立足圆 面向高考——例析圆的相关定理在解题中的应用

一、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等．这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．     

圆锥曲线的一个性质

平面几何里有一条切线长定理,它告诉我们,从圆外一点引圆的两条切线的长相等。我们还知道:任一点与圆心的连线是圆的一条对称轴,所以又可以说:如果从圆外一点所引圆的两条切线的长相等,那么这点在圆的对称轴上。对于圆锥曲线来说,是否也具有这个性质呢?答案是肯定的。下面我     

切线长定理的顺延

初中《几何》第二册P.103给出了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。     

切线长定理的潜能开发

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．即如图1,PA、PB为⊙O的两条切线,A、B为切点．由定理可知PA=PB,∠1=∠2．而对此图稍加变化,又会出现很多的结论,这也是近几年的中考热点问题。     

巧用切线长定理解题

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.本就切线长定理在计算和证明中的应用,举几种常见的类型,以供参考.     

圆的切线长相等的逆命题——严格闭凸曲线是圆的一个充要条件及其初等证明

在同一平面上,过圆外任一点引已知圆的切线,共有两条,且切线长相等．这个命题的逆命题该怎样表述？是否成立呢？显然我们应该从平面上一个闭曲线出发,而且要求过曲线外任意一点都可以引曲线的两条切线,我们将这样的曲线称为严格闭凸曲线．这样,“圆的切线长相等”的逆命题就变成“对于平面上的给定一严格闭凸曲线,若过曲线外任一点作曲线的两条切线,有切线长相等,那么该严格闭凸曲线是圆”．这是一个看似无从下手的问题,但这个问题完全可以用初等方法加以证明．本文就研究这个命题的初等证法．     

如何判定一条直线是圆的切线

我们知道，若一条直线与圆有唯一公共点，则这条直线叫做圆的切线，课本给出切线的两个判定定理：定理1若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线．定理2经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．定理2与定理1的明显区别是定理2明确指出直线过圆上一点，而定理1却没有明确指出这一点，这给我们选用定理提供了方便：若已知直线过圆上一点，选用定理2；若直线与圆的公共点末明确，则用定理1．下面举例说明．例1已知。如图1，A是co的半径OC延长线上一点，且CA—OC，弦BC—OC求证：AB是①0的切线．分析由题意…     

圆的切线的一个奇妙性质

（数学问题339）文[1]得到结果：两圆内切,从大圆内接正三角形的各顶点作小圆的切线,则其中一条切线长等于另外两条切线长之和．证明略．我们尝试把这个结果作下面推广．     

一个基本几何图形的性质及其应用

从圆外一点向该圆引两条切线和一条割钱,这是一个基本的几何图形,它有许多有趣的性质,并且在几何证明题中有着广泛的应用．     

圆切线一个性质的类比研究

问题引出： 从平面上一点P作圆C的切线，可能的切线条数为：点P在圆C内部时0条；点P在圆C上时1条；点P在圆C外时2条．     

对一道课本例题的再思考

<正>苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第113页有这样一道例题:自点A作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线的方程.课本通过分析,运用分类讨论的方法,详细给出了两种解法,其具体的解题过程见教材.这道例题说明圆外一点引圆的切线要讨论这条直线斜率是否存在,侧面告诉我们求切线的方法.如:过圆x2+y2=4外一点p(2,1)引圆的切线,求圆的切线方     

《圆的性质及应用》《图形与变换》知识训练

基础练习1.理解圆及其有关的概念,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画切线.2.能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;探索简单图     

谈谈圆的切线的证明

关于圆的切线的证明,新教材中专设一节作了论述,这是教学中的一个难点。 证明一条直线是圆的切线的题目,有以下两种类型,下面通过典型例题分别说明之。1 证明经过圆上一点的直线是圆的切线 这类题的证明方法可概括为:连结半径,证明垂直。     

圆锥曲线两类轨迹问题的探究

正我们知道,过圆锥曲线Γ(椭圆、圆、双曲线、抛物线)外一点P(对于椭圆、圆,即非中心所在的区域;对于抛物线,即非焦点所在的区域;对于双曲线,即中心所在区域,且点P不在两条渐近线及中心上)可以引Γ的两条切线,本文探究的第一类轨迹问题是:如果两条切线的斜率之积为非零常数,那么这两     

纠正新教材教案中的一个错误

(人教版)数学第二册(上)教案第171页[四、圆锥曲线的切线方程]中间一段:[若经过圆或椭圆外部一点,双曲线内部(不包含双曲线两焦点的平面区域,如满足x2/a2-y2/b2＜1的点集)一点,抛物线外部(不包含抛物线焦点的平面区域,如满足y2＞2px的点集)一点,都可以分别作圆、椭圆、双曲线、抛物线的两条切线].这段话中,对双曲线内部一点,都可以作双曲线的两条切线是不妥的,如:设双曲线x2/a2-y2/b2=1,根据渐近线的性质,我们知道过原点(0,0)作不出双曲线的切线.     

一道数学竞赛题的简证及加强

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D两点,C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使∠DAQ=∠PBC.求证:∠DBQ=∠PAC.(此题为2003年全国高中数学联赛加试试题)     

一道高中联赛平面几何题的新证法

题目 如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B．所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC，求证：∠DBQ=∠PAC．     

巧用切线长定理解题

切线长定理告诉我们 ,从圆外一点引圆的两条切线 ,它们的切线长相等 .对于题设中已知或隐含着圆的两条相交切线的求值或证明问题 ,巧用切线长相等这一性质 ,可使解题简捷 .例 1　如图 1 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,直角边ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,⊙Ｏ内切于Ｒｔ△ＡＢＣ ,则⊙Ｏ的半径ｒ=.( 2 0 0 0年广东省广州市中考题 )解　设⊙Ｏ与Ｒｔ△ＡＢＣ的三边分别切于Ｄ、Ｅ、Ｆ ,连结ＯＤ、ＯＥ、ＯＦ ,则四边形ＯＥＣＦ是正方形 .∴　ＣＥ =ＣＦ =ｒ.∴　ＡＥ =ＡＣ -ｒ,ＢＦ =ＢＣ -ｒ.∵　ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,∴　ＡＢ =ＡＣ2 +ＢＣ2 =5 .∵　ＡＤ与ＡＥ、…     

一道中考几何题的多种解法

题目 :如图 1 ,ＡＢ是⊙Ｏ的直径 ,Ｃ是ＡＢ延长线上一点 ,ＣＤ是⊙Ｏ的切线 ,Ｄ为切点 ,过点Ｂ作⊙Ｏ的切线交ＣＤ于点Ｅ .若ＡＢ =ＣＤ =2 ,求ＣＥ的长 .( 2 0 0 2 ,天津市中考题 )本题旨在考查学生对圆幂定理、切线性质、切线长定理、直角三角形的相关知识的运用能力 .题目解法较多 .现介绍几种方法 ,以剖析“圆”中计算题的解题意识、突破点 ,以及“圆”中有关线段的数量关系的确立方法 .分析一 :题中给出了⊙Ｏ的两条切线 ,必用到切线性质及与切线有关的定理 .于是 ,连结ＯＤ ,易得与Ｒｔ△ＣＢＥ有公共角的Ｒｔ△ＣＯＤ ,线段间的数量…     

如何作有关圆的切线问题的再探

笔者经过仔细研究。发现由圆半径一定,圆外一点到圆心的距离一定,切线长也一定,所组成的直角三角形的锐角也随之确定以及作出这个锐角．有关作圆切线的问题就迎刃而解．