11能否被整除的规律

从紧张繁乱中小憩思绪的方法之一是深思某个不着边际的问题，有时你能想清一些很平常又很有意思的问题。这几年在思绪之海中捡到了几个小贝壳，今先拿出一个大家同赏玩。数字整除问题很有意思，自然数能被2、3、5整除的规律小时候已学过。但11，站在那里均衡又匀称的11能否被整除有无规律呢？     

“0”作为自然数的两个基本问题

目前，我国所有数学出版物，包括各类数学新教材，都把自然数集记为N={0，1，2，3，…}非零自然数集记为N (或N。)={1，2，3，…}。这就是说，今后要把数…0’作为自然数，第一个自然数是0而不是1。由此看来，这就不仅仅是一个数学符号的改变，而是对自然数及其相关理论要进行一次重新认识。故此有两个基本问题需要澄清：     

纸片剪拼问题的任意性

2002年全国高考试题文科卷第21题,是一道“纸片剪拼问题”,此题由于新颖、别致,能考察学生数学能力,具有开放性,引起了中学数学教师的极大兴趣,进行了深入、广泛的研究。具体可参看文[1]～[13]。本文有别于上述文献。提出如下结论。     

“0是自然数”引发的教学问题

我们知道，老教材对“0”的定义是把它划归整数，而不是自然数，自然数的概念是这样的：“像1，2，3，4，5…这样表示物体个数的数叫自然数。”整数的概念是“0和自然数统称整数”。可见，0和自然数的界线非常分明。新课改实施后，“0”划归到自然数的范畴，但接踵而至的问题也逐渐显露出来，首先是教材中一些数的概念受到冲击。教师间有过这样的争论：     

一个整除问题的证明

《趣味数学集锦》一书中,有这样一个整除性问题:任取一个n位整数,以你喜欢的方式,将这n个数字任意重新排列,则开头的数与新数之间的差,总能被9整除.     

数学竞赛与等幂和的整除性

等幂和最Sm(n)=1^m 2^m … n^m及Fm(n）=1^m-2^m… (-1)^m-1n^m是一个古老而有趣的难题，曾有许多人进行了研究，它们在数论中有着重要的作用本文运用配时原理和数论的方法来研究等幂和的整除性问题，证明了当n为自然数m为奇数时必有n(n 1)|2Sm(n),n 2xSm(n)；当m与n奇偶相异时．必有n 2xfm(n),n|2fm(n)；当m与n奇偶相同时，必有n 1|2fm(n)。     

函数任意性与存在性问题探析

函数中的任意性与存在性问题,也即函数中的恒成立与能成立问题,一直是高中数学考试的重点和难点,也是高考的热点题型.这一类问题主要涉及到函数的最值和值域,常与导数工具相结合,并且与数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想紧密联系.     

浅谈语言符号的任意性与非任意性

本文简要分析了语言符号的任意性与非任意性,结论是语言符号既有任意性又有非任意性,二者并不矛盾,分属两个层级。任意性反映了基本语汇符号内部能指和所指之间的关系（拟声词和感叹词除外）,而非任意性则体现了不同层级语言符号之间的关系。     

1995圣彼得堡数学奥林匹克(初中)

第一轮6.1.试在4×4方格表的每一个方格中填入一个正整数,使得各行数的乘积的和能被5整除,而各列数的乘积的和不能被5整除.(先将每一行中的4个数相乘,再把4个乘积相加;对列作同样处理.)6.2.在树林里生长着橡树和枞树.主人砍去了橡树的三分之一和枞树的六分之一.生态组织“绿色复仇者”断言,树林中有一半树被砍去.证明:在该断言中,包含有不正确的成分.6.3.十进制五位数A的各位数字都是2或3,而十进制五位数B的各位数字都是3或4.试问:乘积AB的各位数字能否全都是2?说明理由.6.4.将正整数乘以2后,按任意顺序重新排列它的各位数字(但是0不能排…     

高考中函数“任意性与存在性”问题透析

1相关的4个基本题目 问题1已知函数f（x）：2k^2x＋k,x∈[0,1],函数g（x）=3x^2-2（k^2＋k＋1）x＋5,x∈[-1,0]．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初267 四位数w1与它的四个数字之和为四位数w2,w2与它的四个数字之和为四位数w3,w3与它的四个数字之和为四位数w4,w4与它的四个数字之和为四位数w5,w5与它的四个数字之和为2009．求w1．     

有趣的“两头蛇数”

把1添加在任意一个自然数的首尾两端,使原自然数成为两端的数字都是1的自然数。这个数叫做原先那个自然数的“两头蛇数”,     

阿超猜想——被11整除的规律

在紧张繁乱中小憩．深思某个不着边际的问题．有时你能想清楚一些很平常又很有意思的问题．这几年在思绪之海中捡到了几个小贝壳，今拿出一个大家同赏玩． 数的整除问题很有意思．自然数能被2、13、5整除的规律小时候已学过．但11．站在那里均衡又匀称的11．自然数能否被11整除有无规律呢？看下面几组数．     

数学“麻辣烫”

（三）有趣的“3x＋1”问题 从任意一个自然数出发，按照确定的规则得到另一个自然数（它与原先的自然数可以相同，也可以不同），我们称此为对自然数施行了一个变换．例如，只要你随意说出一个自然数x，利用这个自然数，我们可以构造一个新的自然数y，方法如下：     

有趣的不等式问题

石老师上完“不等式的应用”这节课后，在黑板上留了一组练习题，其中一道习题中有一列自然数1，2，3，…．下课了，没等同学们抄完，调皮的汤姆跑上去．伸手就擦掉了这列自然数中的一个数，这下可急坏了全班学生．就在这时，好学的加美想了想，算了算，发现剩下的其余数的平均数是22 10/11，于是，加美在草稿纸上又画了画，随即便添上了汤姆擦掉的这个数．聪明的读者，你知道加美是怎样知道擦掉的这个数的吗？这个数是多少？     

利用数列模型证明某些与自然数有关的数学命题

众所周知 ,数学解题的过程是一个思维不断变更的过程 ,也是一个不断化归转化的过程 .因此 ,在解题中 ,我们既要发挥思维定势的积极作用 ,善于进行习惯性思维 ,又要消除思维定势的消极影响 ,善于由此及彼进行创造性思维 .基于以上认识 ,在数学归纳法教学之后 ,我又引导学生就有关例题和习题 ,通过构造数列模型给出新的证法 .这样不但重新点燃起学生兴趣的火花 ,而且使他们尝到学会创造、追求真知的乐趣 .同时 ,对教学也产生了意想不到的效果 .证明某些与自然数有关的代数恒等式例 1　证明12 +2 2 +32 +… +ｎ2 =ｎ(ｎ+1) (2ｎ +1)6 .证明　设…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初335在黑板上从1开始写出一列连续的正整数,并从中擦去一个数后发现,余下的数的平均值为2013 4/503。问：擦去的是哪个数？     

为什么把“0”作为一个自然数

现在，在小学数学讲《数的整除》一章中，已经明确地把数“0”作为一个自然数看待，但倒底怎样解释?听了很多，大部分的解释是把这看作一个“规定”，就是说可以把“0，1，2．…n，…”作为自然数，也可以把“1，2，…n，…”作为自然数。显然，这样的“解释”是不够的。在这儿谈谈我的理解。     

珠联璧合 妙趣横生——解析两个数学问题

数学之美往往在于其内在联系之精巧，有这样两道解析几何题可尽显其美。