巧用导数 妙证等式

居高才能临下,高等数学知识对于初等数学的帮助极大,本文仅用导数这个工具证明一些初等等式,从而说明高等数学对初等数学的研究与教学上的指导作用.一、一类组合式、级数和恒等式的证明     

构造单位圆妙证一道高考三角题

(1994年高考理工农医类数学卷第22题)笔者经探究,发现此题若构造单位圆,巧用“正切线”来证,则不仅可避免三角函数运算及     

证三角等式思考的着眼点

三角等式包括三角恒等式和条件等式两类.在教学中常看到,一些学生面对情境较复杂的三角等式的证明,感到束手无策,不知从何去思考,常常是盲目下手,侥幸取胜,对此,我们非常有必要介绍一下证三角等式时思考的着眼点,对着眼点思考成熟之后,再采取相应的手段,从而获得解决途径.     

构造椭圆模型解证三角问题

对于一些具有特征的三角问题,我们可以通过构造随圆模型来求解或证明,现分类举例说明如下:【例1】已知ccooss42BA+ssiinn42BA=1,求证ccooss24BA+ssiinn42AB=1.分析:这是一道纯碎的三角命题,由题中等式的形状可联想到构造一个椭圆方程.证明:设椭圆C:cosx22B+siny22B=1.由题设知点M(cos2A,sin2A)在椭圆C上,又N(cos2B,sin2B)也满足椭圆C,可知点N也在椭圆上,过点N的椭圆C的切线方程为xcos2Bcos2B+yssiinn22BB=1,即x+y=1,又点M也满足x+y=1,所以点M也在此切线上,故点M和点N重合,cos2A=cos2B,sin2B=sin2A,所以cos4Bcos2A+ssiinn24B…     

构造等式利用三角代换证不等式

在不等式证明中 ,一些不等式表面上看并未显露出三角化的可能 ,如果我们深入挖掘其隐含条件 ,构造等式 ,引进三角代换 ,利用三角知识常能使问题简捷获解例 1　已知ａ >ｂ >0 ,求证 :3 ａ - 3 ｂ <3 ａ -ｂ .证明　∵ａ >ｂ >0 ,∴ (ａ -ｂ) ｂ =ａ ,于是可设 ａ -ｂ =ａｃｏｓ2 αｂ =ａｓｉｎ2 α 　 0 <α <π2 .因此原不等式等价于 1- 3 ｓｉｎ2 α <3 ｃｏｓ2 α ,即 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >1.∵　 0 <α <π2 ,∴ 0 <ｓｉｎ2 α ,ｃｏｓ2 α <1,于是有　 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1.故　原不等式…     

巧构造 妙证题

不少几何题,虽然在给定的图形中没有明显的全等三角形,但我们可根据题目的特征巧妙地构造全等三角形,从而找到证题的思路. 一、平移法例1 已知△ABC中,AB=AC,E在AB上,F在AC的延长线上,且BE=CF,EF交BC于D,求证:DE=DF 分析:欲证DE=DF,图中无明显的全等三角形,这时可考虑去构造,过E作EG∥AF,交BC于G,只须证△DCF(?)△DGE即可.     

巧构造妙证题

不少几何题，虽然在给定的图形中没有明显的全等三角形，但我们可根据题目的特征巧妙地构造全等三角形，从而找到证题的思路．     

构造法妙证不等式

不等式证明是高中数学的重要内容也是高中数学的难点之一,学习过程中,只有根据具体题目的条件,因题而异,选择适当的方法,才能少走弯路,顺利地完成证明．本文总结了高中数学中证明不等式的十六种方法,供大家参考．     

巧构造 妙证题

求证(1 1)((1 1/3))…1 (1/(2n-1))>(2n 1) 这是1998年高考题中需证明的一个不等式,一般都是采用数学归纳法来证明的.但是,在新教材中,不要求会用数学归纳法证明不等式,那么如何证明这个不等式呢?     

构造对偶式 妙证不等式

<正>构造对偶式,是指在解题过程中抓住代数式的结构特征,构造一个与其结构相似或相近并具有某种对称关系的代数式,而后通过对这组对偶关系式进行加、减、乘、除等运算,促使问题的转化与解决.构造相应的对偶式,使其结构更加均衡,体现了数学的对称美和构造美.下面我们通过实例来介绍构造对偶式的几种常用方法,以及如何对所构造的对偶关系式进行合适的处理.     

运用构造法妙证不等式

不等式的证明历来是中学数学教学中的难点,又是高考和竞赛命题的热点．这是因为不等式证明问题形式灵活多变,覆盖知识面广,既有一定的难度而又较为灵活,没有固定的模式可循,是培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,特别是培养学生创造性思维和创新能力的好题材．高中新课程数学教材中常见的不等式证明方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法等．本文主要探讨不等式的一种技巧证法——构造法．     

巧用“点在线上”证三角等式

我们知道,对于曲线C:f(x,y)=0,若f(x_0,y_0)=0,则点P(x_0,y_0)在曲线C上。利用这个结论证三角等式,方法新颖、简捷,别具一格。     

选择适当的几何模式证三角条件等式

多数三角条件等式都具有一定的几何背景,将题给已知条件与直线、圆、二次曲线方程从结构上进行比较,便可从中发现已知条件的几何意义。针对题目已知条件的不同特征,结合结论的需求,从中选择恰当的几何模式,构造相应的几何图形,使问题的本质在图形中得到明显的显示。这样借助于几何直观,有利于发现解题的关键,省去复杂的三角化简、消元过程,获得简捷的证法。下举五例,有的题给已知条件部分等式的结构相     

构造齐次式,妙证不等式

在一个不等式中,如果各项的次数相同,我们称之为齐次不等式,由于齐次不等式结构上对称、简洁、因而处理起来更容易、更有规律,另外,很多重要的不等式,例如均值不等式、柯西不等式都是齐次不等式,所以在证明一些带条件的非齐次不等式时,如果能借助条件对原不等式进行恒等变形,将非齐次不等式转化为齐次不等式来处理,往往会产生出奇制胜的效果.下面举例进行说明.例1已知x?y?z?1,证明:2 2 21     

巧用构造法,妙证不等式

有些不等式问题，如果从正面上去直接探求，常常感到繁难，甚至一筹莫展，不妨转换思维角度，从不等式的结构和特点出发，巧妙构造与之相关的数学模型，使问题转化，常可得到简捷、清晰的解法，让人有耳目一新的感觉．     

构造模型解三角题

通过构造数学模型来解决三角问题,目的在于培养学生观察、分析、联想的思想方法以及创造性思维能力. 例1 (1991年全国高中联赛题)求cos210°+cos250°-sin40°sin 80°的值. 导析:看到此题,学生自然会联想到课本中的例题:求sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°的值.他们会通过降次、和差化积来解决这个问题.这时,我们可引导学生观察,揭示其本质.注意到sin 40°=cos 50°,sin 80°=cos 10°,且问题关于cos 10°,     

巧用“三角法”妙证几何题

运用锐角三角函数的定义或锐角三角函数的公式进行证明几何命题的方法叫做三角法．运用三角法证明几何题，不仅解法新颖别致，有时还能使问题大大简化．     

构造图形巧证一类三角题

在三角代数中形如cosα+cos(α+β)+…cos(α+(n-1)β)=0(其中β为正n边形外角)…(1)型证明题 一般采用的方法是对左边进行积化和差与和差化积运算,由于项目繁多,而且还要根据β的不同适当配项,往往容易出错。本文将给出一种形象直观的证法,通过构造图形,利用矢量的性质证明。