对三道平面几何赛题的探讨

题1 锐角△ABC中，∠A的平分线交BC于点L，交△ABC的外接圆于点N。LK⊥他于点K，LM⊥AC于点M．则     

2005年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 如图1，在△ABC中，设AB〉AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心、AC为半径作圆分别交线段AB于点D，交直线l于点E、F．证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．     

三角形典型例题剖析

例1 已知△ABC的高AD交直线BC于点D。且AD=12．CD=5．BD=9,求△ABC的面积．     

2009年全国高中数学联赛加试题（B卷）

一、（本题50分）如图1,M、N分别为锐角△ABC（∠A〈∠B）的外接圆Г上BC、AC的中点．过点C作PC//MN交圆Г于P点,I为△ABC的内心,连结PI并延长交圆Г于T点．     

一道2005年济南市中考题的巧思妙解

题 (2005年济南市压轴题)如图1,已知⊙O是等边△ABC的外接圆,过点O作 MN∥BC分别交AB、AC于 M、N,且 MN=a,另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动(不与点 M、N重合),并始终保持EF ∥BC,DF交AB于点P,DE交AC于点Q． (1)试判断四边形APDQ的形状,并进行     

从课本到中考到竞赛

1．课本题 如图1,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过O作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD＋CE．     

2009年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,M、N分别为锐角△ABC（∠A〈∠B）的外接圆网Г上弧BC、AC的中点．过点C作PC／／MN交圆Г于点P,I为△ABC的内心,联结P,并延长交圆Г于点T.求证：     

一道集训队测试题的思考

问题 求实数λ的最大值,使得只要点P在锐角△ABC内部,∠PAB=∠PBC=∠PCA,射线AP、BP、CP分别交△PBC、△PCA、△PAB的外接圆于点A1、B1、C1,就有S△A1BC＋S△B1CA＋S△C1AB≥λS△ABC．     

巧用“三点定形法”,寻找乘积式的证题思路

本文在论述了什么是"三点定形法"的基础上,又进一步论述了相等线段代换、相等比例代换、相等乘积代换的三种形式的代换,从而寻找"三点定形法".1什么是"三点定形法"例1(2010年黄冈)如图1,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E     

一道联赛题的结论及应用

题目如图1,设D是△ABC的边AB上的一点,作DE／／BC交AC于点E,作DF∥AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n,求四边形DECF的面积．     

数学问题与解答2008年第8期问题解答

741．如图1，在锐角△ABC中，以AB为直径的圆交AC于点D、交AB边上高线CH于点E、F．以AC为直径的半圆交BD的延长线于点G．FG交圆于点P，求证：PE=PG．     

解题小品——与角平分线有关的性质及其应用

我们将有关角平分线的如下一个性质称为“对称比定理”： 若I、1分别为△ABC的内心、∠A内的旁心,角平分线AI交BC于点D、交△ABC的外接圆于点A1,则     

一道IMO选拔赛题的推广与应用

命题设锐角△ABC的外心是M，过A，B，M的圆交直线BC于P，交直线AC于Q，证明直线CM垂直于直线PQ（图1）．这是第34届IMO土耳其国家最后选拔赛试题的第二题[1]．事实上，该命题条件过强，若将题设中的“锐角△ABC”改为“任意凸ABC”；“过点A，B，M的圆”改为“过A，B任作一圆”．命题的结论仍然成立．推广设任意凸ABC的外心为M，过点A，B作任一圆交直线BC于点P，交直线AC于点Q，则CM上PQ（图2）．证过C作QM的切线CT．．”．ZAer2上ABC．”．’／ABC一ZCQP，．”．ZACT一LCQP，．“．Po／／er，又”．“CM上C…     

简证一道联赛题

题如图1,已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I工与BC边的切点,作MD／／AC,交⊙I于点D．证明：PD是⊙I的切线．     

擂台题(9)的评注

擂台题(9)设l是经过点A且平行于△ABC的边BC的直线,D、E分别是AC、AB上的点,连BD并延长交l于B_1,连CE并延长交l于C_1,BD、CE交于P.若B_1D=C_1E,那么(1)当点P在△ABC的边BC的高上时,△ABC为等腰三角形;     

一道考题的解法研究

题目 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边于点E．     

数学问题与解答 2010年第2期问题解答

786．如图1，在△ABC中，已知∠A=60°，I为△ABC的内心，IF／／AC，交AB于F，∠BFP=1/2∠B,点P在BC上，求证：PC=2BP．     

一道平面几何题的推广

《数学通报》2003(4)数学问题1426题目为:AN为△ABC的角平分线,AN延长线交△ABC的外接圆于,DM是AN上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,DF交AB于P,DE交AC于Q,求证:P、Q、M三点共线. 笔者在用几何画板作图时,发现当N点在线段BC上运动时,P、Q、M三点均共线,当M在线段AD上运动时,结论依然成立,因此笔者对该问题作如下推广: 定理 △ABC中,点N是BC边上一点(除端点B、C外),AN的延长线交△ABC的外接圆于D,M是线段AD上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,直线DF交直线AB于P,直线DE交直线AC于Q,则P…     

几道平面几何赛题的关联

题1如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的平分线，①点E在△ABC内部，且EC⊥AD交AB于F，②ED∥AC．③求证：射线AE平分边BC．④     

有奖解题擂台(9)

设l是经过点A且平行于△ABC的边 BC的直线,D、E分别是 AC、AB上的点,连BD并延长交l于B_1,连CE并延长交 l于 C_l,BD、CE交于点 P.若 B_1D=C_lE,那么(1)当点P在△ABC的边BC的高上时,△ABC为等腰三角形;(2)当点P在∠BAC平分线上时,△ABC为等腰三角形.(注 第一位给出该命项直接证法者得奖全50元.奖由供题人设立)