解析几何的两类对称问题

一、关于点的对称问题1 点关于点的对称点点关于点的对称是最基本的中心对称问题 ,可通过中点公式解决 .一般地 ,设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )关于点Ｍ(ａ ,ｂ)对称的对称点为Ｑ(ｘ0 ′,ｙ0 ′) .则ａ =ｘ0 +ｘ0 ′2 ,ｂ=ｙ0 +ｙ0 ′2 ,或 ｘ0 ′=2ａ -ｘ0 ,ｙ0 ′=2ｂ -ｙ0 .2 曲线 (包括直线 )关于点的对称曲线曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ａ ,ｂ)的对称曲线为 ｆ( 2ａ -ｘ ,2ｂ -ｙ) =0 .证明　设点Ｑ(ｘ ,ｙ)是曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ａ ,ｂ)的对称曲线上的任一点 ,则Ｑ关于点Ｍ(ａ ,ｂ)的对称点Ｐ(ｘ′ ,ｙ′)应在曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0上 …     

对称性问题综述

近几年的高考、会考试题都考查到对称性问题 .对称性问题从曲线角度分为曲线自身的对称与两曲线之间的对称 ;从点的角度分为点关于点的对称与点关于直线的对称(曲线关于直线、点对称可转化为点关于直线的对称、点关于点的对称 ) .一、几个结论(1 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于Ｐ(ａ ,ｂ)对称点Ａ′的坐标为 (2ａ-ｘ0 ,2ｂ-ｙ0 ) .(2 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于直线ｌ:ａｘ+ｂｙ+ｃ=0 (其中｜ａ｜ =1 ,｜ｂ｜ =1 )对称点Ａ′(ｘ0 ′,ｙ0 ′)的坐标满足ｘ0 ′=-ｂｙ0 -ｃａ ,ｙ0 ′=-ａｘ0 -ｃｂ .(3 )函数 ｙ =ｆ(ａ+ｍｘ)与函数 ｙ=ｆ(ｂ-ｍｘ) (ａ、ｂ、…     

函数图象中一类对称问题剖析

请先看下面的例子 :例 1　设函数 ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ=ｆ( 1 -ｘ)与 ｙ=ｆ( 1 +ｘ)的图象关于 (　　 )(Ａ)直线 ｙ=0对称(Ｂ)直线ｘ=0对称(Ｃ)直线 ｙ =1对称(Ｄ)直线ｘ=1对称学生往往容易错选Ｄ .什么原因呢 ?显然 ,学生将本题混同于下面的问题 :例 2　设 ｙ=ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,若 ｆ( 1 -ｘ) =ｆ( 1 +ｘ) ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象关于直线对称 .在这类问题上产生混淆的现象还很多 ,为此 ,笔者对这类对称问题剖析如下 ,供参考 .探讨函数图象的这类对称问题 ,首先应分清研究对象 ,是讨论某一个函数图象自身的对称问题…     

巧用平移求曲线关于直线对称的方程

如何求曲线关于直线对称的方程呢 ?我们认为从曲线关于直线对称的本质出发 ,巧用平移从一个全新的角度来求曲线关于直线对称的方程 ,是解决该类问题的一种有效的方法 .下面举例说明 .一、巧设平移变换求曲线关于直线对称的方程 .例 1　求曲线Ｃ :3ｘ2 ｙ2 =4关于直线Ｌ :ｙ=ｘ 2对称的方程 .解 :设要求的曲线上任意一点Ｍ (ｘ ,ｙ) ,它关于Ｌ对称点为Ｍ′ ,令变换 :ｘ′=ｘ 2ｙ′=ｙ 则在该变换下 :Ｍ的坐标变成Ｍ(ｘ′-2 ,ｙ′) ,Ｌ的方程变成 :ｙ′ =ｘ′点 ,(ａ ,ｂ)关于直线ｙ =ｘ对称的点为 (ｂ ,ａ) ,∴Ｍ′的坐标为 (ｙ′ -2 ,ｘ…     

由条件f(ωx φ)≡f(x)确定的函数f(x)

本文的ｆ(ｘ)是定义在Ａ上的函数 ,对于任何一个ｘ ∈Ａ ,都有ｆ(ωｘ φ) =ｆ(ｘ) (其中ω、φ为常数 ) .众所周知 ,在上式中当ω =1、φ≠ 0时 ,,ｆ(ｘ)是Ｔ=φ的周期函数 ;当ω =- 1时 ,ｆ(ｘ)的图像关于直线ｘ =- φ2 对称 ;当ω =0时 ,ｆ(ｘ)是常值函数ｙ =ｆ(φ) .那么 ,当ω≠± 1、0时 ,ｆ(ｘ)又是如何的函数呢 ?设ｕ=ωｘ φ ,ｘ0 是Ａ上的任意一个自变量值 .1)若｜ω｜ <1,记ｕ1=ωｘ0 φ ,ｕ2 =ωｕ1 φ=ω2 ｘ0 ωφ φ ,… ,ｕｎ=ωｕｎ-1 φ=ωｎｘ0 ωｎ-1φ … ωφ φ=ωｎｘ0 1-ωｎ1-ωφ ,… .当ｎ→ ∞时 ,ｕｎ…     

奇函数、偶函数图象定理的推广

由奇函数、偶函数的图象定理知 :若ｆ( -ｘ) =-ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于原点对称 ;若 ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ) ,则函数 ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ轴对称 .下面我们研究此结论的推广情况 .1 若 ｆ(ａ -ｘ) =-ｆ(ａ+ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ ,0 )对称 ;2 若 ｆ( -ｘ) =2ａ -ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 ( 0 ,ａ)对称 ;3 若ｆ(ａ-ｘ) =ｆ(ａ +ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ａ对称证明　 1 由 ｆ(ａ-ｘ) =-ｆ(ａ +ｘ)得 ,函数ｆ(ａ+ｘ)是奇函数 ,从而函数 ｆ(ａ+ｘ)的图象关于原点对称 ,由此得函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ …     

高考数学强化训练(试验教材)

一、选择题 :本大题共 14小题 ,共 6 0分 .第 ( 1)～( 10 )题每小题 4分 ,第 ( 11)～ ( 14 )题每小题 5分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)如果集合Ａ ={ｙ| ｙ =-ｘ2 1,ｘ∈Ｒ},Ｂ= {ｙ|ｙ=-ｘ 1,ｘ∈Ｒ},则Ａ∩Ｂ =(　　 ) .Ａ .( 0 ,1)或 ( 1,1)　　　Ｂ .{( 0 ,1) ,( 1,1) }Ｃ .{0 ,1}　　　Ｄ .( -∞ ,1]( 2 )设函数 ｆ(ｘ) =1-ｘ1 ｘ的反函数为ｈ(ｘ) ,又函数 ｇ(ｘ)与ｈ(ｘ 1)的图象关于直线ｙ=ｘ对称 ,那么ｇ( 2 )的值为 (　　 ) .Ａ .- 1　　Ｂ .- 2　　Ｃ .- 43　　Ｄ .- 13( 3)函数 ｙ =Ａｓｉ…     

利用压缩变换解决椭圆的有关问题

在平面仿射变换里 ,对平面内任一点Ｍ(ｘ ,ｙ)施行变换ｘ′ =ｘｙ′ =μｙ　　 ( μ >0 ,且 μ≠ 1)　　 ( 1)把点Ｍ压缩到另一点Ｍ′(ｘ′ ,ｙ′)的仿射变换 ,称之为压缩变换 ,常数 μ称为压缩系数。一、作为仿射变换特例 ,压缩变换除了具有仿射变换的性质以外 ,还具有如下性质 :性质 1:若直线ｌ的斜率为ｋ ,经压缩变换ｘ′ =ｘｙ′ =μｙ( μ >0 ,且 μ≠ 1)后 ,它的象直线ｌ′的斜率ｋ′ =μｋ。证明 :设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )是直线ｌ上两点 ,Ａ′(ｘ′1,ｙ′1)、Ｂ′(ｘ′2 ,ｙ′2 )及ｌ′分别是Ａ、Ｂ及ｌ的象。则ｘ′1=ｘ1,ｙ′…     

2003年普通高等学校春季招生考试 数学试题（理工农医类）（北京卷）

一、选择题 (每小题 5分 ,共 60分 )1 .若集合Ｍ ={ｙ|ｙ =2 -ｘ},Ｐ ={ｙ|ｙ =ｘ -1 },则Ｍ∩Ｐ等于 (　　 ) .Ａ .{ｙ|ｙ>1 }　　　Ｂ .{ｙ|ｙ≥ 1 }Ｃ .{ｙ|ｙ >0 }　　　Ｄ .{ｙ|ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ -1ｘ ,则方程 ｆ( 4ｘ) =ｘ的根是(　　 ) .Ａ .12 　　　Ｂ .-12 　　　Ｃ .2　　　Ｄ .-23 .设复数ｚ1=-1 +ｉ,ｚ2 =12 +32 ｉ,则ａｒｇ ｚ1ｚ2等于 (　　 ) .Ａ .1 3π1 2 　　　　　　Ｂ .71 2 πＣ .51 2 π　　　　　　Ｄ .-51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ( 1 -ｘ) 的最大值是 (　　 ) .Ａ .45 　　Ｂ .54　　Ｃ .34　　Ｄ .435…     

函数y=Asin(ωx φ)初相φ的确定

函数ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的解析式的确定 ,是高考的考点之一 ,要确定该解析式 ,需要确定振幅Ａ(Ａ >0 )、ω(ω >0 )和初相 φ ,其中Ａ、ω易求 .下面介绍求 φ的几种常用方法 .一、平衡点法由ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) =Ａｓｉｎ(ω[ｘ φω) ]知 ,它的平衡点的横坐标为 - φω,所以 ,我们可以找出图像上与原点相邻的且处于递增部分的平衡点 ,令其横坐标ｘ=- φω,从而 φ =-ｘω .例 1　 (’90全国高考题 )已知函数ｙ =2ｓｉｎ(ωｘ φ) (｜φ｜<π2 )的一段图像如右图 ,则　　Ａ ω =1011,φ =π6Ｂ ω =1011,φ =- π6Ｃ ω =2 ,φ =…     

数学奥林匹克高中训练题(59)

第　一　试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1.已知ｘ、ｙ是两个不等的正数 ,则Ａ =ｘ2 +ｙ22- ｘ +ｙ2 ,Ｂ =ｘ +ｙ2 -ｘｙ ,Ｃ =ｘｙ - 21ｘ + 1ｙ的大小顺序是 (　　 ) .(Ａ)Ａ >Ｂ >Ｃ　　　　 (Ｂ)Ａ >Ｃ >Ｂ(Ｃ)Ｂ >Ａ >Ｃ　 (Ｄ)Ｂ >Ｃ >Ａ2 .函数ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ =ｇ(ｘ)有相同的定义域 ,对定义域中任何ｘ ,有ｆ(ｘ) +ｆ(-ｘ) =0 ,ｇ(ｘ)ｇ(-ｘ)= 1,且当ｘ≠ 0时 ,ｇ(ｘ)≠ 1.则Ｆ(ｘ) =2ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) - 1+ｆ(ｘ)是 (　　 ) .(Ａ)奇函数　 (Ｂ)偶函数(Ｃ)既是奇函数又是偶函数(Ｄ)非奇非偶函数3 .已知ａ、ｂ为非零常数 .若Ｍ =ａ…     

2003届高中毕业班第一次教学质量检测数学(理科)试卷

一、选择题 :(本大题 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 ,每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知集合Ａ ={ｙ｜ｙ =ｌｏｇｘ2 ,ｘ >1},Ｂ ={ｙ｜ ｙ =( 12 ) ｘ ,ｘ >1},则Ａ ∪Ｂ等于 (　 )Ａ .{ｙ｜ 0 <ｙ<12 }　　Ｂ{ｙ｜ ｙ >0 }Ｃ .ΦＤ .Ｒ2 .下列函数中 ,同时具有性质 :①图象过点 ( 0 ,1) ;②在区间 ( 0 ,+∞ )上是减函数 ;③是偶函数 ,这样的函数是 (　 )Ａ .ｆ(ｘ) =ｘ2 　Ｂ .ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ( ｜ｘ｜+2 )Ｃ .ｆ(ｘ) =( 12 ) ｜ｘ｜ 　Ｄ .ｆ(ｘ) =2 ｜ｘ｜2 (新 )下列导数正确的是 (　　 )Ａ .(ｘ +1ｘ)′ =…     

2002年湖南省高中数学奥林匹克

一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是ｙ =ｆ-1(-ｘ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ)ｙ=ｆ(ｘ)是偶函数(Ｃ)ｙ=ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数图 12 .二次函数ｆ(ｘ)=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图像如图 1所示 .记Ｎ =|ａ +ｂ +ｃ |+|2ａ -ｂ|,Ｍ =|ａ -ｂ +ｃ |+|2ａ +ｂ|.则 (　　 ) .(Ａ)Ｍ >Ｎ　 (Ｂ)Ｍ =Ｎ(Ｃ)Ｍ <Ｎ　 (Ｄ)Ｍ、Ｎ的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内 ,任意画一条直线 ,则与它异面的正方体的棱的条数是 (　　 )…     

2001年普通高等学校春季招生考试数学试题(北京、内蒙古、安徽卷)

一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)集合Ｍ ={1,2 ,3 ,4 ,5}的子集个数是 (　　 ) .Ａ .32　　Ｂ .31　　Ｃ .16　　Ｄ .15( 2 )函数ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0且ａ≠ 1)对于任意的实数ｘ ,ｙ都有 (　　 ) .Ａ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｂ .ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ)Ｃ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)Ｄ .ｆ(ｘ ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ)( 3)ｌｉｍｎ→∞Ｃｎ2ｎＣｎ 1 2ｎ 2=(　　 ) .Ａ .0　　Ｂ .2　　Ｃ .12 　　Ｄ .14( 4 )函数ｙ =- 1-ｘ (ｘ≤ 1)的反函数是(　　 )…     

2003年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)(北京卷)

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 .若集合Ｍ ={ ｙ｜ｙ=2 -ｘ} ,Ｐ ={ ｙ｜ｙ=ｘ-1 } ,则Ｍ ∩Ｐ =(　　 )　 (Ａ) { ｙ｜ｙ>1 }　 (Ｂ) { ｙ｜ｙ≥ 1 }　 (Ｃ) { ｙ｜ｙ>0 }　 (Ｄ) { ｙ｜ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ-1ｘ ,则方程 ｆ(4ｘ) =ｘ的根是 (　　 )　 (Ａ) 12 　 (Ｂ) -12 　 (Ｃ) 2　 (Ｄ) -23 .设复数ｚ1 =-1 +ｉ,ｚ2 =12 + 32 ｉ,则ａｒｇｚ1 ｚ2 =(　　 )　 (Ａ) 1 31 2 π　 (Ｂ) 71 2 π　 (Ｃ) 51 2 π　 (Ｄ) -51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ(1 -…     

一次习题课的教学情节

以前常感叹一类题在课堂上讲过多遍 ,学生仍然做不对 .自从在陕西师大参加中学骨干教师国家级培训 ,并学习了罗增儒老师的《中学数学课例分析》后 ,方感到水能载舟、也能覆舟的深刻道理 .看来 ,教师讲题的过程 ,不仅仅是师生间共同追求一个正确结果的过程 ,更应该是师生间以解题为依托共创人生体验、知识精华的过程 .下面我把一次习题课的教学情节呈现给各位同仁 ,企求赐教 .1　展示问题 ,创设情境问题 1　对于函数 ｙ =ｆ(ｘ) ,若满足 ｆ(ｘ -1 )=ｆ(1 -ｘ) ,那么 ｙ =ｆ(ｘ)的图象(　　 ) .Ａ .关于直线ｘ =0对称Ｂ .关于直线ｘ =1对称Ｃ …     

求直线对称点的一种新方法

在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明　设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 .　　因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即　Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例　已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对…     

2003年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题

一、填空题 (本大题满分 48分 ,本大题共有 1 2题 ,只要求直接填写结果 ,每题填对得 4分 ,否则一律得零分 ) .1 .已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ +1 ,则 ｆ- 1 ( 3 ) =.2 .直线 ｙ=1与直线 ｙ =3ｘ+3的夹角为.3 .已知点Ｐ(ｔａｎα ,ｃｏｓα)在第三象限 ,则角α的终边在第象限 .4.直线 ｙ=ｘ -1被抛物线 ｙ2 =4ｘ截得线段的中点坐标是 .5.已知集合Ａ =ｘ｜｜ｘ｜≤ 2 ,ｘ∈Ｒ ,Ｂ=ｘ｜ｘ≥ａ ,且Ａ Ｂ ,则实数ａ的取值范围是 .6.已知ｚ为复数 ,则ｚ+ ｚ>2的一个充要条件是ｚ满足 .7.若过两点Ａ( -1 ,0 )、Ｂ( 0 ,2 )的直线ｌ与圆(ｘ-1 ) 2 +( ｙ-ａ) …     

高等数学练习题1

1　函数1 1　填空题(1 )函数ｙ=ｘ2 - 4 +1｜ｘ- 1｜ 的定义域是。(2 )函数 ｆ(ｘ)的定义域为 (0 ,1 ] ,则ｆ(ｅｘ)的定义域是。(3)设 ｆ(1ｘ) =ｘ +1 +ｘ2 (ｘ >0 ) ,则 ｆ(ｘ) =。(4)若 ｙ =ｓｉｎｘ　 - 2 <ｘ <0ｘ2 +1　 0 ≤ｘ <2,则 ｙ(π2 ) =。(5)设 ｆ(ｘ) =ａｘ-ａ-ｘ2 ,则函数的图形关于对称。答案(1 ) (-∞ ,- 2 ] ∪ [2 ,+∞ )(2 ) (-∞ ,0 ](3) 1 +1 +ｘ2ｘ(4) 1 +π42(5)原点1 2　单选题(1 )函数 ｙ =ｌｎ｜ｓｉｎπｘ｜的值域是 (　　 )。　Ａ .[- 1 ,1 ]　Ｂ .[0 ,1 ]　Ｃ .(-∞ ,0 )　Ｄ .(-∞ ,0 ](2 )下列各对函数中 …     

高二数学期末测试题

一、选择题1 θ∈ ( 0 ,π2 ) ,直线ｘ +ｙｔａｎθ +1=0的倾斜角是 (　　 )(Ａ)θ　　 (Ｂ) π2 -θ(Ｃ) π2 +θ　　 (Ｄ)π -θ2 设点Ｐ(ａ ,3)在直线ｆ(ｘ ,ｙ) =0上的射影是θ( 1,ａ) ,则ｆ(ｘ ,ｙ)可以是 (　　 )(Ａ) 2ｘ - ｙ +3　　 (Ｂ)ｘ +2 ｙ - 3(Ｃ) 2ｘ - ｙ +7　　 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 73 直线ｌ:ａｘ +ｙ +2 =0与线段Ｐ1Ｐ2 总有交点 ,若Ｐ1( - 2 ,1) ,Ｐ2 ( 3,2 )则实数ａ的取值范围是 (　　 )(Ａ)ａ≥ 32 　　 (Ｂ)ａ≤ - 43(Ｃ)ａ≤ - 43或ａ≥ 32(Ｄ) - 32 ≤ａ≤ 434 两条直线Ａ1ｘ +Ｂ1ｙ +Ｃ1=0 ,Ａ2 ｘ +Ｂ2 ｙ+Ｃ2 =0…