妙用方差解题

方差是一个刻划数组x1,x2,…,xn。波动大小的概念,若数组x1,x2,…,xn的平均数为x,则其方差为s^2=[（x1-x^-）^2＋（x^2-x^-）^2＋…（xn-x^-）^2]=1/n[（x1^2＋x2^2＋…xn^2）-nx^-2]     

帮你巧算方差

我们已经知道,方差是反映一组数据波动大小的基本量．其计算公式是s^2=1/n[（x1-x）^2＋（x2-x）^2＋…＋（xn-x）^2]。方差越大,数据的波动越大;     

用不定方程解的个数解一类计数问题

定理 方程x1＋x2＋…＋xn=k（k∈N＋）． （1）非负整数解有C（n＋k-1）^（n-1）组； （2）当k≥n时，正整数解有C（k-1）^（n-1）组．     

例析善用方法巧解数学题提高思维能力

一、巧用方差解方程组 设n个数据x1,x2,…,xn的平均数为^-x,则其方差为s^2=1/n[（x1-^-x）^2＋（x2-^-x）^2＋…＋（xn-^-x）^2]=1/n[（x^21＋x^22＋…＋x^2n）-1/n（x1＋x2＋…＋xn）^2].     

从一道保送生入学试题谈圆锥曲线的几个结论

2011年北京大学保送生数学考试共有5道试题,最后一题为： 设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）是圆x^2＋y^2=1上不同的三点,且满足 x1＋x2＋x3=y1＋y2＋y3=0．① 证明：x1^2＋x2^2＋x3^2=y1^2＋y2^2＋y3^2=3/2.     

用光学原理求两类无理函数的最小值

1．用光的反射原理 求形如 y=√（x-a）^2＋（f（x）-b）^2＋√（x-c）^2＋（f（x）-d）^2 函数的最小值,其中f（x）为一次函数,且 （f（a）-b）（f（c）-d）〉0．     

一个含双参不等式及其对一类分式不等式的证明

定理设实数x,y,z满足xy＋yz＋zx=λ（x＋y＋z）＋μ,则有（x—k）^2＋（Y—k）^2＋（z—k）^2≥2k^2-2μ-2λk—λ^2．（1）     

二次分式函数最值的求法

本文介绍定义域受限时f（x）=（a1x2＋b1x＋c1）/a2x2＋b2x＋c2））a1^2＋a2^2≠0）的二次分式函数最值求法．     

数学问答

已知x1、x2是方程x^2-（k-2）x＋（k^2＋3k＋5）=0（k为实数）的两个实根，试求x1^2＋x2^2的最大值及最小值．     

一道数学竞赛题推广定理的另证

1986年的全国高中数学联赛二试题1的一个推广,得到如下定理：已知实数列a0,a1,a2,…满足ai－1＋ai＋1=2ai（i=1,2,3,…）．求证：对于任何自然数n,P（x）=a0^2Cn^0·（1-x）^n＋a1^2Cn^1x（1-x）^n-1＋a2^2C^2nX^2（1－x）^n-2＋…＋an^2-1Cn^n^-1x^n-1（1-x）＋an^2Cn^x^n是x的次数不超过2的多项式．     

一类高次Diophantine方程的求解

目的研究Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解问题.方法初等方法.结果设n是正整数,m=2^n,证明了当n〉1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）没有非零整数解（x,y）.指出当n=1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）是关于x,y的恒等式.结论彻底解决了Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解的问题.     

活用乘法公式

1．正用 例1计算： （x-y）^2（x＋y）^2（x^2＋y^2）^2.     

一个猜想的否定

文[1]提出了一个猜想： （1）设x1,x2,x2是非负实数,且满足x1＋x2＋x3=1,k≥2,k∈Z．则x1^kx2＋x2^kx3＋x3^kx1＋x1x2x3（x1＋x2＋x3）^（k-2）≤k^k/（k＋1）^k＋1;     

关于不定方程y（y＋1）（y＋2）（y＋3）=19^2k x（x＋1）（x＋2）（x＋3）

运用不定方程组的特征以及整除的性质等初等方法,证明了不定方程y（y＋1）（y＋2）（y＋3）=19^2k x（x＋1）（x＋2）（x＋3）无正整数解．     

解含有二次方程根非对称式问题的方法

对于一元二次方程ax^2＋bc＋c=0（a≠0）的两根x1、x2,可以求出以x1,x2对称的代数式值．如x1^2＋x2^2＋、1/x^1＋1/x^3、x1^3＋x2^3、｜x1-x2｜等,但对于非对称式问题怎样解呢？举例介绍其解法如下：     

由检测第九题引发的思考

上完人教版初三代数《一元二次方程》进行章节检测时,检测第九题是这样的：已知x1,x2是方程x2-（k-2）x＋k^2＋3k＋5=0的两个实数根,求x1^2＋x2^2的最大值．     

求函数解析式的十二种方法

一、定义法 例1 已知f（1＋1/x）=1/x^2-2,求函数f（x）的解析式． 解 f（1＋1/x）=1/x^2-2=（1＋1/x）^2-2（1＋1/x）-1,     

利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。     

三角换元六例

例1已知x,y满足方程（x＋2）^2＋y^2/4=1,求x＋y的最大值．     

一道周期函数例题的一般情形

例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数,f（x）满足,f（x＋a）=1/2＋√f（x）-（f（x））^2,求证：f（x）是周期函数．