巧构等比数列证明棣莫佛定理

棣莫佛定理是复数中的一个重要定理,高中代数课本第二册是用数学归纳法证明的。本文通过构造一个辅助等比数列,给出该定理的一个巧妙证法。 [棣莫佛定理]设n为自然数,r为正实数,i为虚数单位,则[r(cosθ+isinθ]~n=r~n(cosnθ+isinnθ)。证明:显然,只需证明(cosθ+isinθ)~n=cosnθ+isinnθ即可。令a_n=cosnθ+isinnθ,将n拆成(n-1)+1,并利用和角的正、余弦展开式易得:a_n=cosθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]+isinθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]=(cosθ     

一种求辐角主值的简便方法

求复数1+cosθ+isinθ(0<θ<π/2)的辐角主值的习题,很多同学见到这样的题,只能用三角公式去“凑”,若将符号进行一些变化,用这种方法不但很费时,而且也容易出错。下面介绍一种简便的方法,供参考。求复数Z=1+cosθ+isinθ(0<θ相似文献   

复数z、、1/z之间的关系

在许多复数问题中会出现有关 z,z,1z的式子 ,利用这几个复数相对应的点的位置关系解题 ,别有趣味 .设 z=r(cosα isinα) (r>0 ) ,则z=r[cos(-α) isin(-α) ],1z=1r[cos(-α) isin(-α) ].它们的对应点如图 1例 1　已知 z 1z=cos x(x∈R) ,且 | z|≤ 1 ,求 argz的取值范围 .解　先设 | z| <1 ,如图 2 ,此时 z 1z所对应的向量不在 x轴上 ,所以 z 1z ≠cos x,故 | z| <1不可能 ,于是 | z| =1 .令 z=cosθ isinθ(0≤θ<2 π) ,则由z 1z=z z=2 cosθ=cos x,即 cosθ=12 cos x∈ [- 12 ,12 ],所以 θ∈ [- π3 ,π2 ]∪ [4π3…     

复数法求三角级数前N项和及三角连乘积

用复数知识求某些特殊三角级数前 n 项和及三角连乘积通常有四种方法:(1)三角——复数公式法;(2)辅助复数 u+iv 法;(3)韦达定理法;(4)分解因式法。一、三角——复数公式法我们知道,设 z=cosθ+isinθ=e~(iθ),     

关于复数的根

假如我们要求复数W=r(cosθ+isinθ)的n次方根,这就是求满足W_k~n=W的复数W_k.方法考虑W_k=r~(1/n)(cos(2kπ+θ/n)+isin(2kπ+θ/n)),这里k是任意整数使用棣美佛定理,就得到因此,对任意整数k,W_k是W的n次方根.因为W_k~n=W,即W_k~n-W=0,于是,对任意整数k,Z=W_k是以Z为变量的n次多项式方程Z~n-W=0的一个解.因为n次多项式方程有且仅有n个解(可以是重解),因此方程Z~n-W=0存在且只存在n个解,换句话说,即使存在无限多个W_k＇~s,赋予不同的整数k,它们中仅有n个是不同     

计算某些复数方幂和的特殊方法

“数学教学通讯”1982年第1期的“关于复数题的分类”一文中,有这样一个例题: “已知x+1/x=1,求x~(14)+1/(x~(14))~n此题可以看成是下面问题的特例:(θ=π/3n=14) “已知,x+1/x=2cosθ.求x~n+(1/x~n)~n一般的解法是由已知条件求出x=cosθ±isinθ,     

容易解错的反三角函数主值问题

六年制代数二册复习参考题五(A组)第237页第8题:“要把两个复数a(cosα+isinα)、b(cosβ+isinβ)的和写成复数r(cosθ+isinθ),应该怎样用a、b、α、β来表示r、θ?”由于学生反三角函数主值概念淡薄的缘故,因而用a、b、α、β表θ时,常发生错误。现对用反正切表θ的两种错误加以剖析、以防患于未然。     

赏析自主招生考试中的复数问题

复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式,所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系,由此,该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容. 1复数知识 1.1 复数的表示形式与运算 代数形式:z=a+bi(a、b∈R); 三角形式: z=r(cosθ+i sinθ)(r≥0,θ∈R); 指数形式:z=reiθ(r≥0,θ∈R). 例1 设复数 ω1=-1/2+√3/2i, ω2 =cos2π/5+isin2π/5. 令ω=ω1ω2.则复数 ω+ω2+…+ω2011=(______). (2011,复旦大学自主招生考试) 解 显然,ω1=e 2πi/3,ω2 =e2πi/5. 则ω=ω1ω2=e16πi/15. 故ω+ω2+…+ω2011=ω(1-ω2011)/1-ω 而ω2011=ω2010·ω=ω,于是, ω+ω2+…+ω2011 =ω.     

复数问题的极坐标解法

复数的三角式r(cosθ+isinθ)是用一对有序实数r、θ确定复数Z及其在复平面上的对应点(r≥0,0≤θ<2π).在平面极坐标系中,也是用一对有序实数p、θ(p≥0,0≤θ<2π)来确定点的位置,而且化成直角坐标后x=p·cosθ,y=p·sinθ恰与复数的实部、虚部的系数类同.于是,有些复数问题,在某种条件下,应用极坐标法解更为简     

一个命题的再推广

文 [1 ]将命题 :对任何自然数n ,存在自然数m ,使得(2 - 1 ) n=m +1 -m作如下推广 :1 .对任何自然数p、n ,存在自然数m ,使得(p +1 -p) n=m +1 -m .2 .对任何自然数n、p、r,存在自然数m ,使得(p +r -p) n=m +rn-m .笔者将此命题再作如下推广 :1 .对于任何自然数n ,存在自然数m ,使得(2 - 1 ) -n=m +1 +m .2 .对于任何自然数p、n ,存在自然数m ,使得(p +1 -p) -n=m +1 +m .3 .对于任何自然数n、p、r,存在自然数m ,使得(p +r -p) -n=m +rn+mrn .下面证明推广 3 .证明 :因为 (p +r -p) n(p +r -p) -n=1 ,而由文 [1 ]知(p +r -p) n=m +rn-m .所…     

一个三角恒等式的简证及其它

第5届国际数学竞赛有这样一题: 证明:cosπ/7-cos(2π)/7+cos(3π)/7=1/2,①①式可等价变换为: cosπ/7+cos(3π)/7+cos(5π)/7=1/2, ②文[1]中用复数方法将②式推广为: cosπ/n+cos(3π)/n+cos(5π)/n+…+cos(n-2)/nπ =1/2(n为奇数,且n≥3)。③本文用纯几何构造方法更简洁的证明③式,其证明过程可作为③式的几何解释,并同时得到n为偶数时的两个恒等式。如图示,作∠XOY=π/n。     

复数取实值的条件及其应用

复数z=a+bi=re~(iθ)=γ(cosθ+isinθ)取实值的充要条件为b=0;或=z,或γ及Sinθ中有一为0。灵活运用这些充要条件可以解决某种类型的复数在何时方能取到实值的问题。因为它从一个方面揭示了实数与复数之间的联系,所以有着不少的应用。如在证明代数基本     

求复数辐角主值最值的四种方法

本文以实例来说明求复数辐角主值最值的四种常用方法,供读者参考. 1 三角法 先利用复数的三角式z=r(cosθ+isinθ)(r＞0,0≤θ＜2π)及其它,把复数模化成三角函数形式或把复数转化成构造相关三角函数,再用三角知识推理、计算出所求辐角主值的最值.三角法的实质是把复数问题化成三角问题求解.     

一类三角函数值求和的新解法

设复数2’r(cos9 isin9)(f》0)的n次方根为x, ,:石(cos半 isin华)(k:0,1,2,……,n—1)有《11’2。设此二项方程的n个根分别是:x_1、x_2、x_3、……x_n。根据韦达定理有:     

从两道错题谈复数的模和幅角

复数的幅角、模是复数知识中两个最基本的概念、其重要性是显而易见的,然而,深刻理解并正确熟练地使用它们。并不容易,例如,学生因常见书中复数的三角式为Z=r(cosθ+isinθ)而形成“思维定势”,一遇到这类式子     

莫把充分(或必要)条件当作充要条件

存解数学题的过程中,学生常把充分或必要条件当作充要条件处理,造成错误,举例如下: 一把充分条件当作充要条件例1,当θ为何值时,复数z=(1+cosθ+isinθ)~4是实数? 解:当sinθ=0即θ=kπ(k∈J)时,复数z是实数。上面解法是错误的。因     

关于CMO_(18-1(3))的探究

第 18届中国数学奥林匹克 (CMO)第一天试题第 3题是 :给定正整数n ,求最小的正数λ ,使得对任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i =1,2 ,… ,n) ,只要tanθ1 tanθ2 …tanθn =2 n2 ,就有cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 不大于λ .解答试题可得cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 的最小上界 ,那么 ,自然要问cosθ1 +cosθ2 +…+cosθn 的最大下界是什么 ?笔者探讨得到了更为一般的结果 ,并一举两得———推广了第 4 2届国际数学奥林匹克试题 2和文 [1]的结果 ;给出了IMO42 -2 推广的最小上界 .定理 1　给定正整数n和λ≥n2 - 1,对于任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i …     

整线性变换在中学数学中的应用

我们知道,在复平面内,变换w=z+β(β∈C)确定了一个平移;变换w=(cosθ+isinθ)Z(O∈R)确定了一个旋转;变换w=rz(r∈R+)确定了一个以原点为中心,以r为模的相似变换。令a=r(cosθ+isinθ),则上述三种变换的复合变换w=az+β称为一个整线性变换。     

谈复数的模的最值问题

复数的模的最值问题,涉及知识面广,灵活性大,在各级各类考试中经常出现,现将几种常用解法予以归纳.1.利用复数的几何意义求最值例1已知复数z的模为2,则z-i的最大值为()A.1B.2C.!5D.3解:∵z=2,所以z所对应的点在以原点为圆心、2为半径的圆上,如图所示;∴z-i就表示圆上的点到点B的距离,即z-i的最大值为AB=3∴选D.2.利用三角函数法求最值例2已知z,z∈C,求W=z2-z 1的最值.解:∵z,可设z=cosθ isinθ∴W=z2-z 1=(cos2θ-cosθ 1) i(sin2θ-sinθ)=!(cos2θ-cosθ 1)2 (sin2θ-sinθ)2=!3-4cosθ-2cos2θ=!4cos2θ-4cosθ 1=2cosθ-1.当cosθ…     

新加坡数学试题选(2)

Question 1(a) If f(x+x-1 ) =x3 +x-3 ,determine the function f(x) .(b) Solve the equation2 3 log1 0 x 5 log1 0 x =16 0 0 .(c) L etf(x) =(m2 - 1) x2 +(m- 1) x+n+2 ,(m≠ 1) ,be an odd function and m and n areconstants.Determine whether g(x) =xm +xn is an even or an odd function,or neither.Question 2(a) Express 5 sinθ+12 cosθ in the form Rsin(θ+α) ,where R is positive andα is acute.(b) If sinα+cosα=13,andα∈ (0 ,π) ,determine sin3 α- cos3 α.(c) Ues the relationship eiθ=cosθ+isinθ …