判定三角形全等的常见类型

<正>一、平移全等模型例1如图1,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC//DF,BC//EF.求证：△ABC≌△DEF.解析：根据已知条件,利用“ASA”即可证出△ABC≌△DEF.∵AC//DF,∴∠CAB=∠FDE.∵BC//EF,∴∠CBA=∠FED.∵∠CAB=∠FDE,AB=DE,∠CBA=∠FED,∴△ABC≌△DEF(ASA).反思：可将图1看作是△ABC沿AB方向平移AD的长度得到的全等三角形模型.常见的平移全等三角形模型的呈现形式有图1、图2两种.     

两个有趣的几何性质

定理 1:若△DEF是△ABC的垂足三角形,则△DEF的三边长分别为acosA、bcosB、CcosC.(如图1) 证明:因为BE⊥AC,CF⊥AB,所以∠BEC=∠CFB=90°,所以B、C、E、F四点共圆.所以∠AEF=∠ABC,又因为∠EAF=∠BAC.所以B△AEF∽△ABC,所以EF/BC=AE/AB,在Rt△ABE中,cosA=AE/AB,所以EF/BC=cosA,所以,EF=acosA,同理可得DF=bcosB,DE=ccosC     

垂足三角形的性质及证明

锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质 ,本文对这两个性质加以证明 .性质 1　锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心 .已知 :如图 1,锐角△ABC中 ,AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高 ,O为垂心 .求证 :点O为垂足△DEF的内心 .证明 :由已知条件可得D、C、E、O四点共圆 ,所以∠ 2 =∠ 4 ;同理∠ 1=∠ 3,又∠ 3和∠ 4都与∠ABC互余 ,所以∠ 3=∠ 4 ;所以∠ 1=∠ 2 ,EB平分∠FED ;同理可得FC、DA分别平分∠EFD与∠FDE .所以点O为△DEF的内心 .性质 1得证 .图 1　　　　　　　　图 2性质 2　锐角三角形的所有内接三角形中 ,…     

三角形内接三角形周长最小值及其应用

<正>本文探求三角形内接三角形周长的最小值,并利用其最小值得出两个有趣的定理．定理1如图1,△DEF的三个顶点分别在三角形△ABC的三边上,AH是△ABC的BC边上的高,■,则△DEF周长最小值为2AHsinθ.     

心语

三角形的全等具有传递性,比如若有△ABC≌△DEF,△DEF≌△MNP,则一定有△ABC≌△MNP．这个性质在解题时有很重要的应用．     

相似三角形的判定专题训练（一）

一、填空题：1.在△ABC与△MNP中,若∠A=∠M,如果能说明——或——或AB/MN=——就可以判定这两个三角形相似．     

三角形Brocard点的向量性质

设Ω为△ABC内一点,若∠BAΩ=∠CBΩ=∠ACΩ=ω（如图1）,则称Ω为△ABC的Brocard点,ω为△ABC的Brocard角．     

从一道题目的新解谈起

题目 求证等腰三角形的两个底角相等． 常规证法作等腰△ABC作底边上的高AD（图1）,然后证明Rt△ADB≌Rt △ADC,从而证得∠B=∠C．     

对一道几何题的证明的看法

题:在△ABC中,O是AB边的中点,E、F分别在AC、BC上。求证:△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和。有一本初中数学复习资料对这题作如下的分析和证明。分析要证△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和,只要证 S_(△ADE)+S_(△BDF)>S_(△DEF)…证明延长ED到G,使DG=ED。连结BG和FG,又AD=BD,(已知) ∠ADE=∠BDG,(对顶角相等) ∴△ADE≌     

两个几何不等式猜想的证明

文[1]中,胡如松先生提出了若干猜想,由于多数猜想不难证明或否定,现仅对其中两个猜想予以证明. 设△DEF 为△ ABC 内接三角形(如图).并设△ ABC的三内角为 A、B、C;三边 BC = a、CA = b、AB = c ;EF = a0、FD =b0、DE = c0 .分别设△ ABC 、△ DEF 、△ AEF 、△ BDF 、△     

垂足三角形的性质与应用

AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,则△DEF 为△ABC 的垂足三角形(如图1),用S_(△ABC)、R 分别表示△ABC 的面积和外接圆半径.用 S_(△ABC)、L_(△DEF)分别表示△DEF 的面积和周长,则垂足三角形有如下性质:     

一个旁心三角形面积不等式的修正

如右图,设△ABC是任一三角形,△DEF是△ABC的外角平分线所围成的三角形,则称△DEF是△ABC的旁心三角形.     

如此分割也有可能

<正>1问题呈现如图1、图2,已知Rt△ABC和Rt△DEF不相似,其中∠C,∠F为直角,∠A>∠D,能否分别将两个三角形分割成两个三角形,使△ABC所分成的两个三角形与△DEF所分成的两个三角形分别相似?如果能够,请设计一个分割方案;如果不能,请说明理由.2解法研究2.1学生解答     

一道几何不等式的推广

我们在《几何不等式》([荷兰]O.Bottema等著,单尊译)一书中.见有下述一道命题:将△ABC分为四个较小的小三角形,中间的那一个△DEF内接于△ABC,其余三个在△DEF的三边上,则△DEF的面积≥min(△AEF的面积,△BDF的面积,△CED的面积) ①当且仅当D、E、F为△ABC三边中点时,等号成立.     

三角形中四个新的巧合点

设△DEF是△ABC的三条外角平分线构成的三角形．     

名题简证四则

二、Morley定理 △ABC的每两个内角相邻的三等分线分别相交于D、E、F,则△DEF是一个等边三角形。 证明 设∠A=3α,∠β=3β,∠C=3γ,则α+β+γ=60°。延长BF、CE,交于M,连MD。则因D是△MBC的内心,故∠EMD=∠FMD=30°+α。 下证ME=MF。     

关于三角形的内接三角形周长估值的一个猜想

关于三角形的内接三角形面积估值问题,我们已有以下结论: 将△ABC分为四个较小的小三角形,中间的那一个△DEF内接于△ABC,其余三个在△DEF的三边上,则△DEF的面积≥main≥{△AEF的面积,△BDF的面积,△CED的面积}。(参见O.Bottema等著,单墫译《几何不等式》)。     

三角形的最小内接正三角形

1　问题的提出若△DEF的三个顶点分别在△ABC的三边上 ,图 1称△DEF是△ABC的内接三角形。如图 1 ,△DEF是△ABC的内接三角形。文 [1 ]讨论了三角形的内接正三角形的存在性问题 ,指出三角形的内接正三角形是存在的 ,并给出了一种作图方法。文 [2 ]指出任意三角形都存在无数个内接正三角形 ,给出了另一种作图方法。那么 ,一个给定的三角形的无数个内接正三角形中 ,有无边长最小的三角形 (最小内接正三角形 )呢 ?本文研究这一问题 ,给出最小内接正三角形的边长和位置。2　最小内接正三角形的边长设在△ABC中 ,∠C是最大角 ,△DEF是…     

等腰三角形新题型解析

本文就等腰三角形的三类新题型解析如下,供同学们学习时参考.一、从已知图形中数等腰三角形的个数例1如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有()A.6个"B.7个"C.8个"D.9个(天津市中考题)解:因为AB=AC,∠A=36°,所以易求得∠1=∠2=∠3=∠4=36°,∠5=∠6=∠7=∠8=72°,从而图中共有8个等腰三角形,即:△ABC、△FBC、△BCD、△CBE、△DAB、△EAC、△CDF、△BEF.故应选C.二、从已知图形中找构成等腰三角形的点例2在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△…     

三角形中的内接三角形

(本讲适合初中)若点 D,E,F 分别、在△ABC 的边 BC,CA,AB上,则称△DEF 为△ABC 的“内接三角形”,而△ABC 为△DEF 的“母三角形”.关于“母子三角形”的面积关系,有下述重要结论.定理如果△DEF 为△ABC 的“子三角形”,且