“构造法”解题例谈

1.构造等式例 1.已知 x+ y+ z=3,求3(x- 1) (y- 1) (z- 1)(x- 1) 3 + (y- 1) 3 + (z- 1) 3 的值。解 :根据所求代数式的结构特征 ,可构造恒等式 :a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+ b+ c) (a2 + b2 + c2 -ab- bc- ac)。设 a=x- 1,b=y- 1,c=z-1,有 a+ b+ c=x+ y+ z- 3=0。将上面三式代入恒等式得 :(x- 1) 3 + (y- 1) 3 + (z- 1) 3- 3(x- 1) (y- 1) (z- 1) =0 ,∴ 3(x- 1) (y- 1) (z- 1)(x- 1) 3 + (y- 1) 3 + (z- 1) 3=1。2 .构造不等式例 2 .实数 a、b、c、d满足 a+b+ c+ d=5 ,a2 + b2 + c2 + d2 =7,求 a的范围。解 :根据第一个等式的平方与第二个等…     

一个恒等式的应用

利用恒等式a(x_1 x_2)±x_1x_2=±(x_1±a)(x_2±a)±a~2求方程的整数解与证明条件不等式十分有效。例1 求方程x y-xy=324的整数解解原方程化为 -(x-1)(y-1) 1=324即(x-1)(y-1)=-323。∵ -323=(-1)×323=l×(-323) =(-17)×19=17×(-19)∴ (1){x-1=-1 y-1=323;(2){x-1=1 y-1=-323; (3){x-1=-17 y-1=19;(4){x-1=17 y-1=-19。解得: (1){x=0, y=324;(2){x=2, y=-322; (3){x=-16 y=20;(4){X=18 y=-18。注意到原方程是对称轮换方程,     

《直线与圆的方程》单元自测题

一、选择题(每题4分,共32分)1·“a=2”是“直线ax 2y=0平行于直线x y=1”的()A充分而不必要条件;B必要而不充分条件;C充分必要条件;D既不充分也不必要条件2·设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2 y2=2相切,则a的值为()A±4;B±22;C±2;D±23·直线x-2y 1=0关于直线x=1对称的直线方程是()Ax 2y-1=0;B2x y-1=0;C2x y-3=0;Dx 2y-3=04·设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边长,则直线xsinA ay c=0与bx-ysinB sinC=0的位置关系是()A平行;B重合;C垂直;D相交但不垂直5·若圆x2 y2-4x-4y-10=0上至少有3个不同点到直线l:ax by=0的…     

整式的乘除

基础篇课时一　整式的乘法诊断练习一、填空题1.210.(-0.5)10=.2.(-2.4x2y3)(-0.5x4)=.3.a3.a3+(a3)2=.4.(-2a)(3-a)=.5.(a+2b)(a-3b)=.二、选择题1.10m.10n等于(　　)(A)100m+n.　　　　(B)100mn.(C)10m+n.(D)10mn.2.计算(x4)2+(x5)3得(　　)(A)2x8.　　　　　　(B)x23.(C)x8+x15.(D)2x15.3.(-an-1)2等于(　　)(A)-a2n-1.(B)a2n-1.(C)a2n-2.(D)-2an-1.4.单项式8a3b3与(-2ab)3的积是(　　)(A)-16a6b6.(B)16a6b6.(C)-64a6b6.(D)-48a6b6.三、解答题1.计算:(1)(-35a2x)(-23bx5)2.(2)5x(x2+3x-1)-(2x+3)(x-5).2.化简并求值:(y-1)(y2-6y-9…     

灵活消元 巧妙求值

解方程组的基本思想是消元。事实上 ,这种消元的思想还可应用于多元求值中。下面举例介绍多元求值的几种消元途径。一、代入消元例 1　若 x- y- 2 =0 ,2 y2 -y- 4 =0 ,则 xy- y的值是 (　　 )(A) 12 ;　　 (B) 2 ;(C) 12 ,2 ;　 (D) 12 ,2或 - 12 。解 :由 x- y- 2 =0 ,2 y2 - y- 4 =0 ,得x=y 2 ,2 y2 =y 4。原式 =2 x- 2 y22 y=2 (y 2 ) - (y 4)2 y=12 。二、加减消元例 2　已知 3a b 2 c=3,a 3b 2 c=1 ,求 2 a c的值。解 :已知两等式联立为3a b 2 c=3,a 3b 2 c=1。∴ 3(3a b 2 c) - (a 3b 2 c) =8,即 8a 4c=8,∴ 2 a c=2。三、比值消元…     

现行高中课本中一道例题解法的一点建议

平面解析几何第35页例3“等腰三角形一腰所在的直线l_1的方程是x-2y-2=0,底边所在的直线l_1的方程是X y-1=O,点(-2,O)在另一腰上,求这腰所在直线l_3的方程.”课本解答是这样的:     

2007年第1期问题

73.在直角△ABC中,AD为斜边BC上的高,∠C的平分线分别交AB、AD于E、F,点H在AC上.求证:A、E、D、H四点共圆的充分必要条件是HF∥BC.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)74.解方程:36x-2(! 1y-1)! 4x-2*! y-1 !=28.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)75.求满足方程:(x y-2)2 20(xx y)=2009的x,y的所有整数解.(湖南武冈市十中422400邓集春提供)76.设任意实数a1>1,a2>1,…,an>1.证明:a12a2-1 a22a3-1 … an2-1an-1 an2a1-1≥4n.(陕西省宝鸡市陈仓区渭阳中学721300李青提供)77.求证:在△ABC中,sin A sin B sin C<2(cosA cosB …     

03年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题(初三)

1.若4x-3y-6z=0,z+2y-7z=0(xyz≠0),则代数式的值等于() (A)     

直线和圆的方程典例解析

例1已知三条直线l_1:2x-y a=0(a>0),l_2:4x-2y-1=0和l_3:x y-1=0,且l_1与l_2的距离是7/(10)5~(1/2) (1)求a的值;     

在“变”中提高,在“变”中创新——一道课本题引发的思考(高二、高三)

题求两条平行线3x-2y-1=0和3x-2y 1=0的距离. 这是新教材高二(上)册P54的一道习题. 解在直线3x-2y-1=0上取点(1,1),计算点(1,1)到直线3x-2y 1=0的距离,     

数学优化训练设计(一)〔人教版〕

(内容:代数:§7.6～§7.7;几何:§2.9)一、选择题(每题3分,共39分)1.下列计算不能用平方差公式的是()A.(3m2-2n)(-3m2-2n)B.(a 2)(4a-8)C.21a-31b-21a-31bD.(-3 2x)(3-2x)2.下列计算正确的是()A.(a-4)(a 4)=a2-4B.(2x-3)(2x 3)=2x2-9C.(4x y 1)(4x y-1)=16x2y2-1D.(x 2)(x-2)=x     

例说换元法分解因式

对于比较复杂的多项式分解因式,运用换元法可使多项式中的数或式的关系明朗化,使问题化难为易、简洁清晰.例1 分解因式(x~2+x+3)(x~2-6x+3)+12x~2.解设 x~2+3=y,则原式=(y+z)(y-6x)+12x~2=y~2-5xy+6x~2=(y-2x)(y-3x)=(x~2-2x+3)(x~2-3x+3).例2 分解因式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-120.解由于(x-1)(x-4)=x~2-5x+4,(x-2)(x-3)=x~2-5x+6,     

代入法求分式值的几种途径

在分式的学习中 ,经常遇到含条件的分式求值问题。解答这类问题时 ,可根据题设和求式的特点 ,灵活运用代入法。下面以实例介绍代入法求分式值的几种途径。一、求值代入例 1.若 |x- y 3|与 |x y- 1995|互为相反数 ,则 x 2 yx- y的值是。( 1995年希望杯全国数学邀请赛初一试题 )解 :依题意 ,有|x- y 3| |x y- 1995|=0 ,∵ |x- y 3|≥ 0 ,|x y- 1995|≥ 0 ,∴ x- y 3=0 ,x y- 1995=0。解之 ,x=996,y=999,∴原式 =996 2× 999996- 999=- 998。二、比值代入例 2 .若 x2 =y3,则 7x2 - 3xy 2 y22 x2 - 3xy 7y2 的值是。( 1995年大连市初中数学竞赛…     

直线和圆的方程单元检测题

一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知点A(2,3)、B(1,5),直线AB的倾斜角为()A.arctan2B.arctan(-2)C.2π+arctan2D.arctan21+2π2.直线Ax+By+C=0,其中A、B、C符号相同,则直线必过()A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限3.直线ax+(1-a)y=3和(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为()A.-3B.0或-23C.1D.1或-34.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是()A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=05.点(x,y)在直线x+2y+1=0上移动,函数z=2x+4y的最小值是()A.22B.2C.22D.426.直线x+y-1=0到xsin…     

如何解答圆锥曲线的最值问题

策略1：抓住图形特点求最值 例1已知圆C1：（x-2）^2＋（y-3）^2=-1,圆C2：（x-3）2＋（y-4）^2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17.     

中考数学模拟试题(一)

试　卷　Ⅰ　　一、选择题 (本题共 12小题 ,每小题 4分 ,共 4 8分 .请选出各题中一个符合题意的正确选项 ,不选、多选、错选均不给分 )1 如果水库的水位高于正常水位 2m时 ,记作 2m ,那么低于正常水位 3m时 ,应记作 (　　 )A 3m　　B - 3mC 13　　D - 132 函数 y=x 5 的自变量x的取值范围是(　　 )A x≥- 5　　B x >- 5C x ≠ - 5　　D x ≤- 53 用换元法解方程 (x- 1x) 2 - (x - 1x) =1,设 y =x- 1x,则原方程可化为 (　　 )第 4题图A y2 - y- 1=0B y2 y 1=0C y2 y- 1=0D y2 - y 1=0　　 4 如图 ,直线c与直线a、b相交 ,且a …     

深刻理解二次根式中的一二三四五

一个定义 :形如 a ( a≥ 0 )的式子叫做二次根式 ,这里应特别注意二次根式存在的条件 a≥ 0。如0、 a2 1、 2 .5m2 等都是二次根式 ,但 1x、 x- 1是不是二次根式 ,需要借助二次根式的定义讨论。二个非负 :二次根式 a有两个隐含条件 :一是被开方式 a必须是非负数 ;二是二次根式本身也是非负数。利用 a≥ 0可以确定被开方式中字母的取值范围 ,如化简 :- a - 1a,就涉及到 a的取值范围 ,即由 - 1a≥ 0 ,知 a<0 ,这样便可进行化简。利用 a≥ 0可以解一些特殊的方程 ,如已知 x y- 3 x- y 1 =0 ,求 x、y的值。由 a≥ 0可得 x y- 3=x- y 1 =0…     

数学题选(解析几何)

一、选择题(每小题有且只有一个正确答案) (1)若直线3x 4y-21=0与直线2x 3y-15=0,及直线x-2y 3=0均过同一点,则k的值是( )。 A.1; B.2; C. 3; D.5。     

求极值解方程一例

例解方程 4(x-2)~(1/2)+(y-1)~(1/2)=28-36/(x-2)~(1/2)-4/(y-1)~(1/2)。解:原方程可整理为(4(x-2)~(1/2)+36/(x-2)~(1/2))+((y-1)~(1/2)+4/(y-1)~(1/2))=28。∵4(x-2)~(1/2)>0,36/(x-2)~(1/2)>0,且4(x-2)~(1/2)·36/(x-2)~(1/2)=44,为定值,∴当4(x-2)~(1/2)=36/(x-2)~(1/2)时,即x=11时,4(x-2)~(1/2)+36/(x-2)~(1/2)有最小值24。同理,当(y-1)~(1/2))=4/(y-1)~(1/2)),即y=5时     

在比较中选择

例题 已知圆（x-2）^2＋（y-1）^2=20/3,椭圆b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2（a〉b〉0）离心率为√2/2,若圆与椭圆相交于A,B,且线段AB是圆的直径,求椭圆的方程．