四面体的侧棱切球与奈格尔（Nagel）点

1引言 习惯认为,四面体的棱切球可分为内棱切球（与四面体各棱都相切的球,且各侧面与球的截线在该侧面的三角形内）与外棱切球（与四面体各棱或其所在直线都相切的球,且至少有一侧面与球的截线在该侧面的三角形外）．     

四面体有外接球和内切球吗？

众所周知,任意△ABC都有外接圆和内切圆．三角形与空间的四面体有可类比性,类比可知：任意四面体s—ABc都有外接球和内切球．由于类比得出的结论未必正确,自然会思考：该结论是否正确？如果正确,如何证明？     

四面体的两条性质

定理设△_i、V_i(i=1,2,3,4)表示四面体A_1A_2A_3A_4中,A_i对面旁切球的面积和体积,△_0和 V_0表示内切球面积和体积,则证明:(1)设 A_i 所对面外旁切球半径为 r_i,所对面面积为 S_i,内切球半径为 r_0,四面体体积为 V,则     

体积与表面积等值的旋转体与内切球

贵刊早在1990年第6期“体积与表面积等值的四面体与内切球”一文中就给出了关于多面体与其内切球的几个有趣结论，十余年后读来仍受启发．本文进一步验证了某些旋转体(圆柱、圆台、圆锥、球缺)也具有同样的性质：     

有关四面体的一个不等式的加强

1994年,彭诚建立了如下不等式:设四面体A_1A_2A_3A_4内一点P到A_i所对面的距离为ri(i=1,2,3,4);R、r分别为四面体的外接球与内切球的半径,则     

与四面体内点有关的几个不等式

本文对四面体的内点到各顶点及面的距离与四面体体积、外接球与内切球半径之间的关系作了初步探讨,给出若干不等式.     

四面体中的一类不等式

本文约定:四面体A1A2A3A4的体积为V,内切球的半径为r,顶点Ai(i＝1,2,3,4)的对面的面积、高和旁切球半径分别为Si、hi和ri.     

球与几类特殊四面体的切接问题的探索

球与多面体的切接问题,一般通过作截面把立体图形平面化,然后用平面几何的相关知识来解决,而球与几类特殊的四面体(三棱锥)的切接问题,可以转化为球与长方体的切接问题来解决.长方体(正方体)与球的三种切接关系:一、球内切正方体的各个面,称球为正方体(棱长为a)的     

关于欧拉不等式的三维推广

平面几何中,有一个欧拉不等式: 设△ABC的外接圆和内切圆的半径分别是R和r,则 R≥2r。其中等号当且仅当△ABC是正三角形时成立。这个结论在三维空间中可推广如下: 设四面体A_1—A_2A_3A_4(简记四面体A,下同)的外接球和内切球的半径分别是R和r,则     

内切和外接

1.正方体的内切球、棱切球、外接球与正方体的各个面、各条棱都相切的球,经过正方体各个顶点的球分别称为正方体的内切球、棱切球、外接球.     

四面体存在棱切球的一个充要条件

《中学数学月刊》1997年第8期《关于多面体的棱切球的存在性》一文中,证明了:若四面体中任意相邻两面的内切圆与公共棱的切点重合,则此四面体必存在唯一的棱切球。据此,笔者获得:     

切球问题解法初探

在各类数学竞赛中，经常有切球问题出现，如果出现球的个数较多，一则难以想象各球之间的几何特征，二则不易画出其立体图形，这就增加了切球问题求解的难度．本文拟对切球问题的解答方法作初步探索．一、作出截面某些几何问题如能作出某一截面图形，能够把球的大圆和球心反映出来，则问题常能得到顺利解决．例1在棱长为1的正方体内放9个等球，八个三面角内各放一个，中间放一个，求这些球的最大半径．分析:欲使球的半径最大，显然，八个三面角内所放的球必须与三面角的三个面都相切，而中间的一个球又与这八个球都相切．易知这些球的球心分…     

三维Euler不等式的推广

利用解析方法和几何不等式理论，研究了四面体外接球半径与内切球半径之间的关系，建立了四面体外接球半径与内切球半径的几个不等式，推广了四面体Euler不等式。     

联想一道赛题 培养创新意识

题一个球与正四面体的各条棱都相切,且球的表面积为8π,则正四面体的棱长为___．(第17届(06年)“希望杯”高二2试)解如图1,补正四面体ABCD成正方体,则正四面体的棱均为正方体的面对角线．     

例说立几问题解决中部分图形的整体化

1 部分图形延伸为整体后的增加直观 例1 一个四面体的所有棱长都为拒,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为（ ）．     

回归整体妙解立几题

在高中立体几何教学中,时常遇到这样的情况,从题目给出的条件和图形中直接求解,会感到很麻烦,甚至出现思路受阻而束手无策.此时倘若改变策略,视给出图形为局部,联想整体,即将已知图形置于某个特殊几何图形中,利用整体的特殊性质常能使问题柳暗花明,甚至能快速得解.本文试着眼于立几中最常用,也是极重要的三种几何体即四面体,长方体和正方体作为构建的特殊整体,来阐述回归整体法解立几题的妙处.1　回归四面体四面体即三棱锥,其特性有:相对两棱是异面直线;各个面皆为三角形.正四面体各棱长相等;各面为全等正三角形,中心(外接球、内切球球心)到…     

浅谈平几与立几的类比

本文从立体几何课本一道习题谈到直角三角形和三直角四面体的性质的类比,进一步谈到圆与球的某些性质的类比,并就圆内接三角形的面积公式和球内接四面体的体积公式的证明方法也作了类比。     

Gerber不等式的推广及应用

一、主要结果及应用 本文中的改定四面体A_1A_2A_3A_4的项点Ai所对的侧面f_i(三角形)的面积为f_i(i=1,2,3,4),V,R与r依次表示四面体A_1A_2A_3A_4的体积,外接球半径与内切球半径,P为四面体     

四面体中一个有趣的不等式

读了[1]、[2]后深受启发，发现类比三角形可以得到四面体的许多性质，特别是正弦定理等．笔在教学中将四面体与球结合研究，发现了—个类似于正弦定理的不等式性质．     

难题征解

问题的提供、解答和评注邮送本栏主持人陈计(315211,宁波大学数学系)。提供问题尽可能随同附上解答,参考文献以及有助于编辑的其它见解。题号右上角的星号(＊)表示问题提出时尚无解答。问题 10.＊单位面积的三角形中任给5点,以它们为顶点可构成10个三角形,证明或否定:其中必有3个三角形的面积不大于1/4。 (湖南平江黄仁寿提供) 11.一个数列满足:任意连续m项之和大于0,任意n项之和小于0,求证:此数列最多可含m n-(m,n)-1项。 (浙江宁波周晓东提供) 12.＊若以四面体ABCD的内切球球心I为中心,可以作一个球面,同时与四面体的四个旁切球相外切。