导数和微分及其应用教学漫谈

导数和微分是组成微积分主要部分之一,导数是解决函数的变比率问题,微分是解决函数的改变量问题,微分概念的建立,依赖于导数概念,而导数又是函数的微分与自变量微分的商,求导数与求微分的方法基本上是一致的,因此导数应是重点,而导数与微分的应用是很广泛的,所以也必须予以足够的重视,特别是在中学。     

导数的概念题型小结

导数的概念是导数这一大节的基础,只有掌握好它,才能更好的把握住本大节知识.现将导数的概念的题型小结如下: 一、用导数的概念直接解题例1 给出函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1 △x,1 △y),则△y/△x等于     

微分学在经济中的应用

一、导数概念及其经济意义 导数的定义:设y=f(x)在x_0点的某领域内有定义,极限(若存在)表示函数y=f(x)在x_0点的导数,记为f(x_0)。 又由极限性质可知:(→0时)所以,即x·△x比△x是高阶无穷小,于是可以用f(x_0)△x近似代替△y, 记△y≈f(x_0)△x 当△x=l时,△y≈f(x_0) 意即f(x_0)近似地表示在x_0的基础上自变量改变一个单位时,△y的改变量。     

微分学教学中的某些问题

四、关于函数的微分与不少教材上的处理相仿,现行教材上也是由计算函数的改变量出发导出微分的概念的,由正方形铁片的边长改变了△x,求面积 y=x~2的改变量△y=f(x+△x)-f(x).算得△y=2x△x+(△x)~2.我们看到,改变量△y 表示成两项,第     

从认知心理学角度论微分概念的教学

关于微分的教学,从认知心理学角度建议作如下调整:(1)将教材上"函数的微分"这一节放到下一章"微分中值定理与导数的应用"的"泰勒公式"这一节之后.导数一章专讲导数概念和求导法则.(2)将微分和泰勒公式在近似计算中的应用综合在一起,单独立一节,放在"函数的微分"这一节之后,突出近似计算的实际意义,便于比较.关于微分概念,要把握如下3个要点:(1)是函数增量的一级近似;(2)用导数和自变量增量的乘积表示;(3)局域性.一般说来,只有在自变量增量很小的情况下,函数的微分才是函数增量的主部,y dy,才有实际意义.     

计算机数学基础(A)例题解析1

1　多元函数微积分1.1　学习要点多元函数微分学　空间直角坐标系 ,二元函数的概念 ,二元函数的定义域的确定 ,二元函数偏导数、全微分的概念及求法 ,复合函数微分法和隐函数微分法。多元函数积分学　二重积分的定义及几何意义 ,直角坐标系下计算二重积分和交换积分次序 ,极坐标系下二重积分的计算。1.2　重点内容二元函数的偏导数与全微分 (包括复合函数和隐函数 ) ;直角坐标系下的二重积分。1.3　例题解析例 1　填空题(1)函数z =1ln(1-x- y) 的定义域是。(2 )设函数z(x ,y) =ex2 +y2 ,z′x(- 1,1) =。(3)二元函数z=x3 - 4x3 y2 +5y4, 2 z …     

计算机数学基础(A)期末复习提要

1 多元函数微积分1.1 了解空间直角坐标系的有关概念,知道几个简单的二次曲面,会求空间两点之间的距离。会用不等式组表示平面区域。 两点P1（x1,y1,z1）与P2（x2,y2,z2）间的距离公式: d=|P1P2|=1.2 会求简单二元函数的定义域。1.3 了解二元函数的偏导数与全微分概念,熟练掌握求偏导数与全微分的方法。会求简单二阶偏导数。 求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。一般的复合函数形式如Z=f（u,v）（其中u=u（x,y）,v=v（x,y））,变量之间的关系可以用以下图形表示:     

计算机数学基础复习辅导

1　多元函数微积分1 1　重点内容多元函数微分学 :二元函数的概念 ,二元函数定义域的确定 ,二元函数偏导数、全微分的概念及求法 ;复合函数微分法和隐函数微分法。多元函数积分学 :二重积分的定义、几何意义 ,直角坐标系下计算二重积分和交换积分次序 ,极坐标系下二重积分的计算。1 2　典型例题例 1　求函数z =f(xy ,x2 +y2 )的偏导数和全微分。解　设u=xy ,v =x2 +y2 ,由复合函数求导法则 : z x = z u u x+ z v v x =y z u+2x z v z y= z u u y+ z v v y =x z u+2 y z v全微分为 :dz = z xdx + z ydy =(y z u+2x z v)dx +(x z u+2 y z v)…     

计算机数学基础(A)复习提要

1 多元函数微积分1.1 了解空间直角坐标系的有关概念,知道几个简单的二次曲面,会求空间两点之间的距离。会用不等式组表示平面区域。 两点P1（x1,yi,z1）与P2（x2,y2,z2）间的距离公式:1.2 会求简单二元函数的定义域。1.3 了解二元函数的偏导数与全微分概念,熟练掌握求偏导数与全微分的方法。会求简单的二阶偏导数。 求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。一般的复合函数形式如z=f（u,v）（其中u=u（x,y）,v=v（x,y））,变量之间的关系可以用图形表示:     

方向导数与偏导数的关系

一、问题的提出1．若函数f（X,y）在点（x0,y0）沿X轴正向和负向的方向导数存在且相等,那么f（X,y）在点（x0,y0）关于X的偏导数f'x（x0,y0）是否一定存在？2．如果把条件加强为f（x,y）在点（x0,y0）治任意方向的方向导数都存在,这时能否断定f（x,y）在该点有关于X的偏导数f'x（x0,y0）？二、讨论由方向导数的定义：f（X,y）在点（X。,y。）沿方向l的方向导数为：放沿X轴正向了一（1,0）的方向导数为：沿X轴负向三’一（－1,0）的方向导数为：又由函数在一点偏导数存在的充分必要条件：在该点左、右偏导数存在且相等,…     

探究K的几何意义及运用

根据反比例函数的意义可知,两个变量x与y的乘积是一个常数k(k≠0).如图1,设p(x,y)是反比例函数y=k/x图象上的任意一点,过p作x轴、y轴的垂线,垂足为A、B,则△OPA(或△OPB)的面积=1/2OA·PA=1/2|xy|=1/2|k|,即矩形PAOB的面积等于|K|.     

从不定积分无“构造性”定义 谈不定积分的教学方法

电大理工类和经济类学生在学习微分学中,学习了已知函数的导数(微分)问题,但在科学技术和经济的许多领域中,通常还要解决其相反问题,即是要由一个函数的已知导数(或微分),求原来的函数,这种由函数的已知导数(或微分)去求原来函数的问题,就是不定积分问题。 不定积分知识,是后续课程定积分、重积分、曲线积分、曲面积分和微分方程的学习基础,即是积分学的基础。针对电大教育的对象主要是成人,在职人员占多数,又以培养应用型人才为主的办学特点,因此,学好不定     

简述高等数学(一)的要点和规律

高等数学（一）主要是研究微积分，以函数在某点附近或某区间上的局部性质和整体性质为研究对象，用极限的思想方法贯穿，又由一元函数推广到多元函数，进而引申到导数和微分积分的结构体系。即函数——极限——导数（微分）——积分。 （一）遇到一个函数，主要是考虑函数的定义域和对应规律，至于自变量和因变量用什么符号表示，那是无关紧要的。 例如：下列几组函数中哪组相同？ ①y＝与y＝x－2 ②y＝πx与s＝πr ③y＝与y＝x＋1 ④y＝与y＝ 答案是②和④相同。因为①和③两组中从y1化为y是有条件的，即定义域不同，所以为不同函数。 （…     

反比例函数y=k/x(k≠0)中k的几何意义

一、比例系数k的几何意义 如图1,若P(x,y)是反比例函数y=k/x(k≠0)上任意一点,过P作PB ⊥x轴于B,PC⊥y轴于C,则S矩形PBOC=|OB|·|OC|=|x|·|y|=|xy|=|k|. 因△OPB与△OPC的面积都等于矩形PBOC面积的一半,于是有S △OOPB=S△OOPC=|k|/2.     

从不定积分无“构造性”定义谈不定积分的教学方法

电大理工类和经济类学生在学习微分学中,学习了已知函数的导数(微分)问题,但在科学技术和经济的许多领域中,通常还要解决其相反问题,即是要由一个函数的已知导数(或微分),求原来的函数,这种由函数的已知导数(或微分)去求原来函数的问题,就是不定积分问题。不定积分知识,是后续课程定积分、重积分,曲线积分、曲面积分和微分方程的学习基础,即是积分学的基础。针对电大教育的对象主要是成人,在职人员占多数,     

函数与其导函数的联系及应用

高中课本中导函数定义：如果函数y=f（x）在开区间（a,b）内的每点处都有导数,此时对于每一个x∈（a,b）,都对应着一个确定的导数f′（x）,从而构成一个新的函数f′（x）,称这个函数f′（x）为函数y=f（x）在开区间内的导函数.f′（x）=y′=lim△x→0△y/△x=lim△x→0f（x＋△x）-f（x）/△x.那么函数y=f（x）与其导函数y=f′（x）有何关系？本文将用导函数自身的定义来探讨它们之间的联系并加以应用.……     

浅谈导数在经济学和物理学中的实际应用

<正>导数是由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念,又称变化率导数原理:设y是x的函数,记为y=f(x),则取其极值的条件为f′(x)=0,得x=t。将t代入原方程求极值即可。一、导数在经济学中的应用在数学中,通常利用导数来判断函数的单调性,求出函数的极值与最值,而其中求函数的最值与函数的最优化问题有着密切联系。生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最低等问题,这些问题称为优化问题。     

多元函数微分学中几个相关概念的几何背景

从一元函数到多元函数,有本质的差别,但也有一些联系,如何把高维问题转化为低维问题是科学研究的有效方法之一.借助一元函数变化率的概念,通过对多元函数微分学中的偏导数、方向导数、梯度、切平面、全微分等几个相关概念的几何背景的研究,帮助学生理解掌握这些重要概念.     

复合函数求导法简解变化率

在学习导数概念时，课本明确指出了函数的导数就是变化率，事实上导数是从研究实际问题的变化率而产生的，因此，了解一些有关函数变化率的例子，有助于加深理解导数的基本概念，提高应用导数解决实际问题的能力。但在解答有关变化率的实际问题中，理清各种变量关系，寻求函数解析式往往比较困难，有时得到的关系式也不容易把它整理成y=f(x)的函数形式(实际上为隐函数式)，使得进一步求导解决问题的思维受阻,下面采用复合函数求导的方法简解几个变化率的例子，可作为同学们学习课本阅读材料“变化率”的一点补充。     

高等数学(下)期末复习的要求和要点

本学期高等数学课程包括多元微分,多元积分、级数和微分方程四部分。下面简单地谈谈这四个部分的复习要求和应注意的问题。一、多元函数微分学教学要求是:正确理解二元函数及其偏导数与全微分的概念,牢固掌握并熟练运用