巧添辅助圆

许多几何问题,若能恰当添出辅助圆,充分利用圆的丰富性质,便能获得简捷巧妙的解法.　例1　在△ABC中,∠ABC=∠C,∠A=100°,BE是∠B平分线,求证:AE+BE=BC.图1证明　作△ABE的外接圆交BC于D,连结ED.∵∠A=100°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=40°.又∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=20°,AE=DE,∴AE=DE.又∵四边形ABDE为圆内接四边形,∴∠DEC=∠ABC=40°,∴∠DEC=∠C.∴DE=DC,∴AE=CD.∵∠BDE+∠A=180°,∠A=100°,∴∠BDE=80°,∴∠BED=80°,∴BE=BD,∴BC=BE+AE.　例2　已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC.AD=a,BC=b,AB=CD=…     

巧用三角函数证明几何题

平面几何的证明一般都是根据几何公理、定理进行逻辑推理论证 ,似乎与所学的锐角三角函数没有关系。事实上 ,借助于锐角三角函数证明几何题 ,则出奇制胜 ,巧妙之处 ,令人拍手叫绝。现举例如下 :一、求证线段及线段的乘方间的关系图 1例 1.已知 :如图 1,∠BAC=90°,AD⊥ BC,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为 D、E、F,求证 :AB3AC3=BECF(教材第二册 5.4 B组第 3题 )证明 :设∠ C =α,则∠ BDE=∠DAE=α在 Rt△ABC中 ,tgα=ABAC,∴ AB3AC3=tg3α;在 Rt△ BED中 ,BE=DEtgα;在 Rt△ CFD中 ,FC=DFctgα;在 Rt△ AED中 ,tgα…     

利用轴对称解题

大家知道,等腰三角形是轴对称图形.利用好这一性质,可以快速地求解问题.图例题(2004年桂林市中考题)如图1,△AB C中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,那么∠C的度数是.分析由于题中已知条件难以导出∠C的大小,观察图形特点,已知条件中涉及到AB,BD,DC,∠C等,这些量距离较“远”,故考虑将它们向同一个三角形中集中.以AD为对称轴将△ABD翻折,使点B落在线段CD上,根据对称图形中的相等关系作等量代换,即可将这些量集中一些.解在线段DC上截取DE=DB,连结AE,∵AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADE=90°,根据勾股定理和判别直角三角形全…     

利用直角梯形性质解抛物线焦点弦性质的有关问题

在平面几何,若梯形两底的和等于一腰,则这腰同两底所夹的两角的平分线,必过对腰中点。在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AB+CD=BC(如图1),则 (1) ∠B和∠C的平分线交点H是AD的中点,且∠BHC=90°; (2) 若CF=CD,则BF=AB,HF⊥BC,∠AFD=90°,AD=2HF; (3) 若FK⊥AD变足为K,则AC与FK的     

用锐角三角函数证明几何题(初二、初三)

1．证两角相等例1 已知在等腰△ABC中,∠A=90°, 在AC上取AE=1/3AC,在AB 上取AD=2/3AB,求证∠ADE =∠EBC.(04年福建南平中考) 图1 证明如图1,设∠ADE=a,∠EBC= β,AE=BD=a,则 AD=EC=2a,AB=AC=3a, 作AP上BC,EF上BC,P、F分别为垂足, 则 EF∥AP, 所以 EF/AP=CE/CA=2/3,     

梯形中常见辅助线的作法

在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=2∠B,AD=a,CD=b,求AB的长.解过D作DE∥BC,交AB与点E,则∠DEA=∠B,四边形DEBC是平行四边形,故BE=CD=b,∠EDC=∠B,由∠ADC=2∠B,得∠ADE=∠AED,因而AE=AD=a,所以AB=AE+BE=a+b.2平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为上、下底的中点,且∠B+∠C=90°.求证:MN=12(BC-AD).证明过点M作ME∥AB交BC于点E,作MF∥CD交BC于点F,则∠MEC=∠B,∠MFB=∠C,∵∠B+∠C=90°,∴∠MEC+∠...     

一道有趣的平面几何小题

如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AB=BC,BE⊥AD,垂足为点E,则结论1 BE=DE.证明:过点C作CG⊥BE于G,如图2,则有矩形CDEG,CG=DE.易证△BAE≌△CBG,所以BE=CG=DE.结论2(1)BE=AE+CD;(2)2BE=AD+CD.证明:(1)由矩形CDEG得GE=CD.由△BAE≌△CBG得AE=BG,所以BE=BG+GE=AE+CD.     

如何构图求tan15°值

构造法是解题的一种工具,也是一种重要的数学思想方法,课本中30°、45°、60°的正切值就是通过构造特殊的直角三角形而求得,tan15°同样可构造合适的图形求出,而且有多条构造途径,下面介绍几例:途径1:从含30°角的直角三角形中直接分出一个15°角如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,设BC=1,则AB=2,由勾股定理,得AC=#3.作∠CBD=15°交AC于D,则∠DBA=45°,再作DE⊥AB于E,则DE=BE.设DE=BE=k,则AD=2k,AE=%3k,由AB=2得#3k+k=2.∴k=#3-1.故CD=AC-AD=#3-2k=#3-2(#3-1)=2-#3.∴tan15°=tan∠DBC=CBDC=2-#13=2-#3.(还可作∠…     

成果集锦

直角三角形的一个充要条件黑龙江省绥化市北林区五中　王　航　　定理　在△ABC中,CD平分∠C ,则∠C =90°的充要条件是1AD2 1BD2 =2CD2 .①证明:如图,作BE∥AC ,AF∥BC ,分别交CD的延长线于点E、F ,则有CDDE =ADDB =DFCD .若∠C =90°,则∠CBE =∠CAF =∠C =90°,∠BCE =∠ACF =45°,BC =BE ;AC =AF ,于是由DF =ADDB·CD知2AC2 =AC2 AF2 =CF2 =(CD ADDB·CD) 2 ,类似得　2BC2 =(CD DBAD·CD) 2 .以上两式相加,注意到AC2 BC2 =AB2 ,AD DB =AB ,即得2AB2 =CD2 ·AB2 ( 1AD2 1BD2 ) ,即…     

含三角函数的几何等式的证明

证明含三角函数的几何等式,不少同学感到难以下手,如应用锐角三角函数的定义,将式子中的三角函数转换为两线段的比,从而将问题转化为线段的等比(积),常可迎刃而解。 例1 如图1,△ABC中,以BC为直径的半圆分别和AB、AC交于D、E.求证:DE=BCcosA (1994,西安市中考题) 分析:连BE,则∠BEC=90°,△ABE为直角三角形,从而命题转化为证明DE=BC·AE/AB,即证DE/BC=AE/AB. 为此,可证△ADE∽△ACB. 由∠ADE=∠ACB,∠A=∠A.命题获证.     

巧用特殊条件“补形”

很多几何题的解决都依赖于添置辅助线 ,其中通过“补形” ,将一些不规则的图形转化为规则的基本图形 ,特别是转化为一些特殊的图形 ,然后再利用它们的特性来解题 ,充分体现了转化思想、化归方法的妙用 .一、巧用 60°角构造直角三角形或等边三角形例 1　已知 :如图 1 ,在四边形ABCD中 ,∠A =60°,∠B =∠D =90°,BC =1 ,AD =2 .求 :四边形ABCD的面积 .解　 分别延长AB、DC ,设交于点E ,∵∠A =60° ,∠D =90°,∴∠E =30°.在直角三角形ADE中 ,∵AD =2 ,∴AE =4,DE =2 3,在直角三角形BCE中 ,∵BC =1 ,∴BE =3,S四边形ABCD…     

由平角与三角形内角和得出的一个结论

题目1:已知,如图1,在矩形 ABCD 中,点E,F 分别在 BC、CD 上,且 CE=AB,CF=BE求证:AE⊥EF.证明:由条件可得△ABE≌△ECF,所以∠1=∠2,又∠B ∠1 ∠3=180°,∠AEF ∠3 ∠2=180°,所以∠AEF=∠B=∠C=90°,所以 AE⊥EF.     

角平分线与全等三角形的构造

与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜。由于角平分线具备“角相等”和“公共边”这两个自身条件,因此,解决这类问题,常可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法。例1如图1,在△ABC中,∠BAC的外角平分线上取一点D,连结BD、CD。求证:BD+CD>AB+AC·证明:在BA延长线上截取AE=AC,连结DE.图1∵∠1=∠2,AD公用∴△ADC≌△ADE∵ED=CD在△EBD中,ED+BD>BE,∴BD+CD>AB+AC·例2如图2,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,AC=AB+BD·求证:∠ABC=2∠C·证明:延长AB到E,使AE=AC,连结DE·图2∵AE=AC,∠1=∠2,AD=A…     

有关三角形、梯形中位线辅助线应用技巧

三角形,梯形中位线是我们在计算、证明中经常用到的两条重要的线段,如果能把三角形、梯形中位线辅助线寻找出来,问题就会迎刃而解·所以就三角形、梯形中位线辅助线在证明中应用谈一下技巧·一、有一边中点时,常构造中位线例1如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,E为CD的中点,连结AE、BE·求证:AE=BE·证明:取AB中点F,连结EF·因为EF是中位线,所以EF∥AD∥BC·因为∠DAB=90°,所以∠AFE=∠BFE=90°,所以△AEF≌△BEF,所以AE=BE·例2如图2,E、F分别为四边形ABCD两对角线AC、BD之中点·求证:EF>21|AB-CD|·证明…     

化归思想解题例谈

适当改变数学问题的题设或结论,抓住本质,不断地将“未知”转化为“已知”,使众多题目相互沟通,递推提升,从而循序渐进地解决一系列问题,对提高学生的思维能力,有重要意义。例1 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE、CF分别是△ABC的角平分线,中线和高。求证:∠FCD=∠DCE。证明:∵∠ACB=90°,并且AE=EB∴CE=AE=BE=12AB∠A+∠B=90°∠B=∠BCE,∠ACD=∠BCD∵CF⊥AB∴90°-∠B=90°-∠ACF∴∠B=∠BCE=∠ACF∴∠ACD-∠ACF=∠BCD-∠BCE即:∠FCD=∠DCE例2如图2在△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线MN与AB相…     

浅谈一般四边形的解题策略

一、通过添加辅助线转化为有关三角形的问题来解决． 1．添对角线例1 如图1,在四边形 ABCD中,AE、AF分别是 BC、CD的中垂线,∠EAF= 80°,∠CBD=30°．求:∠ABC和∠ADC的度数．析解:如图1,连结AC．因为AE、AF分别是 BC、CD的中垂线, 所以AB=AC=AD,     

一道中考数学试题的解法赏析与教学启示

<正>一、原题呈现2021年安徽中考数学压轴题:如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE∥CD,DE∥AB,作CF∥AD交线段AE于点F,连接BF.(I)求证:ABF≌EAD;(II)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长;     

暑假平面几何练习题

一、填空题1.如图1,若a∥b,∠1=72°,则∠2=.图1图22.如图2,若AB∥CD,∠ABE=110°,∠DCE=35°,则∠BEC=.3.如图3,∠1+∠2+∠3+∠4=.图3图44.如图4,A,O,B在同一直线上,∠AOC=12∠BOC+30°,OE平分∠BOC,则∠BOE=.5.如图5,直线AB,CD交于点O,OE是∠AOD的平分线,∠AOC=50°,则∠DOE的度数是.图5图6186.已知等腰三角形的两边长分别为6cm,3cm,则该等腰三角形的周长是cm.7.如图6,△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD⊥BC,AE为∠BAC的平分线.则∠DAE的度数是.8.已知,如图7,把一张长方形纸片ABCD沿BD对折,使C点落在E处,BE与AD…     

一道竞赛题的多角度审视

1992年沈阳市“育才环”初中数学邀请赛有这样一道试题：在四边形ABCD中，着∠B＝∠＝90°，∠＝120°，则这是一道四边形问题，解此题的指导思想是：通过作适当的辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，辅助线的作法有如下10种：1．作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F（如图1），则FEBC为矩形，∠ADE＝30°，∠DCF＝30°．若没AE＝a，HF＝b，则AH＝2a，DE＝，CD＝2b，所以AB＝2．作CE∥BA交AD于E，EF⊥AB于F（如图2），则EFBC为矩形，∠AEF＝30°，∠DCE＝30°．若设AF＝a，DE＝b，则AE＝2a，CE＝BF＝2b，CD＝所以AB＝…     

寻思维障碍 觅最佳教法

<正>一、试题呈现题目 (2021年安徽省学业水平考试第23题)如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交线段AE于点F,连结BF.(1)求证：△ABF≌△EAD;(2)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长;