一种“不科学”的好解法

解几个方程,其中x/x2 1 x2 1/x=5/2学生中有两种解法,引起全班激烈争论.解法1设x/x2 1=y,则x2 1/x=1/y,原方程变形为:y 1/y=5/2,整理得:2y2-5y 2=0,解得:y1=2,y2=1/2,当y=2时,x2 1/x=1/2,2x2-x 2=     

能这样反设吗?——一道试题的讲评

题目:用反证法证明:不论x,y取任何非零实数,等式1/x 1/y=1/x y总不成立. 证明:假设不论x、y取任何非零实数,等式1/x 1/y=1/x y总成立. 则有x2 y2 xy=0即(x y/2)2 3/4y2=0. 但当y≠0时     

一道不等式最值问题的错解与多解

例已知x,y∈R ,常数a,b∈R ,且满足a/x b/y =1,求x y的最小值．错解一因为x,y∈R ,所以x y≥2(xy)~(1/2),当且仅当x=y时取等号．由x=y及a/x b/y=1解得x=y=a b,所以(x y)mm=2(a b)．     

一个命题 两个应用

命题:若直线y=kx+m与双曲线x2/a2-y2/b2=1相交于A,B两点,M(x0,y0)为AB的中点,则b2x0-ka2y0=0. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y2-y1/x2-x1=k 由于A、B两点在双曲线上得: x12/a2-y12/b2=1 ①,x22/a2-y22/b2=1②     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.     

一个不等式证法的优化

本文给出不等式x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1(其中x,y,z∈R_ )的一种最简单的证法。这种证法只需引用不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9 (*)其中a,b,c∈R~ 。 令a=x/(1 x xy),b=y/(1 y yz),c=z/(1 z zx)易知 1/a 1/b 1/c=1/x 1 y 1/y 1 z 1/z 1 x=3 (x 1/x) (y 1/y) (z 1/z)≥3 2 2 2=9,当且仅当x=y     

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下最小值的方法及其推广

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下的最小值,通常有如下几种解法: 解法一 应用一元函数的配方法 由条件x十y=1,得y=1—x,将其代入f(x,y)=x~2 y~2,得到一元函数 f(x)=x~2 (1—x)~2=2x~2-2x 1=2(x-1/2)~2 1/2(1)因为(x-1/2)~2≥0,故由(1)式知,当x=1/2时,函数f(x)取最小值。将x=1/2代入y-1—x,得y=1/2。因此,当x=1/2,y=1/2时,函数f(x,y)-x~2 y~2在条件x y=1下取最小值(1/2)~2     

几何画板与函数图象的“倒数变形”

<正> 根据实数x和1/x互为倒数,我们不妨称函数y=x和y=1/x互为“倒数函数”,即函数y=x是y=1/x的倒数函数,函数y=1/x是y=x的倒数函数。由一个函数的图象得出它的倒数函数的图象的过程叫作函数图象的     

2010年江苏高考理科数学试题12题详解

已知实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤（x2）/（y）≤9,则（x3）/（y4）的最大值是____. 解法1 设x3/y4=（xy2）m（x2/y）n,对比次数得：m＋2n=3,2m-n=-4.解得m=-1,n=2.由已知得：1/8≤1/xy2≤1/3,16≤x4/y2≤81,两式相乘得：2≤x3/y4≤27.当xy2=3且x2/y=9时取最大值27,此时x=3,y=1.     

初一数学单元测试

一、填空题1.已知方程x+(1/2)y=0,用x的代数式表示y,则y=——. 2.当x=——时,方程3x+2y=6中,y=3. 3.在x=1,y=1;x=2,y=-1;x=4,y=-5.中,方程组2x+y=3,3x-4y=0 的解是——.     

妙用不等式“A/x＋B/y≥（√A＋√B）^2/x＋y”智取一类最值

各类资料都有如下一类二元极值: 题目1 已知x,y∈R ,且1/x 4/y=1,求4x 9y的最小值; 题目2 巳知x,yE R ,且2x 9y=5,求2/x 1/y的最小值.     

解析几何自我检测题

一、选择题(本大题共10个小题,在每小题给出的4个选项中,只有1项是符合题目要求的)1.光线沿直线y=2x 1的方向射到直线y=x上,被y=x反射后的光线所在的直线方程是(　　).A　y=x/2-1/2;　　B　y=2x 1/2;　　C　y=x/2 1/2;　　D　y=x/2 12.已知(x0,y0)是方程x y=2的任一组解,则圆x2 y2=x20 y20的最小半径是(　　).A　1;　　B　2;　　C　2;　　D　423.若直线l过点(3,0)且与双曲线4x2-9y2=36只有1个公共点,则这样的直线有(　　).A　1条;　　B　2条;　　C　3条;　　D　4条图14.如图1,阴影部分的点(x,y)满足不等式组x y≤5,2x y≤6,x≥0,y≥0.…     

解分式方程方法因题而异(初二)

1.用倒数换元例1 解方程x2-x-12/x2-x-4=0. (2001年哈尔滨中考) 解设x2-x=y,则12/x2-x=12/y,于是原方程化为 y-12/y-4=0,变形得 y2-4y-12=0,解得 y1=6,y2=-2, 当y1=6,即x2-x-6=0时,解得 x1=3,x2=-2; 当y2=-2时,即x2-x+2=0时,△<0,此方程无实数根.     

特殊代数方程的几种解法

一、换元法例1 解方程2x4+3x3-16x2+3x+2= 0. 解析:这是一个一元高次方程,观察方程各项系数的特点,可发现方程中各项系数关于中间项是对称的,且x≠0,因此,给方程两边同除以x2,得2(x2+1/x2)+3(x+1/x)-16=0. 令x+1/x=y,,则x2+1/x2=y2,即得2y2+3y-20=0, 解得:y1=5/2,y2=-4. 代入令式得:x1=2,x2=1/2,     

易混函数问题几例

例1问题1已知T={(x,y)|x/2+y/3=1},S={(x,y)|y=x-1},则S∩T=__. 问题2已知T={y|y=x2-l,x∈R},S={y|y=3x,x∈R},则S∩T=__. 解析这2个问题很容易弄混,问题1中的2个集合是点集,而问题2中的2个集合是数集,所以其答案应分别是{(8/5,3/5)}和{y|y＞0}.     

一类不等式的推广与应用

文[1]给出了不等式x1^2＋y1＋x2^2/y^2≥（x1＋x2）^2/y1＋y2,其中：xi∈R,y1∈R^＋,i=1,2当且仅当x1/y1=x2/y2时,式中等号成立。     

椭圆问题的圆化处理

对于椭圆x2/a2+y2/b2=1,令x’=x/a,y’=y/b,则椭圆方程变为:x’2+y’2=. 1,此为单位圆方程.这样,椭圆问题就可充分利用圆的性质来解决了.举例说明. 例1若直线l:x+2y+t=0与椭圆C:x2/9+y2/4=1相交于两点,求t 的取值范围. 解:令x=3x’,y=2y’,则椭圆C和直线l分别变成圆C’:x'2+y'2= 1和直线l':3x’+4y’+t=0.     

分题型精选的创新题

一、选择题1.已知集合M={（x,y）|y=f（x）},若对于任意的（x₁,y₁）∈M,存在（x₂,y₂）∈M,使得x₁x₂+y₁y₂=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={（x,y）|y=1/x};②M={（x,y）|y=sin x+1};③M={（x,y）|y=log₂x};④M={（x,y）|y=e^x-2}.其中是“垂直对点集”的序号是A.①②B.②③C.①④D.②④2.对于任意的x,|x|表示不超过x的最大整数,如[1.1]=1,[-2.1]=-3.定义在R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x],若A={y|y=f（x）,0≤x≤1),则A中所有元素的和为     

一道最值问题的几种常见解法

题目 设x、y是正数,且1/x＋4/y=1,求m=x＋y的最小值．     

一个分式不等式及其应用

引理 设y1、y2∈R^＋,n∈R,则n·x1/y1＋x2/y2≥（n＋1）x1＋x2/y1＋y2〈=〉（n/y1-1/y2）（x1/y1-x2/y2）≥0.