一道高考试题的探究与推广

2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=…     

构造，源于知识之间的联系--一道中考试题的解压择析及再认识

1 试题呈现 （2012年北京）在AABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ．     

定比λ在一类题中的巧用

解析几何(精编本)第33页有这样一道题:已知P(-3,3),Q(4,6),线段(PQ)与直线3x+4y-5=0交于点M,求M分(PQ)所成的比.     

圆锥曲线的一个共同性质

引理已知AD∥BC,AB交CD于点N,AC交BD于点M,过点M的直线PQ∥AD,点P、Q分别在直线AB、CD上.则有2NP=1NA 1NB.其中NP、NA、NB规定为有向线段的长.证明:如图1.图1由MPDA=BPBA=CQCD=QMDA,有MP=QM.即M为PQ的中点.设直线MN分别交AD、BC于G、F.则AGPM=NGNM=GDMQ.故G为AD的中点.同理,F为     

两个直线型中的轨迹问题及其应用

说明：本文引理及证明中出现的线段均为有向线段. 如图1,直线l1上有两定点A、D及动点P,直线l2上有两定点B、C及动点Q满足AP/PD=BQ/QC,并补充定义点P与D重合时,点Q与C重合. 引理1 给定实数u,若点R在PQ上使PQ/RQ=u,则R的轨迹是直线. 引理2 设AQ与BP交于点S,特别地,当点P与A重合时补充点S的位置为P、Q分别向A、B运动时点S所趋于的极限,并设AB、CD的中点分别为M、N.则点S的轨迹为平行于MN的直线. 以下证明仅说明点R、S在相应的直线上,反之由同一法即证.     

阿氏圆一例

九年义务教育三年制初级中学教科书《几何》第二册第215页例5:已知线段PQ,在PQ上求作一点D,使PD:DQ=2:1。该题要求点D必须在线段PQ上,若点D不在PQ上,则能使PD:DQ=2:1的点有无数多个。教参书上要求向学生说明这一点,但没有指明这无数个点在什么地方,即这些点能组成一个什么样的图形。现对此问题作一探讨。 如右图:     

一道解析几何题的多角度思考

题目 如图1,圆C1：x2＋y2=4,圆C2：x2＋y2=16,点M（1,0）,动点P,Q分别在圆C1,C2上,且MP⊥MQ,求线段PQ长度的取值范围．     

对一道直线族包络试题的探究

<正>2014年高中数学联赛安徽初赛第7题:设动点P(t,0),Q(1,t),其中参数t∈[0,1],求线段PQ扫过的平面区域的面积.设线段PQ扫过的平面区域为G,点P在x轴上运动,点Q在直线x=1上运动,所以x轴和直线x=1是区域G的边界,解决问题的关键是获得区域G的其他边界.既然是区域边界,     

别样解法 意外收获

题目(2005湖南卷)已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2ax2 bx,a≠0,(1)略;(2)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N.证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.     

一道IMO试题的妙解

第33届IMO中有这样一道赛题: 在一个平面中,c为一个圆周,直线l是圆周的一条切线,M为l上一点,试求出具有如下性质的所有点P的集合:在直线l上存在两点Q和R,使得M是线段QR的中点,且c是△PQR的内切圆,经探索它有一个极其巧妙的解法,现介绍如下,以供参考。解:如图1,设Q、R在直线l上,M为QR的中点,c切PQ、QR、RP于A、B、C.c的圆心为O,OB交c于D,PD交QR于E,过D作Q_1R_1∥QR,分别交PQ、PR于Q_1、R_1,于是 PQ_1+Q_1D=PA, PR_1+R_1C=PC. ∴ PQ+Q_1D=PR_1+R_1C     

紧扣基本模型 实现解法自然——一道中考几何题的解法赏析

<正>一、试题立意分析题目(2016年南通中考题)如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于点O,D是线段OB上一点,DE=2,ED∥AC(∠ADE<90°),连结BE、CD,设BE、CD的中点分别为P、Q.(1)求AO的长;(2)求PQ的长;(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出     

米勒问题

米勒问题:在已知直线l的同侧有P、Q两点,试在直线l上求一点M,使得M对P、Q两点的张角θ最大,即∠PMQ最大。解:若PQ∥l,作PQ的垂直平分线RM和l交于M,则M点即为求。∵△PQM的外接圆的圆心必过O点,∴直线l切⊙O于M,在l上取异于M点的M′     

两道高考压轴题的统一解法与推广

正题1(2005年高考湖南卷理21(2))已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2ax2+bx,a≠0.设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P、Q两点,过线段PQ的中点作x轴的垂线,分别交C1、C2于M、N,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.     

2011年高考信息迁移题的命题背景分析与思考

2011年上海高考理科数学第23题:已知平面上的线段l及点P,任取l上一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离,记作d(P,l),(1)求点P(1,1)到线段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距离d(P,l);     

一道立几题的多种解法

题目如图1，已知四棱锥S=ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在肋和SC上，且BP：PD=1：2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长。     

距离之美---一道高考题的赏析

（2011年高考上海卷理科第23题）已知平面上的线段2及点P，任取L上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段Z的距离，记作d（P，f）．     

中考几何三角形中线段关系问题的解答

<正>中考几何题是中学数学考试中的重要部分,三角形线段关系是其中的一个常见考点．在中考几何题中,线段的长度关系、位置关系及角度关系是经常出现的问题．解答这类问题需要掌握一些技巧和方法,因此,对这类问题进行探究和总结具有一定的实际意义．一、与三角形线段关系有关问题的解答技巧(一)利用“大角对大边”判断线段的关系在△ABC中,三个内角∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c,如果∠A>∠B>∠C,那么a>b>c．例1如图1,在△ABC中,AC PQ.     

调和分割的基本性质及其应用初探

如果点M内分线段AB,点N外分线段AB,且AM：MB=AN：NB,那么称点M,N调和分割线段AB．亦称A,M,B,N为调和点列．     

类比圆的一个性质探求圆锥曲线的性质

正定理1已知AB是圆C:2 2 2x+y=r的直径,直线l与x轴垂直,过圆C上任意一点P(不同于A,B)作直线PA与PB分别交直线l于M,N两A P O B Q N M x y点,记线段MN的中点为Q,则直线PQ与圆相切.证明设点0 0P(x,y),直线l为x=m,     

圆锥曲线弦中点轨迹的探讨

<正>1引入例1:直线l过抛物线y²=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例2=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例²:直线l过抛物线y2:直线l过抛物线y²=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x2=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x²=8y相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。分析上述三个例题的轨迹方程,得到如下结论:过抛物线内对称轴上一定点(包括顶点)的直线截抛物线所得弦中点的轨迹是一条以该定点为顶点,通径为原抛物线的一半的抛物线,且所得抛物线开口方向和对称轴与原抛物线相同。