不等式“a~2+b~2+c~2≥ab+bc+ca”的应用

人教版"不等式"里有一道习题:证明不等式"a2+b2+c2≥ab+bc+ca".证明过程如下:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即a2+b2+c2≥ab+bc+ca."a2+b2+c2≥ab+bc+ca"是一个很重要的不等式,有着广泛的应用.     

“母子”椭圆和双曲线的有趣性质再探

椭圆b^2x^2＋c^2y^2=c^2b^2（a〉c〉b〉0,c=√a^2-b^2）内含于椭圆b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2（a〉b〉0）,双曲线b^2x^2-c^2y^2=b^2c^2     

一题多解,探根溯源

题目:已知函数f(x)=x2+ax+1/x2+a/x+b(x∈R,且x≠0)若实数a,b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值. 预备工作:令t=x+1/x,则t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),方程f(x)=0(=)t2+at+b-2=0(|t|≥2). 方法一:(消元法) 解析:a2+b2=a2+(2-t2-at)2=(1+ t2)a2+2(2-t2)t·a+ (2-t2)2=(1+t2)(a-t2-2/1+t2)2+(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2≥(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2,令1+t2=m(m≥5)则 t2=m-1     

钠及其化合物核心突破

1钠及其重要化合物之间的转换2 Na2O与Na2O2Na2O和Na2O2都是氧气和金属钠反应的产物,但二者的性质却不同.Na2O是白色的固体,而Na2O2则是淡黄色的粉末.Na2O是碱性氧化物,而Na2O2是过氧化物,具有氧化性,和同一种物质反应的产物是不同的.如与水的反应：Na2O＋H2O=2NaOH,2Na2O2＋2H2O=4NaOH＋O2↑;再如与二氧化硫的反应：Na2O＋SO2=Na2SO3,Na2O2＋SO2=Na2SO4;又如与盐酸的反应Na2O＋2HCI=2NaCI＋H2O,2Na2P2＋4HaCI=4NaCI＋2H2O＋O2↑.     

余弦定理一个变式的功效

余弦定理:△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则a2=b2+c2+2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.c2=a2+b2-2abcosC.该定理可以变形为:b2+c2-a2=2bccosA ①a2+c2-b2=2accosB ②a2+b2-c2=2abcosC ③该组变式在     

对算法多样化与优化的思考

【案例】多位数乘一位数的口算乘法口算2×10的乘积。师:谁来说说你是怎么想的?生1:2×10表示10个2相加,2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=20,所以2×10=20。生2:也可以把2×10看成2个10相加,10+10=20,所以2×10=20。生3:2×10表示10个2相加,我知道2×9=18,再用     

垂直也可以这样证明

<正>命题对角线互相垂直的四边形对边的平方和相等.证明如图1,∵AC⊥BD,∴AD2=OA2+OD2,BC2=OB2+OC2,AB2=OA2+OB2,CD2=OC2+OD2.∴AD2+BC2=AB2+CD2(=OA2+OB2+OC2+OD2).     

中线长公式的推导及其简单应用

<正>人教A版数学必修5第20页习题13:△ABC的三边分别为a,b,c,边BC、CA、AB上的中线分别记为ma,mb,mc,应用余弦定理证明:m_a=1/2(2(b2+c2)-a2)^(1/2),m_b=1/2(2(a2+c2)-b2)(1/2),m_b=1/2(2(a2+c2)-b2)^(1/2),m_c=1/2(2(a2+b2)-c2)(1/2),m_c=1/2(2(a2+b2)-c2)^(1/2).证明如图1,在△ADC中,由余弦定理,得     

巧用余弦定理证明一类三元无理不等式

正首先看这样一组三元无理不等式:已知为正数,证明:1.x2+y2+y2+z2z2+x22.x2-xy+y2+y2-yz+z2z2-xz+x23.x2-xy+y2+y2-yz+z2z2+xz+x24.x2+xy+y2+y2+yz+z2z2+xz+x2评析:四个三元无理不等式结构比较相似,都可以表示为x2-2xycosα+y2+y2-2xycosβ+z2z2-2xycosγ+x2,其中α,β,γ(0,π),结合数与形的类比,联想到三角形的余弦定理,再根据三角形两边之和大于第三边即可解决问题.但由α,β,γ的大小来决定构造怎样的图形是解决问题的     

双曲线形不等式及应用

不等式求最值,是高中的一个重点,也是一个难点.本文推出一个简单的不等式,其结构由双曲线方程而得出,故简称双曲线形不等式.定理:已知a,b≠0,且有x2/a2-y2/b2=1,則有a2-b2≤(x-y)2,当且仅当b2 x=a2 y时取等号.证明:(a2-b2)·(x2/a2-y2/b2)=x2+y2-(b2 x2/a2+a2 y2/b2)≤x2+y2-2bx/a·ay/b=x2+y2-2xy=(x-y)2,