“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法

本文用分析法确定线段内(外)分点的位置,给出平面几何中形如“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法,此法不但思路单纯、证法简便、易于掌握,而且突破了具有普遍意义的证明这种命题需要添置怎样的辅助线的难点.事实上,欲证线段a·b=c·d±e·f,若能在线段a(或b)上,确定一内外分点x_1、x_2,设分点到线段a(或b)的两个端点的距离分别为x、y,即令a=x±y,则欲证原命题只须证(x±y)·b=c·d±e·f,须证x·b±y·b=c·d±e·f,须证     

高考对平面向量的考查要点

一、考查平面向量的基本概念和运算律例1设a、b、c是任意的非零平面向量,且互不共线,给出下列四个命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②｜a｜-｜b｜<｜a-b｜;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9｜a｜2-4｜b｜2.其中真命题有()A.①②B.②③C.③④D.②④解析①∵a、b、c互不共线,∴(a·b)c与(c·a)b分别与c、b共线,而c与b不共线,∴(a·b)c≠(c·a)b,故(a·b)c-(c·a)b=0不成立.②∵a、b、c互不共线,∴a、b、a-b可以构成三角形,∴｜a｜-｜b｜<｜a-b｜.③∵犤(b·c)a-(c·a)b犦·c=(b·c)a·c-(c·a)b·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0,…     

用正弦定理证明ab±cd=ef的关系式

用正弦定理证明形如ab+cd=ef的关系式,常改为证明ab±cd=1,再把等式左端改成a/e·b/f+c/f·d/e 这样的形式,尽量使两线段的比为同一三角形中两边之比,然后用正弦定理和其它公式进行化简,使得它的值等于1即可. 例1已知△ABC中,∠A的平分线交对边于D, 求证:AB·AC-BD·DC=AD2. 证明:如图一:     

“比例线段”的重点和难点剖析

一、重点提示与例析“比例线段”这一单元的重点是 :比例的基本性质 ;合比性质 ;等比性质 ;平行线分线段成比例定理 ;三角形一边的平行线的判定及性质。1 .比例的基本性质由 ab=cd通过等式变形可得到 bc=ad,显然 ,bc=ad也可推出 ab=cd,我们称有这种关系的两个等式 (或命题 )具有等价关系 ,记为 ab=cd bc=ad(比例基本性质 )。由 bc=ad共可得到八个等价的比例式 :ab=cd ac=bd db=ca ba=dc cd=ab bd=ac ca=db dc=ba,可以用对称的观点记忆 :对于每一个比例式 ab=cd,以“=”号为对称轴 ,左右可以整体交换 ;以“两条分数线所在直线为对称轴”,上下…     

相似形与解直角三角形知识及应用

(一)复习要点1郾比例线段(1)在两条线段的比a∶b中,a叫做比的项,b叫做比的项郾(2)在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做线段郾(3)如果a∶b=c∶d,那么, 叫做比例外项,,叫做比例内项,d叫做a,b,c的第比例项郾(4)如果a∶b=b∶c,那么线段叫做线段,的比例中项郾(5)把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点叫做线段AB的黄金分割点郾2郾比例的性质(1)基本性质郾a∶b=c∶d圳郾(2)合比性质郾ab=cd圯 郾(3)等比性质郾ab=cd=…=mn圯a+c+…+mb+d+…+n=…     

高二数学单元测试(立体几何)

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,每小题 4个选项中只有一项是正确的 )1.a=0或b =0是a·b =0的 (　　 )　　 (A)充分不必要条件　　 (B)必要不充分条件　　 (C)充要条件　　 (D)既不充分也不必要条件2 .已知a、b、c三向量满足a·b +b·c +c·a=0 ,设λ =(a+b +c) 2 ,μ=a2 +b2 +c2 ,则λ与 μ的大小关系为 (　　 )　　 (A)λ >μ　　　 (B)λ=μ　　 (C)λ <μ (D)不确定3 .已知A、B、C三点的坐标分别为A(4 ,1,3 ) ,B(2 ,-5 ,1) ,C(3 ,7,λ) ,且 AB⊥ AC ,则λ=(　　 )　　 (A) 2 8　 (B) -2 8　 (C) 14　 (D) -…     

“相似形”学习中的创新与实践

一、不要满足书中已给出的结论“相似形”第一单元给出比例性质 :基本性质、合比性质、等比性质。对初学者来说 ,通过 a∶ b=c∶ d ad=bc b∶ a=d∶ c(反比 )和 a∶ c=b∶ d(更比 ) ,这无疑是一种学习中的新发现。对合比性质 ab= cd a+ bb =c+ dd ,同样可使结论发展深化为ma± nbkb =mc± ndkd (m、n、k为正整数 )。对等比性质ab=cd=ef a+ c+ eb+ d+ f=ab(b+ d+ f≠ 0 ) ,同样可以使结论发展深化为 m1a+ m2 c+ m3 em1b+ m2 d+ m3 f=ab (其中m1b+ m2 d+ m3 f≠ 0 ,m1、m2 、m3 为正整数 )。如此灵活而全面地理解性质的结论 ,不仅使学生受到…     

形如a·b=c·d±e·f一类平几题的证明

形如a·b=c·d±e·f一类平几题的证明,学生常感到困难,无从入手。笔者在教学实践中,采取寻求有关线段的分点的办法辅导学生证此类题。从教学实践看,这种方法能为学生所接受,教学效果较好,且证题过程简明。暂称这种方法为“定分点法”。     

浅谈一类平几题的证法

本文谈谈在平几题中,结论为"a·b+c·d=e·f"型证法之寻求.下面我们从证托列迷(Ptolemg)定理的分析谈起.定理:圆内接四边形两组对边乘积的和,等于两对角线的乘积.(《几何》、二册P92、20.初中课本)     

函数f(x)=(a±bx)~(1/2)±(c±dx)~(1/2)的最值

函数f(x)=a±bx±c±dx(a,b,c,d>0,定义域非空,下同)的最值可分为以下三类.第一类型如f(x)=a-bx+c-dx,f(x)=a-bx-c+dx的函数在定义域内单调递减;型如f(x)=a+bx+c+dx,y=a+bx-c-dx的函数在定义域内单调递增.故只要求出其定义域,根据单调性就可求出这类函数的最值.(1)f(x)=a-bx+c-dx无最大值,只有最小值,最小值是f[min(ba,cd)],即[f(x)]min=f[min(ab,dc)].(2)f(x)=a-bx-c+dx既有最大值又有最小值,分别为[f(x)]max=f(-dc),[f(x)]min=f(ab).(3)f(x)=a+bx+c+dx在定义域内单调递增,只有最小值,无最大值,最小值是f[max(-ab,-dc)],即[f(x)]min=f[max(…     

一类特殊比例式的证明策略

在各地中考试卷中,常出现一类形如a·bc·d=ef的比例式的证明问题,这里谈谈证明这类比例式的策略.策略一“裂项”法.欲证a·bc·d=ef,只需证ac=ex且bd=xf.例1在直角ABC中,AD为斜边BC上的高,以AD为直径的圆交AB于E.求证:AC2AB2=AEBE.分析欲证AC2AB2=AEBE,只要找出线段x,使ACAB=AEx且ACAB=xBE.证明连结DE.∵AD是直径,∴DE⊥AB.又AB⊥AC,AD⊥BC,∴ABC∽ABD∽AED∽BDE.∴ACAB=AEED,ACAB=EDBE,∴AC2AB2=AEED·EDBE=AEBE.策略二“升幂”法.欲证a·bc·d=ef,只需证a·b=e·x,且c·d=f·x.例2设AD是RtAB…     

高三数学模拟试题(一)

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 )1 集合M ={a ,b ,c},N ={- 1,0 ,1},映射 f :M→N满足 f(a) +f(b) +f(c) =0 ,那么映射f :M →N的个数是A 4　B 5　C 6　D 72 设e1和e2 是互相垂直的单位向量 ,且a =3e1+2e2 ,b=- 3e1+4e2 ,则a·b等于A 1　B 2　C - 1　D - 23 若复数z满足｜z +1｜+｜z- 1｜=2 ,则｜z+i - 1｜的最小值是A 1　B 2　C 2　D 34 下列求导运算正确的是A (x +1x) ′ =1+1x2 　B (log2 x)′ =1xln2C ( 3x)′ =3x ·log3 e　D (x2 cosx)′ =-2xsinx5 设l1,l2 是两条直线 ,α、β是两个平面 ,A为一点 …     

2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛

一、选择题(每小题6分,共36分)1.设(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2nx2n.求a2+a4+…+a2n的值为().(A)3n(B)3n-2(C)3n2-1(D)3n2+12.若sinx+siny=1,则cosx+cosy的取值范围是().(A)[-2,2](B)[-1,1](C)[0,3](D)[-3,3]3.设f1(x)=2,f2(x)=sinx+cos2x,f3(x)=sinx2+cos2x,f4(x)=sinx2.上述函数中,周期函数的个数是().(A)1(B)2(C)3(D)44.正方体的截平面不可能是:①钝角三角形,②直角三角形,③菱形,④正五边形,⑤正六边形.下述选项正确的是().(A)①②⑤(B)①②④(C)②③④(D)③④⑤5.已知a、b是两个相互垂直的单位向量,而|c|=13,c·a=3,c·b=4.则对于任…     

一道征解题的简证与推广

文 [1 ]给出了如下一道征解题 :设 a,b,c均为正实数 ,证明 :ab(a b) bc(b c) ca(c a)≤ 32 (a b) (b c) (c a) . (1 )它的证明方法主要是借助于几何背景 ,其证明过程也不够简单 .本文给出一种代数证明 ,其过程简捷 ,并且利用这种证法可以将(1 )推广 .证　在 (1 )的不等式两端同除以(a b) (b c) (c a)便可得 :ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa b≤ 32 . (2 )因此 ,我们只需证明 (2 )成立即可 ,而对于 (2 ) ,我们又可以利用基本不等式 :算术平均≥几何平均 ,故有ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa …     

上期《“分式”测试卷》参考答案

1·B.2·D.3·D.4·B.5·B.6·A.7·C.8·B.9·1.10·52.11·3y或6x.12·bb+-aa.13·M=N.14·100,1n.15·2-1x.16·2(x+2),值为22+2.17·由1a+1b=a1+b,知(a+b)2=ab,而ab+ab=a2a+bb2=(a+b)ab2-2ab,所以原式=ab-ab2ab=-1.18·x=0.19·设去年水价为x元/m3,根据题意,得(1+3256%)x-1x8=6,解得x=1.8.20·(1)x1=c,x2=cm.(2)x1=a,x2=aa+-11.原方程可变为x+x2-1=a+a-21.故x-1=a-1,x1=a;或x-1=a-a1,所以x2=aa+-11上期《“分式”测试卷》参考答案…     

平面向量测试题

一、选择题:口 1.以下四个命题:①若a//b,则存在惟一实数人使得b一沁;②若{al>}bl,且a与b方向相同,则a>b;③若a一b,b一。;则a一c;①a//b,b// c.则a//。,其中正确命题的个数为(). A.1 B.2(、.3 D.4 2.已知A(3,7).1,(5,2),将庙按。一(1,2)平移后所得l台J量是(). A.(1,一7)B.(2,一5)〔、.(10,4)I王(3,一:弓) 3.设a、b、c是任意的非零平面向量,且互不共线,则在①(a·b)·。一(c·a)·b一。;②}aI一」b!<}a一b};③(b·e)a一(e·a)b不与e垂直;①(3a」Zb)·(3a一Zb)一:)lalZ一llblZ中是真命题的有(). A.①④B.③④C.①②①I).①②③④ 4.若…     

高一数学第二学期期末测试题

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若角α和角β的终边关于x轴对称,则α和β的关系是()(A)α+β=2kπ(k∈Z)(B)α-β=2kπ(k∈Z)(C)α+β=kπ(k∈Z)(D)α-β=kπ(k∈Z)2.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c=()(A)-12a+23b(B)12a-23b(C)32a-21b(D)-32a+21b3.在&ABC中,若∠A=60°,边AB的长为2,&ABC的面积为23,则BC边的长为()(A)7(B)7(C)3(D)34.已知边长为1的正三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,则a·b+b·c+c·a的值为()(A)-32(B)0(C)32(D)35.化简sin(s2inαα+β)-…     

相似形

基础篇课时一比例线段诊断练习一、填空题1.已知:x2=y3=m5=n7,则y∶(x+m+n)=.2.已知:x∶y∶z=2∶3∶5,则3x+4y-2zx-y+3z=.3.若x+y2x=45,则xy=.4.若ab=cd,且a、d的比例中项为10cm,则b、c的比例中项是.二、选择题1.若2x-y=0,则x-yx的值为()(A)22.(B)2.(C)2-1.(D)1-2.2.如果a∶b=3∶2,且b是a和c的比例中项,那么b∶c等于()(A)4∶3.(B)3∶2.(C)2∶3.(D)3∶4.3.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的关系是()(A)AM∶BM=AB∶AM.(B)AM=5-12AB.(C)AM≈0.618AB.(D)BM=5-12AB.三、解答题1.已知:a-bb-c=ac,求证:ba+bc=2.…     

构造一元二次方程解题

一元二次方程是初中数学的重要内容.巧妙地构造一元二次方程,可以解决许多难度较大的问题.现以几道典型的竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的常用方法.一、应用方程根的定义例1若ab≠1,且有5a2+2001a+9=0,9b2+2001b+5=0,则ba的值是().(A)95(B)59(C)-20501(D)-20901(2001年全国初中数学联赛试题)解:显然b≠0,由9b2+2001b+5=0,得5b1#$2+2001·1b+9=0.又5a2+2001·a+9=0,由ab≠1知a≠b1,所以a、1b是方程5x2+2001x+9=0的两个根.由根与系数的关系知a·b1=95,即ba=59,选(B).二、应用根的判别式例2已知41(b-c)2=(a-b)(c-a),且a≠0,则b+a c=.(1999…     

向量单元测试

选择题: l设a,b,c是任意非零平面向量,且两两不共线,则 (1)(a·b)e一(e·a)b二0 (2)Jaj一JbJ相似文献