妙在换元

换元法是数学中重要的解题方法,对于一些较繁难的数学问题,用常规解法,或是无从下手,或是解题过程异常繁杂。这时,若能根据问题的特点,进行巧妙的换元,往往可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍的功效。例题1 :分解因式(x y) (x y- 2 xy) (xy 1 ) (xy-1 )分析:式中x y,xy反复出现,按常规解法,则很繁且分解较难,若用两个新字母分别代替,则可达到化繁为简的目的,妙不可言。解:设x y=a,xy=b,则原式=a(a- 2 b) (b 1 ) (b- 1 )=a2 - 2 ab b2 - 1=(a- b) 2 - 1 2 =(a- b 1 ) (a- b- 1 )把a=x y,b=xy代回原式得原式=(x y- xy 1 ) (x y- xy- 1 )=(…     

寻找等式与不等式的桥梁--探讨一道竞赛题的典型解法

2005年湖南省数学竞赛压轴题为:若正数a,b,c满足b+a c=a+b c-ca+b,求证:a+b c≥174-1.这是从等式开始的解证多元分式不等式的问题,较新颖.考生的得分率很低,而且标准答案也不易,因而值得探讨其典型解证方法.证法1(标准答案)由条件有a+b c=ca+b+b+a c,令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则a=x+z2-y,b=x+y2-z,c=z+y-x2,从而原式变为x+2yz-z=y+z-x2x=x+2 zy-y,即x+z y=y+x z+z+y x-1≥xz+zy+1≥x 4+z y+1.令x+z y=t,则t≥4t+1,可得t≥1+2 17或t≤1-2 17(不合要求,舍去),故a+b c=x+2 yz-z=2t-21≥17-14.证法2由条件有a+b c=b+a c+ca+b=ab+a2 ac+bc+c2 ac≥(a+…     

巧用变换x=a b,y=a-b解题

众所周知,对于任意实数x,y,总有x=x y/2 x-y/2,y=x y/2-x-y/2,若令x y/2=a,x-y/2=b,便得到 x=a b,y=a-b. 这个简单的变换有着不同凡响的功效,解题中若能巧妙、合理地运用它,常能独辟蹊径、化难为易、避繁就简,使解题过程显得简洁、活泼、新颖、别致,现例说如下。 1 求变量的取值范围 例1 已知x,y是实数,且x~2 xy y~2-2=0,则x~2-xy y~2的取值范围是( )(1997年湖北省黄冈地区初中数学竞赛题) 解 设x=a b,y=a-b, 代入已知等式,得3a~2 b~2-2=0. 即b~2=2-3a~2。     

例说和差换元法解题

若x、y∈R,则可设x=a b,y=a-b:特别地,若x y=2a,则可设x=a t,y=a-t(t∈R).这种变换我们称为和差换元法.运用这种换元法解题.构思别致,解题过程简捷巧妙.现举例说明如下.     

不可忽视的“0”

在数学中,“0”是一个特殊的数值,作为解题的条件,一般不会直接给出,而是隐含在题目中,解题时容易被忽视,从而导致错解.下面我们通过分析错解的例题,使同学们对这个问题加强认识,以便在今后的解题过程中,不再出现同样的错误.一、忽视绝对值符号里的字母为“0”例1若实数a满足a a=0,则a=____.错解:由a a=0移项得a=-a,故a<0.分析:以上错解的原因是忽视了绝对值符号中的字母a=0的情况.事实上,使得已知等式成立的实数a应为非正数,即a≤0.二、忽视分母不为“0”例2当x=____时,函数y=x2 x-2x2-1姨的值为0.错解:分子x2 x-2姨=0,即x2 x-2=0,解得x=1…     

转化——数学解题常备策略

数学解题,常常需要将陌生变熟知,将复杂变简单,常用的策略之一是转化.它是重要的数学思想和方法. 一、常量与变量的转化 例1 解关于x、y、z的方程组分析与解:按常规视a、b、c为常数,用加减法或行列式法求解,但计算冗繁.若视a、b、c为变量,构造t的三次方程: t3+zt2+yt+x=0, 则a、b、c是它的三个根.由根与系数关系知 z=-(a+b+c),y=ab+bc+ca,x=-abc.     

和差代换技巧及其妙用

例 1.已知 a2 b2 =6 ab且 a>b>0 ,则 a ba- b=。 (2 0 0 1年北京市中学生数学竞赛初二决赛题 )解 :设 a=x y,b=x- y,则将其代入 a2 b2 =6 ab中 ,得 (x y) 2 (x- y) 2 =6 (x y) (x- y)展开括号 ,化简整理得 4 x2 =8y2。而 a>b>0 ,∴ x>y>0 ,∴ x2y2 =2 ,∴ xy=2 ,另 a b=2 x,a- b=2 y,因此 a ba- b=2 x2 y=xy=2。二、求最值范围例 2 .已知实数 a、b满足 a2 ab b2 =1,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是。 (2 0 0 1年 TI杯全国初中数学竞赛 A卷试题 )解 :设 a=x y,b==x- y,代入已知式得(x y) 2 (x y) (x- y) (x- y…     

活用一次方程(组)的解巧妙解题

活用一次方程或一次方程组的解可巧妙解题 ,现略举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1　已知关于 x、y 的方程组3x - 4y=- 6 ,ax + 2 by=- 4和 3bx+ 2 ay=0 ,2 x- y=1有相同的解 ,求 a和 b的值 .分析 :两个方程组的解相同 ,则这个解必定同时适合这两个方程组中的四个方程 ,从而它必定是方程组( 1) 3x- 4y=- 6 ,2 x- y=1和 ( 2 ) ax+ 2 by=- 4,3bx+ 2 ay=0 的解 .因此 ,可有如下巧解 .解 :解方程组 3x- 4y=- 6 ,2 x- y=1. 得 x=2 ,y=3.把 x=2 ,y=3.代入 ( 2 )可得 2 a+ 6 b=- 4,6 a+ 6 b=0 .解之 ,得 a=1,b=- 1.例 2　王明和李芳同求方程 ax + b…     

零点存在定理与幂、指函数的比较

2004年教育部推出的高中新课程的数学配套教材必修1中引入了零点存在定理:连续函数y=f(x)在[a,b]的端点处的函数值符号相反,则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点存在.该定理简单易懂,并给出了判定方程是否有解及求近似解的依据.此定理还可进一步推广:交点存在定理:两连续函数y=f(x)与y=g(x)在[a,b]的端点处的函数值大小相反,则y=f(x)与y=g(x)在(a,b)内至少存在一个交点.例1张三和李四两同学很喜欢数学,平时总喜欢把身边的事变成数学问题互相提问.暑假时同登泰山,早上6时从山下出发边走边玩至12时到达南天门,第二天早上6时从南天门出发估计至12…     

一道全国初中数学竞赛题的多种解法

在数学竞赛中 ,我们常碰到根据条件确定代数式取值范围的问题 .解这类问题 ,除了运用一元二次方程、不等式等方面的知识 ,还要用到一些解题技巧 ,现结合一道竞赛题的多种解法 ,谈谈求解此类问题的一些常用的数学思想方法 .题目　已知实数 a,b满足 a2 + ab+ b2 =1 ,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是.( 2 0 0 1年全国初中数学竞赛题第 1 2题 )1　利用二元代换解题分析 1　利用二元代换将已知条件转化为二元二次齐次方程 ,再设法运用不等式的有关知识求取值范围 .解法 1　设 a=x+ y,b=x- y,则由已知得 ( x+ y) 2 + ( x+ y) ( x- y) + ( x-…     

因式分解的换元解法

换元法是数学中的一个重要的思想方法。就是将代数式中的某一部分用一个新字母(元)来替换。此法用于多项式的因式分解,能使隐含的因式比较明朗地显示出来,从而为合理分组、运用公式等提供条件,使问题化难为易。例1分解因式(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)。解:设x2+y2=a,xy=b,则原式=(a+b)2-4ab=(a-b)2=(x2-xy+y2)2。例2分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2。解:设x+y=a,xy=b,则原式=(a-2b)(a-2)+(b-1)2=a2-2ab-2a+4b+b2-2b+1=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2=〔(1-y)(x-1)〕2=(y-1)2(x-1)2。例3分解因式(x2-4x+3)(x2-4x-12)+56。解:设x2-4x=y,…     

"换元法"应用举例

“换元法”是一种重要的数学思想方法,形式多种多样,也是解题中常用的转化策略,下面举例说明如何用“换元法”解决数学问题。一、式子换元1、局部换元例1、分解因式(x2 x 3)(x2-6x 3) 12x2解:设x2 3=y,则原式=(y x)(y-6x) 12x2     

运用集合知识解一类综合题

本文就"85年高考数学理科第八题",谈中学数学中运用集合知识解一类综合题的规律.一我们从85年高考数学(理科)第八题谈起.题目:设a,b是两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数},B={(x,y)|x=m,y=3m~2+15,m是整数},C={(x,y)|x~2+y~2≤144},是平面AOY内的点集合,讨论是否存在a和b,使得(1)A∩B≠     

叠加帮你巧妙解题

叠加是指将几个等式的左边与左边、右边与右边相加起来解题的一种方法·对于某些多元有关的问题,考虑利用叠加这种方法,能把分散的条件集中,从而使解题简便易行·例1(“希望杯”初二数学竞赛题)已知a、b、c为实数,aa+bb=31,b b+cc=14,c c+aa=15,则ab+abbcc+ca的值是·解:由已知三等式,得a+bab=3,①b+cbc=4,②c+aca=5·③①+②+③,得c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)abc=12,所以ab+abbcc+ca=6,从而ab+abbcc+ca=61·例2(“新蕾杯”初二数学竞赛试题)若a、b、c是不全相等的任意实数,且x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x、y、z满足()(A)都不小于0(B)都不大于0(…     

数学解题过程中如何运用转化

数学解题过程的中心环节是转化 ,解题的实质就是促使问题发生一系列转化 ,使问题得以解决 .转化的主要手段有熟悉化 ,简单化 ,具体化 ,和谐化 .现分别叙述如于后 .1　熟悉化熟悉化就是把不熟悉的问题化为熟悉的问题 ,以便充分利用我们已有的知识和经验 .例 1　已知 y =f (x) x∈ R且恒有 f (a +x) =f (a -x) ,f (b+ x) =f (b-x) (a≠ b,a、b为常数 ) ,则 f (x)为周期函数 .作为周期函数的典型代表——三角函数是我们所熟悉的 ,虽然此处的函数不一定是三角函数 ,但回忆三角函数的性质 ,总对我们处理周期函数有所启发 .等式 f (a + x) =f (a …     

教会学生审题

审题是解题的基础 ,是正确、迅速解题的前提 .著名数学教育家波利亚说 :“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图” .事实上 ,学生常常对此掉以轻心 .致使解题失误或陷入繁沉之中 .教学中 ,我们可从以下几方面教会学生审题 .1　审视条件条件是解题的主要材料 ,充分利用条件间的内在联系是解题的必由之路 .审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息 ,发挥隐含条件的解题功能 .例 1　已知x y z≠ 0 ,且 xy z=a ,yz x =b ,zy x =c .求证 :a1 a b1 b c1 c=1 .解析　如果将条件 xy z =a ,yz x=b ,zy x=c直接代入进行证明 …     

运用数学语言的转换活化解题思维

数学问题都是用数学语言来表述的,数学语言按不同的表达形式可分为文字语言、符号语言和图形语言.文字语言精炼严密,符号语言抽象简洁,图形语言直观形象.在数学解题过程中我们如果能充分运用各种数学语言的相互转换,对于正确理解题意,发现解题方法,从而使解题获得成功是大有帮助的. 1.把文字语言符号化,也就是把文字转换成数学式子,这是数学解题的一种基本策略 例1 已知a,x,b和b,y,c成等差数列,而a,b,c成等比数列,x≠y,则a/x c/y的值为(A)1(B)2(C)3(D)4 分析:要想求解本题,首先应将题设中的文字语言转化为符号语言,即     

运用和差换元法解题

在解决一些数学问题时,我们可作如下变换:x=a b,y=a-b,这种变换通常称为和差换元法。利用这种换元法可以改变问题的内部结构形式,从而使解题过程显得灵活而新颖、简捷而巧妙,现举例说明如下。 1 解方程(组) 例1 解方程(6x 7)~2(3x 4)(x 1)=6.(1983年湖北省中学数学竞赛题) 解 原方程可化为(6x 7)~2(3x 4)(3x 3)=18, 设3x 4=a b,3x 3=a-b,则6x 7=2a,b=1/3. ∴(2a)~2(a b)(a-b)=18, 即4a~4-a~2-18=0, ∴a~2=9/4或a~2=-2(舍去), ∴a=±3/2,于是6x 7=±3. 故原方程的解为x_1=-(2/3),x_2=-(5/3).     

巧用相反数和倒数的性质

学习了相反数和倒数的有关知识后,不难发现关于相反数和倒数具有如下性质: 1.如果a、b互为相反数,那么a+b=0; 2.如果a、b互为倒数,那么ab=1, 解答某些与相反数或倒数有关的问题时,应注意灵活巧用这两个性质. 例1 若a与b互为倒数,x与y互为相反数,则-2ab+2x+2y的值是___.(1998年成都市初一数学竞赛试题) 解:由a与b互为倒数,x与y互为相反数,得 ab=1,x+y=0. 原式=-2ab+2(x+y) =-2·1+2·0=-2. 例2 已知a与-b互为相反数,那么     

对称换元法求分式值

当题目中的未知数x、y具有对称关系时(即当x、y互换位置时,原式保持不变),如果令x y=a,xy=b,用换元法进行解答,就可以使解题过程更简单.下面通过几道例题,帮助同学们掌握这种解题技巧在分式求值中的妙用.例1若x-1x=1,则x3-1x3的值为().A.3B.4C.5D.6解:设1x=y,则x-y=1,xy=1,所以x3-1x3=x3-y3=(x-y)3 3xy(x-y)=13 3×1×1=4.故选B.例2若x2-5x 1=0,则x3 1x3=.解:由x2-5x 1=0,可知x≠0,故等式两边同除以x,得x 1x=5.设1x=y,则x y=5,xy=1,所以x3 1x3=x3 y3=(x y)3-3xy(x y)=53-3×1×5=110.例3已知ax a-x=2,那么a2x a-2x的值是().A.4B.3C.2D.6…