆ（ａ）＝０的情况。定理３若函数ｆ在区间［ａ,ｂ］上连续,并在ａ点存在二阶导数,其中ｆ（ａ）＝０,ｆ（ａ）…     

微分中值定理的逆问题

微分中值定理〈１〉拉格朗日中值定理：若函数ｆ（ｘ）满足：ｉ、在［ａ,ｂ］上连续ｉ、在（ａ,ｂ）内可导,则在（ａ,ｂ）内至少存在一点ξ,使得：ｆ′（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ〈２〉洛尔定理：若函数ｆ（ｘ）满足：ｉ、在［ａ,ｂ］上连续ｉ、在（ａ,ｂ）...     

关于f(x)=(ax+b)~1/2+(cx+d)~1/2值域的一个定理

对于函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ＋ｃｘ＋ｄ（ａｃ≠０）的值域,当ａ,ｃ同号时,显然可以用函数的单调性求解;当ａ,ｃ异号时,虽然不能用单调性求解,但是亦有许多各具特色的解法,如：三角换元法文［１］体现了换元的思想,圆锥曲线与直线系的交点法文［２］体现了数形结...     

连续函数在无穷区间上一致连续的一个充分条件

在无穷区间连续的函数ｙ＝ｆ（ｘ）,未必一致连续。对无穷区间上连续的函数的什么条件下一致连续呢？本文将给出一个充分条件。定理若函数ｆ（ｘ）在［ａ,＋∞）上的连续,当ｘ→＋∞时,ｙ＝ｆ（ｘ）有斜渐近线ｙ＝ｋｘ＋ｂ,则函数ｆ（ｘ）在［ａ,∞）上一致连续。证...     

例说寻找原型解数学题

本文试用寻找原型的思想来解决一些与抽 象函数有关的周期问题，供参考． 例１已知函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ （ａ为常数，且ａ≠０），求证：函数 １－ｆ（ｘ） ｆ（ｘ）是周期函数． 分析：观察式子的特点，易知函数ｆ（ｘ）的 原型是ｙ＝ｔｇｘ，且ｔｇ（ｘ＋）＝，而４ × ＝π正是函数ｙ＝ｔｇｘ的周期，故我们可以猜 测４ａ为函数ｆ（ｘ）的周期． 证明：ｆ（ｘ＋２ａ）＝ｆ［（ｘ＋ａ）＋ａ］＝ １－ｆ（ｘ＋ａ） ｆ（ｘ＋４ａ）二ｆ［（ｘ＋２ａ）＋２ａ］＝ 即ｆ（ｘ＋４ａ）＝ｆ（ｘ），所以函数ｆ（ｘ）是周 期函数． 例２…     

二元二次多项式的因式分解

本文给出了二元二次多项式ｆ（ｘ,ｙ）＝ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ（１）在整数及实数范围内可分解因式的充要条件,使用所给出的方法,使得二元二次多项式的因式分解规范化,并且简单易行．一、在整数范围内分解定理１　设（１）是整系数多项式,则它可分解为因式（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＋ｃ２）的充要条件是（Ⅰ）ａｘ２＋ｄｘ＋ｆ＝（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）,ｂｙ２＋ｅｙ＋ｆ＝（ｂ１ｙ＋ｃ１）（ｂ２ｙ＋ｃ２）,ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＝（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ）．只要比较ａ…     

用三角代换求两类无理函数的值域

文［１］用构造直线与圆锥曲线的方法,并通过对它们位置关系的讨论,求得无理方程ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｌ＋ｎａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）及ｇ（ｘ）＝ｍａｘ＋ｂ＋ｎｃｘ＋ｄ（ａｃ≠０）的值域．该文不失为用构造思想、数形结合解题的范例,读后受益匪浅．本文中,笔者试图...     

有关二次函数值域的一个结论及应用

定理　二次函数 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是[0 , ∞ )的充要条件是ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .证明　因为 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ =ａ(ｘ ｂ2ａ) 2 4ａｃ-ｂ24ａ ,ｘ∈Ｒ ,所以二次函数ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是 [0 , ∞ ) ｙ的最小值是 0 ,无最大值 ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .下面举例说明定理的应用 .例 1　已知 ｆ(ｘ) =2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1(ｂ <0 )的值域为[1,3] ,求实数ｂ,ｃ的值 .解　ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ .由 1≤2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1≤ 3,得ｘ2 ｂｘ ｃ- 1≥0且ｘ2 -ｂｘ 3-ｃ≥ 0 .所以 ｆ(ｘ)的值域为 [1,3] ｙ1=ｘ2 ｂｘ ｃ- 1和 …     

函数f(x)=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)的优美性质

本文用初等方法导出函数 ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ(ａ >0 ,ｃ<0 )的几个优美性质。1　ｆ(ｘ)不是单调函数显然 ,函数的定义域为 [-ｂａ ,-ｄｃ]。任给ｘ1、ｘ2 ∈ [-ｂａ ,-ｄｃ],且ｘ1<ｘ2 ,则ｆ(ｘ1) -ｆ(ｘ2 ) =(ａｘ1 ｂ ｃｘ1 ｄ) -(ａｘ2 ｂ ｃｘ2 ｄ)=(ａｘ1 ｂ     

实分式线性函数的迭代与迭代根

设实分式线性函数 （ａ、ｂ、ｃ、ｄ月∈Ｒ,且ａｄ≠ｂｃ）,得到：（１）ｆ（ｘ）的迭代函数　的特征不变量、不动点和吸引子;（２）ｆ（ｘ）的实迭代根存在时的函数表达式．     

半连续函数及其性质

半连续函数及其性质刘丽梅在函数论中，连续函数和它的性质占有相当重要的地位。有一类函数虽不连续，但却具有一些与连续函数类似的性质。这就是所谓半连续函数．定义如下。定义１设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上有定义，ｘ０∈［ａ，ｂ］，若或－∞，则称ｆ（ｘ）在点...     

利用函数图象，一目了然

在许多参考书上都有这样一个命题：在等差数列｜ａｎ｜中,已知 首项ａｌ＞０,公差ｄ＞０;等比数列｜ｂｎ｜中,公比ｑ＞０,且ａｌ＝ｂ１,ａ_（２ｎ＋１）＝ｂ_(２ｎ＋１）,（ｎ∈Ｎ）,试比较。ａ_（ｎ＋１）与ｂ_（ｎ＋ｌ）的大小。 关于这个问题的解法,各书都是利用等差数列和等比数列性质,化为不等式证明．比较繁琐。其实,如果从函数观点出发．利用线性函数和指数函数图象,问题的结论简直是一目了然。 设线性函数ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｌ＋ｄｘ． 指数函数 ｙ＝ｇ（ｘ）＝ｂｌｑ～ｘ（ｑ＞０）, 则有ａｎ＝ｆ（ｎ—１）,ｂｎ＝ｇ…     

函数在闭区间上不可积的分析定义及其运用

根据函数ｆ（ｘ）在闭区间「ａ，ｂ」上可积的分析定义，收互为否定的判断，推出函数ｆ（ｘ）在闭区间「ａ。ｂ」上不可积的分析定义，并运用这一定义证明两个例题。     

有奖解题擂台(59)

1　求证 :ｓｉｎ2 0 0 3° >12 ·ｃｏｓ2 0 0 2°。　 (不要使用计算器等工具。)2　试求出两条抛物线 ｙ2 =2 5 -6ｘ与ｘ2 =2 5 -8ｙ的所有的交点的坐标。　(不要使用一元四次方程求根公式。)3　试求出所有的有序正整数对 (ａ ,ｂ) (ａ≤ｂ) ,使得ａ能整除ｂ2 +ｂ +1 ,且ｂ能整除ａ2 +ａ +1。4　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ -{0 ,1 }→Ｒ -{0 },使得对于任何的满足“ｘ·ｆ(ｙ) ,ｙ -ｘ∈Ｒ -{0 ,1 }”的ｘ∈Ｒ -{0 },ｙ∈Ｒ -{0 ,1 },都有　　ｆ(ｘ·ｆ(ｙ) ) =(1 -ｙ)·ｆ(ｙ -ｘ)。5　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈…     

多项式值的一种算法

１ 问题的提出 设Ｒ是数环，求ｆ（ｘ）在ａ的值ｆ（ａ）． 当ｆ（ｘ）次数较低时可将ａ代入ｆ（ｘ）直接计算［２］；当ｆ（ｘ）次数较高或ａ的形式较复杂时，直接代入计算就不可能了．那么此时如何计算ｆ（ｘ）呢？ 例 求多项式ｆ（ｘ）＝３ｘ８－６８ｘ６－１４４ｘ５－２５ｘ４＋９６ｘ３＋４６ｘ２－７在值 显然，直接代入计算，运算量大，且容易出错．下面给出一种简便易行的方法．２ 主要结论 命题 ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，ａ∈Ｒ．若存在ｇ（ｘ）∈其中 或则 由带余除法［３］容易证明，此处略． 于是，解决问题的关键是找到合适的ｇ（…     

构造法求最值问题举例

最值问题是中学数学中一个重要内容 ,其涉及面广 ,难度较大 ,求解方法灵活多样 .本文通过构造函数和曲线来解决某些最值问题 ,不仅形象直观、易于掌握 ,而且可以减少许多不必要的计算 ,达到化难为易的目的 .一、构造函数求最值1 .构造二次函数例 1　设ａ ｂ ｃ ｄ ｅ =8,ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2 ｅ2 =1 6,求ｅ的最大值 .解 :设ｆ(ｘ) =(ｘ ａ) 2 (ｘ ｂ) 2 (ｘ ｃ) 2 (ｘ ｄ) 2=4ｘ2 2 (ａ ｂ ｃ ｄ)ｘ ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2显然ｆ(ｘ) ≥ 0 ,且ｘ2 的系数为正 ,则△ =ｂ2 -4ａｃ≤ 0 ,即4(ａ ｂ ｃ ｄ) 2 -1 6(ａ2 ｂ2 ｃ2 ｄ2 )=4( 8…     

复合函数y=f〔(x)〕定义域求法例析

一、已知函数的解析式 ,求复合函数的定义域例１ 求函数 ｙ＝ｌｇ ｘ的定义域．解 :中间函数的定义域是ｘ≥０ ,函数ｌｇｘ的定义域是ｘ＞０ ,所以复合函数 ｙ＝ｌｇｘ的定义域是既满足不等式ｘ≥０又满足不等式 ｘ＞０的ｘ值的集合 ,即不等式组ｘ≥０,ｘ ＞０,的解集．∴定义域是（０ ,+∞ )．二、用符号表示的函数的定义域对用符号表示的函数 ,应紧紧抓住中间变量这一关键环节 ,由已知的定义域 ,得出相应的条件组（不等式或不等式组）．如 ,已知 ｆ（ｘ）的定义域为ｘ∈〔ａ,ｂ〕 ,求 ｆ 〔φ（ｘ）〕的定义域 ,则由ａ≤ｘ≤ｂ ,可得ａ…     

一种组合数计算的推广形式

若２是函数ｆ（ｘ）的周期,则有∑ｎ２［］ｉ＝０ｆ（ｘ＋ｉ）ｎ－ｉｉ＝１２［ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋１）］Ｆｎ＋１３［ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋Ｉ）］ｓｉｎｎ＋１π３,其中数列｛Ｆｎ｝为Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列。