拟圆的两个充要条件

设D是-↑R^2萨中的Jordan域,∞∈aD,D＊=-↑R^2＼-↑D是D的外部,证明了D是拟圆的两个充要条件：（1）D是拟圆当且仅当D和D＊都是ILC域;（2）D是拟圆当且仅当D和D＊都是OLC域．     

左右逢"圆"

圆是高中数学的重点内容之一,也是高考命题的热点,现结合一些典型考题,根据对圆考查的不同层次进行分类归纳,并探讨其解题规律. 一.识圆 例1 直线√3x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于( ). A.√3或-√3 B.-√3或3√3 c.-3√3或√3 D.-3√3或3√3     

圆中几类常见问题探析

正"圆"是苏教版必修二中重要的一块内容,是几何与代数的交汇点,也是高考的热点之一.以下主要研究其常见的几类问题.一、求圆的标准方程例1已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C的方程为.(2010天津文数)解析:本题主要考查圆的方程的求法,属于容易题.令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为(-1,0).因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r=-1+0+3姨2=姨2,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.     

中考数学试题中的公切线问题

两圆位置关系是初中几何的重要知识点 .由于两圆位置关系的变化能引起公切线情况的变化 ,所以 ,涉及两圆公切线的问题便成为近年来中考数学的一个热点 .因此 ,对两圆公切线问题进行研究是十分必要的 .1　求公切线条数设两圆的半径分别为Ｒ、ｒ,圆心距为ｄ ,那么 ,( 1 )ｄ >Ｒ +ｒ 两圆外离 有 4条公切线 ;( 2 )ｄ=Ｒ +ｒ 两圆外切 有 3条公切线 ;( 3)Ｒ -ｒ<ｄ <Ｒ +ｒ(Ｒ≥ｒ) 两圆相交 有 2条公切线 ;( 4 )ｄ =Ｒ -ｒ(Ｒ >ｒ) 两圆内切 有 1条公切线 ;( 5)ｄ <Ｒ -ｒ(Ｒ >ｒ) 两圆内含 无公切线 .此外 ,当Ｒ =ｒ时 ,两圆不存在内含…     

线段的定比分圆

定义若圆上任一点到点 A 的距离与到点 B 的距离的比恒为常数λ(λ>0,λ≠1),则称该圆分有向线段()所成的比是λ;该圆称为有向线段()的定比分圆.定理设 A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)是定点,一个圆分有向线段()所成的比是λ,则该圆的圆心坐标是 x_0=(x_1-λ~2x_2)/(1-λ~2),y_0=(y_1-λ~2y_2)/(1-λ~2),半径是 r=λ|1-λ~2|·|AB|.证明:设 P(x,y)是圆上的动点,由 |PA|/|PB|=λ得(x-x_1)~2 (y-y_1)~2=λ~2[(x-x_2)~2 (y-y_2)~2],经整理,得x~2 y~2-2x·(x_1-λ~2x_2)/(1-λ~2)-2x·(y_1-λ~2y_2)/(1-λ~2)=(λ~2x_2~2 λ~2y_2~2-x_1~2-y_1~2)/(1-λ~2),配方并化简整理,得     

如何学习两圆的位置关系

一、正确理解定义两圆的位置关系共有五种 ,是由两圆的公共点来定义的 ,即两圆没有公共点———外离或内含 ;两圆有惟一公共点———外切或内切 ;两圆有两个公共点———相交 .二、熟练掌握判定方法两圆的位置关系 ,既可根据两圆半径与圆心距的关系来判定 ,又可根据两圆内、外公切线的总条数来判定 .设两圆半径分别为Ｒ、ｒ(Ｒ >ｒ) ,圆心距为ｄ ,则有( 1 )ｄ >Ｒ +ｒ 两圆外离 两圆有 4条公切线 ;( 2 )ｄ =Ｒ +ｒ 两圆外切 两圆有 3条公切线 ;( 3)Ｒ -ｒ<ｄ <Ｒ +ｒ 两圆相交 两圆有2条公切线 ;( 4 )ｄ =Ｒ -ｒ 两圆内切 两圆仅有 1条…     

圆与方程求解的常用策略

<正>圆的方程是圆中的基本内容,也是高考命题的热点,必须认真掌握。求圆方程除掌握圆的一般方程、标准方程及待定系数法外,还要掌握一些技巧才能提高解题能力。常用的策略有以下几种,现举列说明。一、直接法例1求过点A(2,-3)、B(-2,-5),且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程。分析:设法求出圆的半径,然后利用圆的标准方程即可。解:因为圆心在直线x-2y-3=0上,故可设圆心为M(2b+3,b),再由|MA|=     

活用圆的性质 妙解圆类问题

在解决与圆有关的问题中,充分挖掘圆的几何性质,利用其几何图形的直观性,是简化和优化解题的重要方法,下面分类举例说明.【例1】已知圆经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2),求此圆的方程.解析:此圆即为△ABC的外接圆,其圆心即为三边垂直平分的交点,故而容易求出圆心M和半径R,易求     

用几何画板作与两定圆都相切的动圆的圆心轨迹

人教A版高中课标教材《数学》选修2-1第50页有如下一道习题：一动圆与圆x^2＋y^2＋6x＋5=0外切,同时与圆x^2＋y^2-6x-91=0内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么图形？     

过两已知点的圆系方程

我们知道 ,若圆Ｃ1:ｘ2 ｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0和圆Ｃ2 :ｘ2 ｙ2 Ｄ1ｘ Ｅ1ｙ Ｆ1=0相交于两点 ,那么过两点的圆系方程为ｘ2 ｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ λ(ｘ2 ｙ2 Ｄ1ｘ Ｅ1ｙ Ｆ1) =0 (不含圆Ｃ2 ) (λ∈Ｒ)《解析几何》课本第 70页第 3题　已知一个圆的直径的两个端点是Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,证明 :圆的方程是 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ-ｙ1) (ｙ -ｙ2 ) =0 .结合以上两个结论可得 :命题 :过两已知点Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )的圆系方程为 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ -ｙ1) (ｙ-ｙ2 ) λ(ａｘ ｂｙ ｃ) =0 . ①(λ∈Ｒ…     

如何解答圆锥曲线的最值问题

策略1：抓住图形特点求最值 例1已知圆C1：（x-2）^2＋（y-3）^2=-1,圆C2：（x-3）2＋（y-4）^2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17.     

有关圆的几类热点问题

圆是高中数学的重点内容之一,也是高考命题的热点,现结合近几年的高考试题,对考查圆的不同形式进行分类归纳,并探讨其解题规律,供参考. 一、考查圆的方程 例1 以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是_. 分析:已知圆心,再利用相切条件,求出半径,代入圆的标准方程即可.     

一道课本习题的探究与发现

正人教版(A)普通高中课程标准实验教科书高中《数学》(选修2-1)第49页习题A组第7题是:如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?一、问题的解答     

第七章 圆

一、本章导析圆是初中几何中最为重要的一章 ,它内容多、题型杂、题目活而难 ,又易于与其它内容结合 ,而且中考中所占比例极大 ,是值得我们非常重视的一章 .圆的有关性质、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系是本章重点 .正多边形与圆 (包括弧长、面积、圆锥、圆柱 )应侧重有关计算 .值得强调的是圆周角与相似形在圆中有着极其重要的作用 .二、例题解析例 1　如图 1- 7- 1,P是⊙ O外一点 ,PD为切线 ,D为切点 ,割线 PEF经过圆心 O,若PF =12 ,PD =4 3,求∠ EFD的度数 .解 :连结 D O,∵ PD为切线 ,PEF为割线 ,∴ PD2 =PE· PF.…     

解析几何在高考考题中的体现

平面解析几何知识包括直线和圆的方程,圆锥曲线方程,还有极坐标方程,这是高考必考内容。在近几年全国统一高考试题中,主要考查学生计算能力,逻辑推理能力,分析问题、解决问题的综合能力等。笔者结合近几年的高考题,分类说明如下:一、直线与圆位置关系①直线与圆相切问题,主要利用圆心到切线的距离等于圆的半径(点到直线的距离公式)。例如:1.若直线(1 !) y 1=0与圆x2 y2-2x=0相切,则a的值为A1,-1B2,-2C1D-12.设直线l过点(-2,0)且与圆x2 y2=1相切,则的斜率是A±1B±21C±!33D±!3②有关弦长问题,通常利用弦心距、弦半径、圆半径所构成的直…     

直线与圆的典型题例解析

直线与圆是解析几何知识的基础,也是近几年高考的热点内容,因此,熟悉、掌握一些直线与圆综合问题十分必要. 例1已知圆C与圆C1:x2+y2-2x—=0外切,并且与直线l:x+ 3~(1/2)y=0相切与点P(3,-3~(1/2)).求此圆C的方程. 求圆C的方程要先确定圆心的坐标和半径的长.可设圆C的圆心为C(a,b),半径为r,因为圆C与圆C1相外切,且圆C1的半径为1,所以两圆的圆心距|CC1|=r+1.又因为与直线l相切与点P,所以圆C的圆心在过P点与直线l垂直的直线上,且圆心到直线l的距离等于半径r,依据圆的几何性质即可求出参数a,b、r 解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r.     

关于圆是几维图形的思考——兼与《关于圆》一文商榷

近读《关于圆》*(以下简称文1)一文,作者认为"圆是平面内的那条封闭曲线""平面内的线都是一维图形"(见文1,84-85页),由此推出不仅是圆,平面内的图形无论封闭与否都是一维图形(见文1,85页"二"最后一段)。关于圆是一维图形的说法早已有之,以往也没有引起多少讨论,之所以如此,主要出于以下几方面的原因。     

对一道由圆生成双曲线习题的探究

<正>1问题提出普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1人教A版第54页习题2.2A组第5题与选修2-1人教A版第62页习题2.2A组第5题是同一道题,题目如下:如图1,圆O的半径为r,A是圆O外一个定点,P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?     

探析圆之“最值”

与圆有关的最值问题是一类热点问题,常见解法是观察所给式子的几何意义,充分利用圆的性质,由数形结合来解决. 一、与圆上的点的坐标有关的最值问题 例1 设实数x、y满足x 2+(y-1)2=1,求y+2/x+1的最值. 分析:y+2/x+1的几何意义是圆上一动点(x,y)与已知定点(-1,-2)连线的斜率.     

共轴圆系理论的一个注记

在许多解析几何的著作中,有关共轴圆系理论是以如下方式阐述的: 到两不同心的已知圆C_i: f_i(x,y)=x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0 (i=1,2)的切线长相等的点的轨迹称为此两圆的根轴,共根轴的圆系称为共轴圆系。共轴圆系的方程为f_1 λf_2=x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0,其中λ为不等于-1的任意常数。当λ=-1时上式即