用代换法证明共线的线段成比例

同学们证明不共线的线段成比例较熟悉，但证明共线(几条线段在同一条直线上)的线段成比例时，常无从下手．究其原因，是不知如何将其转化为不共线的线段成比例来处理．本举例说明利用代换将共线线段成比例问题转化为不共线线段成比例问题的策略，供同学们参考．     

“灵活代换”巧证共线线段成比例

在证线段成比例的几何题中，有些题目待证的成比例的四条线段在同一条直线上，直接证明这种共线线段成比例，往往很困难，这就需要我们寻找一些等量进行灵活代换，巧妙转化，最终要把四条线段转化成两个三角形的对应边，进而通过证明两个三角形相似使问题得到解决．下面介绍其中几种常见的代换方法．     

证比例线段常见的三种代换

在证线段成比例时，我们通常会通过分析，由比例式去找相应的相似三角形，但若不能直接找到合适的相似三角形时，我们可尝试利用下列方法进行处理．     

共线比例式的证法试析

给出了共线比例式的一般证法，论述了证法的理论依据和原则。     

用面积法证线段问题

三角形中的线段关系问题,是初中几何中最常见的问题,这类问题往往可以用面积法解决,因为三角形的面积总是与其中的线段直接相关的.例1如图1,已知等腰ABC中,BD、CE为两腰上的高,求证:BD=CE.分析等腰三角形的两腰相等,而同一个三角形的面积可以通过两腰上不同的高来分别表示,于是     

同一直线上四条线段成比例的证法

在证明四条线段成比例时，经常会碰到要证的四条线段在同一直线上的情形，此时，不能直接应用平行线分线段成比例定理或相似三角形对应边成比例的性质去解决，而应采取代换方法，将共直线的线段成比例转化为不共直线的线段成比例，常见的代换方法有以下几种。     

平行线与比例线段的综合应用

在初中几何第二册的“相似三角形”一章中,要学习平行线分线段成比例定理,定理内容、推论、以及它的逆定理具体如下：     

应用代换法证明等积式b^2=ac

对于三条线段a、b、c在同一条直线上的等积式b^2=ac的证明．常常因为找不到平行线或相似三角形而使思路中断，这时候若能适当运用代换法，可使愚路延续，问题迎刃而解．     

共线线段关系式的常用证法

在初中几何中，有时需要证明同一直线上的几条线段满足某关系式。由于这些线段在一条直线上，所以很难一下子找到相应的相似三角形或平行线，故证明此类问题难度较大，这里介绍几种常用的证题方法．     

构造“A”“X”模型解证比例线段

解证线段成比例问题，当图形中没有相似三角形可用时，可考虑引平行线，构成两种基本图形：“A”型、“X”型，如图1，来寻找成比例线段．在引平行线时，应注意两点：     

共线的三条线段的比例中项问题

当要证明的比例中项式的三条线段在同一条直线上时，可设想比例中项是两个相似三角形的公共边，这样去找相似条件比较容易．     

用面积证对应线段成比例问题

一个平面几何图形如果确定了，那么这个图形的面积是唯一的．根据这一特性，恰当应用有关面积证对应线段成比例问题，现举例如下．     

证线段成比例的技巧

相似形的主要考点是比例的基本性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的判定和性质的应用．在解决相似三角形问题时,适时利用一些小技巧可以收到事半功倍的效果．     

怎样证明同一直线上的四条线段成比例

在证明四条线段成比例时，我们常常会遇到要证明的四条线段在同一直线上的特殊情形。此时，由于在同一直线上找不到平行或相似三角形，这给证题带来一定的困难．代换法是解决这类问题的行之有效的方法．下面举例说明：     

用比例线段解题

平行于三角形一边的直线截三角形的两边（或两边的延长线）,所截得的对应线段成比例．灵活运用这一性质,可起到化繁为简,快捷求解的目的．