浅议一个恒等式的来龙去脉

我们经常遇到这种问题：若f（x）=1/4^x＋2（或f（x）=1/a^x＋√a），求f（-3）＋f（-1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）的值，解答这类问题是依据这类函数一个恒等式：若f（x）=1/4^x=2，则f（x）＋f（1-x）=1/2，若：f（x）=1/a^x＋√a，则f（x）＋f（1-x）==1/√a。     

2010、2009年高考中的分段函数

1 分段函数的求值（域）问题 例1 （2010陕西文）已知函数f（x）＝{3x＋2,x〈1,x2＋ax,x≥1,若f（f（0））＝4a,则实数a＝__. 解析 f（0）=2,f（f（0））=f（2）=4＋2a=4a,所以a=2.     

函数的解析式可以这样求

定义法 例1已知f（1＋1/x）=1/x^2-2,求函数f（x）的解析式. 解据题意有f（1＋1/x）=1/x^2-2=（1＋1/x）2-2（1＋1/x）-1.由函数的定义,可知函数的解析式为f（x）=x^2-2x-1（x≠1）.     

求函数解析式的十二种方法

一、定义法 例1 已知f（1＋1/x）=1/x^2-2,求函数f（x）的解析式． 解 f（1＋1/x）=1/x^2-2=（1＋1/x）^2-2（1＋1/x）-1,     

错在哪里

忽视复合函数的定义城已知函数f（x）=2＋log_3x（1≤x≤9）,求函数g（x）=[f（x）]＾2＋f（x＾2）的最大值和最小值.错解：由1≤x≤9,得0≤log_3x≤2.g（x）=（2＋log_3x）＾2＋2＋log_3x＾2=（log_3x）＾2＋6log_3x＋6=（log_2x＋3）＾2-3.     

浅析抽象函数的解法

赋值法 例1 设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对任意实数x1,x2满足f（x1）＋f（x2）=f（x1·x2）． （1）求证：f（1）=f（-1）=0; （2）求证：y=f（x）为偶函数．     

一题多解，探根溯源

题目 已知函数f（x）=x^2＋ax＋1/x^2＋a/x＋b（x∈R,且x≠0）,若实数a,b使得f（x）=0有实根,求a^2＋b^2的最小值.（2014年高中数学联赛贵州赛区） 1．一题多解 分析 令t=x＋1/x,则t∈（-∞,-2]∪[2,＋∞）,于是 方程f（x）=0,即t^2＋at＋b-2=0（｜t｜≥2）.（＊）     

解析式求法十例

1．直接代入 侈01已知f（x）=2x-1,g（x）=1/1＋x^2,求f[g（x）]和g[f（x）＋2].     

2008年全国高考江西卷（理）22题解题思路剖析

题目：已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）,（1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明：1〈f（x）〈2。     

2008年高考江西卷压轴题的简解及推广

题已 知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明1〈f（x）〈2．     

由一道高考题浅谈抽象函数周期性与自身轴对称性的异同

引例 （2005年广东卷）设函数f（x）在（-∞,＋∞）上满足f（2-x）=f（2＋x）,f（7-x）=f（7＋x）,且在闭区间[0,7]上,只有f（1）=f（3）=0．     

求函数解析式的常用方法

一、利用函数定义 例l已知函数y=f（x）满足条件：f（1＋x/x）=x^2＋1/x^2＋1/x,x≠0，求f（x）的表达式．     

运用特殊值法解题应注意的问题

一、“问题”的展示 例1（2006年高考陕西卷）已知函数．f（x）=ax^2＋2ax＋4（0〈a〈3），若x1〈x2,x1＋x2=1-a，则………（ ） （A）f（x1）〉f（x2）； （B）f（x1）〈f（x2）； （C）f（x1）=f（x2）； （D）f（x1）与f（x2）的大小不能确定． 何老师在《数学教学》2007年第4期《高考中二次函数问题的命题特点与教学建议》一文中给出的答案如下：     

赏析5道高考全国卷函数不等式恒成立问题解法

2011年全国新课标卷第21题为：已知函数f（x）=slnx/x＋1＋b/x,曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为x＋2y-3=0．     

不能忽视函数定义域的作用

作为函数三要素之一的定义域,它直接制约着函数的解析式、图象和性质。在解函数问题时,不少学生往往会忽视甚至无视定义域的作用,从而导致错误的发生。本文试举例说明,以期引起大家的注意和重视。例1已知f（槡x＋1）=x＋2槡x,求f（x）。错误解法：设槡t=x＋1,则槡x=t-1,x=（t-1）2。于是f（t）=（t-1）2＋2（t-1）=t2-1,f（x）=x2-1。     

对一道高考难题的再思考

2008年高考江西卷（理科数学）的压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/1√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数α,证明：1〈f（x）〈2．     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

“常数的导数为零”的妙用

（武汉市2007年4月高三调研试题20题）已知函数f（x）=x^3＋bx^2＋cx＋d有两个极值点x1=1,X2=2,且直线y=6x＋1与y=f（x）相切于P点．（1）求b和c;（2）求函数y=f（x）的解析式;（3）当d为整数时,求过P点和y=（x）相切于一异于P点的直线方程．     

错解背后的真相

1困惑重重思错解 已知f（x）=ae^xlnx＋be^x-1/x,曲线f（x）在点（l,f（x））处的切线为y=e（x-1）＋2．     

对一个数学问题解答的修正与问题的另解

《数学通报）2005年7月号问题1561为如下题目： 已知函数y=f（x）ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0， （1）试证：方程f（x）=-a有实数解； （2）设方程f（x）=-a两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围．