2013年高考导数综合应用中的“隐零点”

导数解决函数综合性问题最终都回归于函数单调性的判断,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计成为导数综合应用中最为核心的问题.导函数的零点,根据其数值计算上的差异,我们可以分为两类:一类是数值上能精确求解的,我们不妨称为"显零点";另一类是能判断其存在但数值上无法精确求解的,我们不妨称为"隐零点".在教学实践中,我们发现对于处理"隐零点"问题,由于涉及到灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用,对学生综合能力要求比较高,往往成为我们教学的难点.为此笔者以2013年高考涉及函数"隐零点"的试题为例,系统阐述"隐零点"的处理策略和技巧,供读者参考.     

寻根溯源 拾级而上 提升素养——以一轮复习“导函数的隐零点”为例

<正>一 引言《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《标准》)把函数作为贯穿高中数学课程的四大主线之一,凸显了函数在高中数学体系中的重要地位.导数作为研究函数问题的基础性工具,在解决函数单调性问题中发挥着重要作用.基于函数单调性与导函数零点的密切关系,在函数综合题的求解中对于导函数零点的处理是关键步骤.导函数的零点根据其能否精确求出分为两类,一类是能精确求出的“显零点”;一类是可以判断其存在,     

例析隐零点问题的解决策略

利用导数解决函数综合问题已经成为高考压轴题的命题趋势.这类问题最终都会转化为对函数单调性的判断,而函数单调性又与导函数的零点有密切的联系.但是在求解导函数零点时往往会遇到超越方程,无法直接求出,我们称之为导函数的隐零点.本文将介绍几种有效的处理策略.     

利用导数研究含参数函数的单调性

函数的单调性是函数的重要性质之一,对深入研究函数的 图像,比较函数值大小、解不等式、求极值、最值(取值范围)、判 断函数零点个数、证明不等式起着至关重要的作用,因此,函数 单调性的考察是高考的重点和热点,而导数是求解函数单调性 的的一把利器,利用它可以将确定原函数单调性的问题转化为 判断导函数的符号问题。     

如何应对导函数的“隐零点”

函数的“隐零点”是指客观存在,但无法直接求出的零点.导数法是求解或证明不等式恒成立问题的常用工具,即通过构造函数,将所求问题转化为求目标函数的最值问题.求最值的关键是判断函数的单调区间,而导函数的零点往往是函数单调区间的分界点,因此,导函数零点的求解就显得至关重要.     

求导函数零点受阻怎么办

<正>导数作为衔接初等数学和高等数学的纽带,是研究函数性质、培养学生探究能力的重要工具,同时也是历年高考的热点内容.我们经常用导函数的正负性来研究函数的单调性,这势必会触及导数的零点,当导数的零点求解遇阻,我们     

详谈导数处理函数性质难点问题

利用导数研究函数单调性是高考数学的重点、热点和难点.因为导数涉及的知识能力和思维层次要求较高,学生运用好导数这个"工具",对提升学生的分析问题、解决问题、逻辑思维等综合能力都有很大的帮助.其中,利用导数讨论函数单调性的核心是在定义域内判断导函数的正负.而判断导函数的正负,综合考查学生观察分析和综合运用函数、不等式、零点...     

借助“导数”工具,有效解决函数问题

导数是研究兩数性质强有力的工具,借助“导数”工具可以求解丽数的单调性、极值和最值等,运用导数处理数学问题不需要很强的思维性,更多的是突出其“工具”性。同学们解决由一些基本丽数组成的复杂函数的单调性.极值、最值、零点等问题时均能自觉地拿起“导数”这个工具进行求解。     

导数问题中虚设零点的三大策略

<正>导数在高中数学中可谓"神通广大",是解决函数单调性、极值、最值、不等式证明等问题的"利器".因而近几年来与导数有关的数学问题往往成为高考函数压轴题.在面对这些压轴题时,我们经常会碰到导函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的问题.此时,我们不必正面强求,可以采用将这个零点只设出来而不必求出来,然后谋求一种整体的转换和过渡,再结合其他条件,从而最终获得问题的解决.我们称这种解     

导数应用中“隐点”的定量估计策略

笔者曾在文[1]中系统探讨过导数应用中函数零点的一种特殊的处理方式——虚设代换,来回避对函数零点的精确求解.但是教学实践中,我们为了求解相关的数学问题又不得不对无法精确求解的函数零点(类比显函数和隐函数,我们不妨称此类函数零点为"隐点")进行数值上或代数上的定量估计.由于此类问题的求解对学生分析问题、推理论证和形式化运算能力要求较高,往往成为学生学习中     

函数单调性的另类思考

通过学习函数单调性的判定定理可以提出:由一点处的导数符号能不能判断函数在该点附近的单调性?这个问题利用反证法进行分析可以得出结论:由一点处的导数符号不能判断函数在该点附近的单调性,但如果导函数在该点连续,则可由这一点处的导数符号判别函数在此点附近的单调性。     

解答导函数相关“隐零点”问题的三种不同策略应用分析

导函数是高中数学具有独特意义的内容,导函数的零点与函数单调区间、极值都具有直接或间接的联系,因此导函数的零点在导数问题中具有重要的地位.在一些导数问题中,存在依靠零点存在定理不能直接求出零点的情况,而这些情况的相关导函数问题,也被称为“隐零点”问题.求解导函数的隐零点问题,可以从3种不同解题策略着手探讨.本文主要围绕三种不同解答策略进行介绍,结合具体例题分析对应的解题思路和一般步骤,以便学生学习和理解,帮助学生掌握和应用这些解题策略.     

解根、猜根、设根——研究导函数零点的三步曲

<正>导数引入高中数学教材以后,对多项式函数、指数函数、对数函数等混合型函数性质的研究多了一个重要工具.在利用导数研究函数的单调性或极值时,求解导函数的零点是一个基本问题,而我们遇到的导函数可能是初等函数、含参函数或者超越函数,导函数的零点或易或难,也成为制约大家能否顺利解题的一个关键点.本文拟通过几例谈谈处理这些问题的常见策略,以飨读者.1 利用因式分解求根,直接代入函数求解问题1 已知函数f(x)=2tlnx,g(x)=x²-k(     

构造新函数 巧解一类题

<正>近几年各地调研、模考试卷中经常出现这样一类题,即给出含有导数式子的不等式,求解(或判断)相关不等式的问题.这类问题一般都涉及到抽象函数,往往比较抽象难以求解.如果能想到利用导数的运算法则构造新函数,然后再运用导数性质确定其单调性,那么此类问题就迎刃而解了.本文从2013年、2014年各地调研、模考试题中精选几例进行分析,供大家参考.例1若函数y=f(x)在R上可导且满     

与导函数零点“对话”的几种策略分析

导函数是研究函数性质的重要而有力的工具,导数综合问题以其综合性和创新性常常作为高考的压轴题,特别是与函数有关的不等式恒成立、方程根的个数等问题都必须先研究函数的单调性与极值、最值等,其中导函数的零点问题是高考题中的常见的求解方式,并在此基础上进行进一步的分析和运用。但在日常教学中发现,学生对于那些导函数零点不能直接求解的问题常常无从下手,导致下一步的解题过程无法顺利进行。因此,笔者以常见的导函数为例,分析了在数学解题过程中的几种导函数零点的求解策略,旨在帮助学生在与导函数零点问题的"对话"得以顺利进行。     

函数零点的判断与应用

本文在研究近几年高考导数真题的基础上，将端点自变量的选择归纳为四种类型，即选择计算方便的自变量、使用极值点或其附近的自变量、利用不等式放缩寻找自变量、求极限等方法，并指出零点个数问题还可转化为函数图象与直线的交点个数问题，导函数的零点也可以用来判断函数的单调性及函数值的取值范围.     

导函数零点难以求解的几种对策

<正>导数是高考的一大热点和难点,常规的解题思路和模式相对比较固定,但碰到跟常规解法不一样的问题时,学生往往思路就受阻.本文举例说明在遇到导函数零点难以求解、思路受阻时的几种对策.一、单调性问题在用导数分析函数单调性时,如果直接求导但导数等于0的精确解无法得到,解决的对策是多次求导,层层分析(求导一般不超过三次).例1(2007年安徽高考题)设常数a≥0,函数f(x)=x-ln2x+2aln x-1,x∈(0,     

“核心函数”在利用导数求函数单调性中的应用

函数的单调性是函数的重要性质之一,对深入探究函数起着至关重要的作用,因此,函数的单调性一直是教学的重点和高考的热点．而导数是研究函数的单调性的一件利器,利用它可以将确定原函数单调性的问题巧妙地转化为判定导函数符号的问题．如果把决定导函数的函数值符号的函数定义为“核心函数”,以下我们主要探索如何借助导函数的“核心函数”,利用“数形结合”的数学方法确定原函数的单调性．     

例谈破解“导数零点不可求”的两种策略

<正>导数在高中数学中可谓"神通广大",它是解决函数、方程、不等式及解析几何等问题的"利器".而导数的零点是利用导数展示其工具性的关键"点",一旦找到此"点",则函数的单调性、极值、最值、大致图象等问题也将随之而解.然而,当导函数为超越函数时,欲从正面直接求出导数的零点几乎是不可能     

利用导数解决与函数单调性有关问题

函数的单调性问题是每年高考的必考点,简单的基本初等函数可以直接利用单调性定义解决,而较复杂的函数或者复合函数的单调性利用导数解决会更方便快捷。所以我们对利用导数方法求解与函数单调性有关问题进行了归纳。