巧用三角代换 证明一类不等式

虽然三角代换是证明不等式的常用方法.但利用公式 sec~2α-tan~2α=1进行三角代换在不等式的证明中并不多见.我们若能注意到某些不等式中隐含有条件 a-b=A,且 a>0,b>0,A>0,则可令a=Asec~2α,b=Atan~2a,将代数不等式转化为三角不等式,而加以证明.下面试以高中教材《代数》(下册)中的一些例题、习题为     

微分学理论在不等式证明中的应用

某些不等式的证明,如果只用初等数学的知识将很难找到简捷、有效的证明方法.而高等数学的理论往往能给出简单、方便的证明,本文通过具体例子给出了微分学理论在不等式证明中的几个应用.     

立足新课程探讨不等式的证明规律(对教材选修4—5不等式的证明一章的研究)

证明不等式没有固定的程序,证法因题而异,灵活多样.一个不等式的证法,往往不止一种,一个不等式的证明也往往是几种方法的综合使用.不等式证明方法有其特殊技巧,但不论技巧性有多高,还是离不开课本中的有关性质与结论.如果我们能立足新课程,通过分析例题与习题中不等式的结构特征,一定可以从中发现某些常见题型的证明规律.     

构造变上限函数证明定积分不等式

积分不等式的证明是高等数学学习中的一个难点,其证明方法并不是唯一的.利用变上限积分,构造辅助函数,能方便地证明某些定积分不等式.     

借助导数 巧用函数性质证明不等式

正不等式证明是高中数学的重点难点之一.不等式的种类繁多,证明的方法也难易悬殊,使用的技巧各异,尽管教材中对不等式的证明给出了系统的总结,但是有很多不等式,我们还是较难快速简洁地证明它.特别是有些不等式,如果用常用的初等方法去证明,我们会感到无从下手.这时如果我们如果将它作个恒等变形,使它转化为我们较熟悉的函数不等式,再借助导数,利用函数的相关性质来证明,往往会事半功倍.一、利用函数单调性证明不等式     

立足新课程 探讨不等式的证明规律

证明不等式没有固定的程序,证法因题而异,灵活多样．一个不等式的证法,往往不止一种,一个不等式的证明也往往是几种方法的综合使用．不等式证明方法有其特殊技巧,但不论技巧性有多高,还是离不开课本中的有关性质与结论．如果我们能立足新课程,通过分析例题与习题中不等式的结构特征,一定可以从中发现某些常见题型的证明规律．     

高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(四) 运用放缩法证明不等式

放缩法是证明不等式的常用方法,它是通过把不等式中某些部分的值"放大"或"缩小",简化不等式,从而达到证明的目的.利用放缩法证明不等式的关键在于通过将所证明的不等式中某些项的值适当"放大"或"缩小",使不等式中有关项之间的大小关系更加明晰、     

利用微分学证明不等式

不等式的证明是数学的重要内容之一,也是高等教学的重要工具.证明不等式的方法有很多种,而在某些情况下利用微分学证明不等式也是一种极为有效的方法,本文将介绍几种利用微分学证明不等式的方法,以更加明确微分学证明不等式的重要性.     

谈柯西不等式的几个应用技巧

用柯西不等式证明某些不等关系,简捷、明了.在一道题的多种解法中,它往往是较优者.因此,若能创造条件灵活运用这一不等式,将会给解某些不等式带来方便.这里笔者就常用的一些变形谈谈自己的管见.     

柯西不等式的应用技巧

<正>利用柯西不等式证明某些不等式或探求某些多元函数的最值(值域)时,确实简捷明了.因此,若能创造条件灵活运用柯西不等式,将会给我们带来许多方便.但是,柯西不等式的运用条件十分灵活,且技巧性强,很多时候都不能直接运用柯西不等式来解决某些数学问题.从哪里入手,如何创造条件,怎么创造,不少同学找不到突破口,感到无所适     

几种类型的不等式证明

正不等式的证明题,无论它以什么形式展现,其常规的证明方法如下:利用函数的单调性证明;重要不等式证明;放缩法;数学归纳法等.不等式结构能提示我们做"最近选择",不等式证明的方法最适合证明什么类型的不等式,需要我们去整合.笔者提供几类案例,供参考.一、常数型不等式证明所谓常数型不等式,是指不等式一边是代数式而另一边是常数的     

不等式证明的构图策略

在不等式证明中,我们比较熟悉用代数的方法去寻求其问题证明,如何借助图形证明不等式,大家关注不多.本文试图从构图入手,给出某些不等式的几何证法.     

例析不等式证明中常用的几种代换

对于某些不等式的证明,如果能恰当的引入有关的变量代换,则常会使一些陌生的问题熟悉化,复杂的问题简单化。下面通过实例来介绍几种常见的代换方法,仅供参考。一、常值代换将不等式中的某些特殊的已知数值用字母     

巧用"拼凑法"妙证不等式

我们知道,用基本不等式可以证明很多不等式,但有些不等式(如某些分式型不等式)虽有可用基本不等式的特征,却不容易分析出怎样用.本文通过几个例子介绍一种"拼凑法":根据不等式取等号的条件进行"拼凑".这种方法对证明某些分式型不等式堪称绝妙.     

利用Δ≥0巧证平面几何不等式

几何不等式的证明一直是平面几何中的难点,倘若能将其看做代数问题的实际应用或转化为代数问题,则既不失几何证明或求解的优美,又能为我们提供了更为灵活、广阔的求解途径.笔者发现对几何不等式的证明若能根据条件构造一元     

不等式证明中的化繁策略

<正>"化简"是数学解题过程中最常用的一种解题策略,然而,对于某些不等式的证明,如果我们反其道而行之,通过"化繁"将之转化成一个我们较为熟悉的某个定理、公式或模型不等式,则可使问题迎刃而解。本文试通过若干例子说明"化繁"策略在不等式证明中的应用。     

巧用换元法妙证不等式

在证明不等式的过程中,将不等式中的变量进行适当代换,使不等式得以证明,这种方法称为不等式证明中的换元法.不等式证明中的换元法是换元思想的重要体现.     

柯西不等式的应用技巧

利用柯西不等式证明某些不等式或探求某些多元函数的最值（值域）时，确实简捷明了．因此，若能创造条件灵活运用柯西不等式，将会给我们带来许多方便．但是，柯西不等式的运用条件十分灵活，且技巧性强，很多时候都不能直接运用柯西不等式来解决某些数学问题．从哪里人手，如何创造条件。     

运用换元法 巧证不等式

对于分式不等式问题,我们希望分母尽可能简单．然而,在一般情况之下,所给的分式不等式的分母都较为复杂．为了使分式中各个分母变得简单一些,我们可以将分式中的每一个分母作为一个整体来看待,分别用一个字母去替换它．这样,就可以将分母简单化,将整个问题化繁为简,化难为易．这种证明方法我们把它称为分母整体换元法．下面,我们利用整体换元法来证明某些分式不等式问题．     

构造法在初中数学解题中的应用

兵法说:凡战者,以正合,以奇胜.数学解题中的“正”即指常规思维、方法、解法,“奇”即指发散思维、巧解、妙解.在数学解题时若能充分挖掘题目隐含信息,整合学科知识,大胆构造,就会起到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的效果. 1 构造函数 在证明不等式时,通常采用作差法构造函数,通过判定函数值与0的关系达到证明不等式的目的.某些代数式直接化简较困难,合理构造函数,就能化繁为简. 例1 已知0a>,211ba= ,求证:3在2a和2b之间(包括边界). 分析 本题的常规解法是分类讨论,但我们可以根据“若()()0abac--?则a在,bc之间(包括,bc)”,构造…