分式指数函数和分式对数函数的对称中心的探究

1986年全国高中数学联赛有这样一道填空题：已知f（x）＋4x^2^-4^x,则f（1001^-1）＋f（1001^-2）＋…＋f（1001^-999）＋f（1001^-1000）的值是______。     

泰勒公式的应用

泰勒公式：f（x）=f（x0）＋f′（x0）（x-x0）＋f′（x0）/2!（x-x0）2＋…＋f（n）（x0）/n!（x-x0）n＋Rn（x）     

浅议一个恒等式的来龙去脉

我们经常遇到这种问题：若f（x）=1/4^x＋2（或f（x）=1/a^x＋√a），求f（-3）＋f（-1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）的值，解答这类问题是依据这类函数一个恒等式：若f（x）=1/4^x=2，则f（x）＋f（1-x）=1/2，若：f（x）=1/a^x＋√a，则f（x）＋f（1-x）==1/√a。     

求函数解析式的十二种方法

一、定义法 例1 已知f（1＋1/x）=1/x^2-2,求函数f（x）的解析式． 解 f（1＋1/x）=1/x^2-2=（1＋1/x）^2-2（1＋1/x）-1,     

一题多解，探根溯源

题目 已知函数f（x）=x^2＋ax＋1/x^2＋a/x＋b（x∈R,且x≠0）,若实数a,b使得f（x）=0有实根,求a^2＋b^2的最小值.（2014年高中数学联赛贵州赛区） 1．一题多解 分析 令t=x＋1/x,则t∈（-∞,-2]∪[2,＋∞）,于是 方程f（x）=0,即t^2＋at＋b-2=0（｜t｜≥2）.（＊）     

2006女子数学奥林匹克

第一天 1．设a＞0，函数f：（0，＋∞）→R满足f（a）=1．如果对任意正实数x、y，有f（x）f（y）＋f（a/x）f（a/y）=2f（xy）, 求证：f（x）为常数。     

转化角度看赛题

题目已知函数f（x）=6x＋b/x^2＋4的最大值是9/4,则实数b=____。     

符合f[f（x）]= x＋1/x＋2的f（x）存在吗？

文[1]指出，标题中函数方程的解不仅有f（x）=1/1＋x，还有f（x）=2x＋1/x＋3．     

解析式求法十例

1．直接代入 侈01已知f（x）=2x-1,g（x）=1/1＋x^2,求f[g（x）]和g[f（x）＋2].     

一道填空题引起的反思

前不久，考了这么一道填空题：已知定义在R上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，有f（x1）-f（x2）/x1-x2＜0,设a=λ/1＋λ,β=1/1＋λ（λ≠±1）,若有｜f（a）-f（β）｜＞｜f（1）-f（0）｜,则λ的取值范围是___     

对一道高考难题的再思考

2008年高考江西卷（理科数学）的压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/1√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数α,证明：1〈f（x）〈2．     

运用特殊值法解题应注意的问题

一、“问题”的展示 例1（2006年高考陕西卷）已知函数．f（x）=ax^2＋2ax＋4（0〈a〈3），若x1〈x2,x1＋x2=1-a，则………（ ） （A）f（x1）〉f（x2）； （B）f（x1）〈f（x2）； （C）f（x1）=f（x2）； （D）f（x1）与f（x2）的大小不能确定． 何老师在《数学教学》2007年第4期《高考中二次函数问题的命题特点与教学建议》一文中给出的答案如下：     

关于一类递推函数的周期

2005年湖南省数学竞赛试题第4题是： 对于x∈R，函数f（x）满足f（x＋2）＋f（x-2）=f（x），则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（ ）。     

问题出在哪儿？

例1 （北京某名校高三高考前夕第4次模拟题）已知函数 f（x）=sin 2x-cos 2x＋1/2sinx（1）求f（x）的定义域;（2）求f（x）的值域;（3）设α为锐角,且tanα/2=1/2,求f（α）的值.答案（1）{x｜x≠kπ,k∈Z};（3）7/5.第（2）问学生常见错解为：错解由（1）得f（x）=2sin xcos x＋2sin2x/2sinx=√2sin（x＋π/4）.     

问疑答难

与方程根的个数有关的参数问题设函数f（x）=（x＋2）^2-2ln（2＋x）.若关于x的方程f（x）=x^2＋3x＋a在区间[-1,1]上只有一个实数根,求实数a的取值范围.解：方程f（x）=x^2＋3x＋a可化为x-a＋4-2ln（2＋x）=0.令g（x）=x-a＋4-2ln（2＋x）,则g′（x）=x/（2＋x）.     

深邃的背景 深刻的启示——2013年湖北省理科数学压轴题的另解与启示

2013年普通高等学校全国统一考试湖北卷理科数学第22题：设n是正整数,r为正有理数． （1）求函数f（x）=（1＋x）^r＋1-（r＋1）x-1（x〉-1）的最小值;（2）证明：n^r＋1-（n-1）^r＋1/r＋1＜n^r＜（n＋1）^r＋1-n^r＋1/r＋1;（3）设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如[2]=2,[π]=4,[-3/2]=-1.     

函数解题“多视角”

例题show：设函数f（x）=sin（2x＋φ）（-π〈φ〈0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=π/8。（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）证明直线5x-2y＋c=0与函数y=f（x）的图象不相切。     

倒数型方程四则

结论 若方程f（x）＋B/f（x）=A＋B/A有解,则f（x）=A或B/A.     

超级难题的简单解法（五）

例1设f（x）是定义在R上的函数,若f（0）=2008,且对任意x∈R,满足f（x＋2）-f（x）≤3·2^x,f（x＋6）-f（x）〉163·2^x,则f（2008）=_____.     

竞赛专栏：一道数学联赛题的推广弱化及变式研究

题目 设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x＋2π）=f（x）,求证：存在4个函数fi（x）（i=1,2,3,4）满足：