三面角公式及应用

在人教版《数学》第二册（下）直线与平面所成的角一节中有一个公式：cosθ=cosθ1cosθ2．如图1，AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影．     

三余弦公式推论及其应用

一、三余弦公式及其推论三余弦公式:如图1,PO⊥平面α于O,PA∩α=A,ABα,直线AP与AB成θ角,AP与AO成θ1角,AO与AB成θ2角,则有cosθ=cosθ1cosθ2.证明:如图1,作OB⊥AB于B,连结PB,则PB⊥AB,∠PAB=θ,∠PAO=θ1,∠OAB=θ2,设|PA|=1,则|AO|=cosθ1,|AB|=|AO|cosθ2=cosθ1cosθ2,又|AB|=cosθ,所以cosθ=     

例析公式cosθ=cosθ_1cosθ_2的应用

斜线AB与平面α所成的角为θ1,A为斜足,AC在α内,且与AB的射影成θ2角,∠BAC= θ,则有cosθ=cosθ1cosθ2(*). 这个公式在新教材中要求学生掌握.笔者在教学实践中发现,学生对它的应用很不熟悉.本 文试图归纳它的几个应用.     

巧用最小角定理

如图1,已知AO是平面α的一条斜线, A是斜足,OB垂直于α,B是垂足,则直线AB是斜线AO图1在平面α内的射影．设AC是α内的任一直线．设AO与AB所成的角为θ1,AB与AC所成的角为θ2,AO与AC所成的角为θ．则cosθ=cosθ1cosθ2．由此我们得到最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小的角．     

巧用公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2解题

巧用公式cosθ=cosθ1·cosθ2能妙解许多问题,下面举例说明.一、用于求空间角例1如图1,PA是平面α的斜线,∠BAC=90°,又∠PAB=∠PAC=60°,求PA与平面α所成的角.     

两个重要公式的推导及应用

正1、如图:已知二面角α-MN-β,A∈MN,AB(?)α,AC(?)β,设∠BAN=θ_1,∠CAN=θ_2,二面角α-MN-β的大小为θ_3,∠BAC=θ,那么cosθ=cosθ_1cosθ_2+sinθ_1sinθ_2cosθ_3证明:如图(一)1°、当θ_1、θ_2均为锐角时,在AB上取一点E(异于点A),在平面α内作EG⊥MN,垂足为G,在平面β内作GF⊥MN     

一个三角公式的推导及其应用

一、定理:已知二面角的平面角为φ,在二面角的棱上任取一点A分别在两个半平面内作射线,两射线所成的角为θ,两射线与棱为公共边所成的角分别为θ_1和θ_2,则有: cosθ=cosθ_1 cosθ_2+sinθ_1 sinθ_2 coφ 当印φ=90°时,公式为cosθ=cosθ_1 cosθ_2 证明:(设φ,θ_1,θ_2均为锐角) 如图,∠BAC=θ,∠BAQ=θ_1,∠CAQ=θ_2,在PQ上任取一点D,在平面α和β内分别作BD⊥PQ交AB于B,作DC⊥PQ,交AC于C,连BC,则∠BDC=φ,并设AD=a,     

一个教科书结论的推广及其应用

文[1]P48三夹角与距离中证明了命题：如图1,设OA,OB,OC是三条不共面的射线（即三面角）,∠AOB=θ1,∠COB=θ2,∠AOC=θ3,二面角A-OB-C为直二面角（即平面AOB⊥平面BOC）,则有公式cosθ3=cosθ1·cosθ2①.     

一个三角公式的推导和它的应用

一、定理:已知二面角的平面角为φ,在二面角的棱上任取一点分别在两个半平面内作射线,两射线所成的角为θ,两射线与棱所成的锐角分别为θ_1和θ_2且θ_1,θ_2具有公共边,则有: cosθ=cosθ_1cosθ_2 sinθ_1sinθ_2cosφ。当φ=90°时,公式为cosθ=cosθ_1cosθ_2。证明: 如图,∠BAC=θ,∠BAO=θ_1,∠CAQ=θ_2,在PQ上任取一点D,在平面α和β内分别作BD⊥PQ交AB于B,作DC⊥PQ,交AC于C,连BC,则∠BDC=φ,并设AD=α,     

新教材中公式“cosθ=cosθ1cosθ2”的两类应用

新教材第九章(B)中的第44页有如下公式:cosθ=cosθ1cosθ2,它的几何解释如下:如图1,已知OA是平面α的斜线,A为斜足,OB⊥α,垂足为B,AC为α内任一直线.AO与AB所成的角为θ1(线面角);AB与AC所成的角为θ2(面内角);AO与AC所成的角为θ(面外角).     

公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2的妙用——利用最小角定理解高考题中的两类角

人教版高中数学第二册(下B)第43页在讲解直线和平面所成角时有如下结论:如图l所示,OA 和平面α所成的角是θ1,AC在平面α内,AC与OA 在平面α上的射影AB所成的角为θ2,设∠OAC= θ,则有cosθ=cosθ1·cosθ2(证明可参照课本)．     

巧用三线三角余弦公式妙解立体几何题

若直线AB是平面α的一条斜线,A’B’是AB在平面α内的射影,l为平面α内不同于A’B’的一条直线,且AB与l的夹角为θ,A’B’与l的夹角为θ1,AB与平面α所成的角为θ2,则易知cosθ=cosθ1·cosθ2,为了便于学生记忆和灵活使用,笔者不妨将此公式称为三线三角余弦公式,     

巧用公式cosθ_1cosθ_2=cosθ解直二面角题

如图,AB和平面α所成的角是θ,,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′,成角θ2.设∠BAC=θ,求证:cosθ1cosθ2=cosθ.     

立几“余弦定理”的应用

现行高中立几课本总复习参考题第3题为: 如图,AB和平面α所成的角是θ_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1·cosθ_2=cosθ。如果把θ_1、θ_2、θ看作是以A为顶点的三个面角,该命题也可叙述为:在三面角中,如果两个面角所在平面互相垂直,那么这两个角的余弦之积等于第三个面角的     

解题勿忘公式:cosθ1cosθ2=cosθ

如图1,直线AB和平面α所成的角是θ1,直线AC在平面α内,AC和AB的射影AB’所成的角为θ2,设∠BAC=θ,则cosθ1cosθ2=cosθ.此公式在新教材中列为了必学的内容,大大提高了其地位.下面举例谈谈它的应用.一、用于求直线与平面所成的角     

椭圆的椭心角和共轭直径的性质

1 椭心角的概念 如图1,设A（acosθ1,bsinθ）,B（acosθ2,bsinθ2）（0≤θ1,θ2≤2π）为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上不同的两点,角α称为椭圆上的弧AB所对椭心角．若θ2-θ1〉0,则α=θ2-θ1;若θ2-θ1〈0,则α=2π-（θ2-θ1）．     

一个二面角公式的推导与应用

立体几何教材中有这样一道习题:如图1,AB和平面α所成的角为θ₁,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′所成的角为θ₂,设∠BAC=θ,则有cosθ₁ cosθ₂=cosθ.将其引申,得如下结论:命题AB和平面所成的角是θ₁,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′所成的角为θ₂,设二面角B-AC-B′为ψ,     

立几课本中两个习题的结合运用

立几课本中第33页11题: 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线. 立几课本中第122页第3题:AB和平面a所成角是θ1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB'所成角θ2,设∠BAC=θ,求证:cosθ1·cosθ2=cosθ.(如图1)     

"三线角公式"的得名及在高考中的应用

《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学》第二册下（B）（第43页）在研究平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，以及斜线和平面内的任一条直线所成的角之间的关系时，给出了一个公式cosθ=cosθ1cosθ2．该公式应用广泛，为方便记忆和应用，不妨把它叫做“三线角公式”．     

从空间到平面的一次巧妙转化

高中立体几何部分有这样一个问题：如图一,△ABC的边AB在平面α内,顶点C在α外,点C在α内的射影为点D,设∠ACB=θ1,∠ADB=θ2,试问θ1,θ2的大小关系如何？这里需要比较的是一个空间角与它在某个平面内的射影角的大小关系,凭几何直观或是取特殊角（θ1为直角）容易得出θ1比θ2小,那么当θ1取三角形的其它内角时,