例谈解析几何中的“隐形圆”问题

解析几何中的圆在历年高考中都会出现.对于那些简单的圆的问题,很多学生能够快速并且准确地解答;但有些问题的条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题目中,需要通过分析和转化才能发现的圆,再利用圆的知识来解决问题.后一类问题不妨称为"隐形圆"问题,它常使学生束手无策,需要同学们对此类问题有个清晰的认识.本文举例说明在相关问题中发现隐形圆的常用策略,供参考.     

以圆为载体的动点问题(初三)

动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察.有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题方法巧妙,耐人寻味.     

题中无圆心有圆 圆来就这么简单

研究近年高考数学试题,发现解析几何对“椭圆”和“抛物线”的考查难度有所下降,“直线与圆”的地位大幅度提升,具有数学文化背景的题目层出不穷.其中,有一类圆的问题在已知条件中没有直接给出圆的有关信息,而是隐藏在条件中,需要通过分析转化,从而发现圆(或圆的方程),进而利用圆的知识求解,这类问题称为“隐形圆”问题.比如“蒙日圆”、“阿波罗尼斯圆”等.“隐形圆”问题综合性强,充分考查了学生数形结合、化归与转化等数学思想方法,学生答题有一定的难度.本文以几道高考题和模拟题为例,探寻“隐形圆”问题求解策略.     

非圆问题圆处理

在解析几何中有许多问题,从已知条件中直接看不出是与圆有关,但只要我们能善于发现隐含于题中与圆有关的信息,那么好多看似非圆的问题将可以转化成圆的问题,并得以巧妙解决.     

巧用分类讨论思想解决圆中一些多样性问题

圆是最完美的平面图形.它既是轴对称图形,也是中心对称图形.正是因为圆的完美的对称性,使得圆中一些问题变得多样化.比如,在同一个圆中,一定长度的弦有无数条,即使固定其中一个端点,一定长度的弦(不是直径)也有两条.所以,在分析圆中问题时,需要巧用分类讨论思想解决问题的多样性.     

与切线有关的圆

直线与圆相切是直线与圆三种位置关系中最为重要的一种．证明直线与圆相切或以直线与圆相切为条件的几何问题是中考中命题的热点,是圆的重要内容之一．与切线有关的问题主要有以下两种类型：     

谈谈中考试题中的容圆问题

近几年的各地中考试题中,出现了一类多边形容圆问题。它不是一般的三角形的内切圆问题,而是在四边形内容有一个圆(或圆的部分),或者容有两个圆(或圆的部分),圆与四边形的某边相切。 这类问题的本质特征,是直线形(边)与圆(或圆弧)相切,所以主要是考查与切线有关的基础知识,如弦切角、圆心角、圆周角知识;切线长定理、切割线定理,等等。     

圆中最值问题的求解策略

<正>最值问题在中考中十分常见,其中与圆相关的最值问题由于结合了圆的性质定理,综合性更强,题型多变,解法多彩.本文将结合实例探究与圆相关最值问题的解法策略,并进行教学反思.一、圆中最值问题的策略探究策略1 圆中最大的弦为直径对于与圆弦长相关的最值问题,可直接使用"圆中最大的弦为直径"这一知识点取得突破.常见设问方式有两种:一是直接构建圆中的弦,探索最大情形;二是与圆的弦长相关,存在间接的长度关系,此时可以先探寻关系,后确定最值.     

圆系的运用

含有参数的圆的方程称为圆系方程,它表示具有某种共同特征的圆的集合．圆系的思想方法在求圆的方程和求轨迹、研究两圆的位置关系以及定点问题中,都有广泛的应用．常用的圆系方程有三类．     

利用反演变换证明多圆问题

在所要证明的平面几何问题中有多个圆出现时,不妨利用反演变换,将圆的问题转化为直线问题来研究．     

巧用圆的性质处理椭圆问题

圆在平面几何中占有重要的地位,同时,圆的性质在平面解析几何中也有广泛而灵活的应用.巧妙运用圆的性质,不仅使我们避免在解解析几何问题时因其求解过程繁杂冗长而陷入困境,还可使问题     

公切线在解两圆问题中的桥梁作用

在解决有关两圆相切的问题时,公切线作为作辅助线,是解决问题的关键．当题目的已知条件中有两圆相切时,过切点作两圆的公切线,构造弦切角,从而架设两圆之间的桥梁,常常会使问题迅速获解．     

中考微专题复习课的设计与思考--以“隐圆问题”为例

“圆”是初中数学内容中较难的一个章节,和圆有关的问题中难度较大的要属“隐圆”问题了.近年各地中考试题中,“隐圆”问题出现的频率较高,其中常常涉及动点求线段最值问题.笔者认为在中考的复习中,可以采取微专题的模式,让学生对该类题型的思想方法、解题思路有更深层次的认识.     

几种常见的圆系

具有某种共同性质的圆的集合叫做具有这一性质的圆系.解析几何中常见的圆系有:同心圆系、共轴圆系、圆心轨迹为定曲线的圆系等,利用圆系知识来解有关问题,往往简捷明快,事     

非圆问题圆处理

在解析几何或其它数学分支中有许多问题,从已知条件中看不出是有关圆的问题,但只要我们能善于发现隐含于题中与圆有关的信息,那么许多看似非圆的问题可以转化成圆的问题,并得以巧妙解决．[第一段]     

拨开迷雾见明月 道似无圆却有圆

<正>圆是最基本的平面图形之一,具有许多优美的性质.纵观近几年的高考试题,越来越注重对圆的考查,在试题的呈现形式上,有些圆是明确叙述的,有些圆则是隐性存在的.由于隐圆问题难度多为中、高档题,解题时需充分挖掘题中信息,变隐形圆为显形圆,才能使抽象问题变得更直观、简单,达到“拨开迷雾见明月,道似无圆却有圆”的解题境界,最终利用圆的知识使问题获解.本文结合具体例子,谈谈如何通过巧妙构造圆来解题,以供参考.     

因运动而产生的圆的相切问题的归类分析

随着新课程改革的进一步实施,有关圆的问题形式日趋新颖,方法日趋灵活．观察近几年的中考试题,在圆的相切（包括直线和圆、圆和圆相切）问题中,出现了不少运动的元素,这类试题综合性较强,学生往往感到困惑,本文根据不同的相切情形进行归类分析,供同学们参考．     

一道清华测试题的解法探究和推广

在解析几何研究中,圆和椭圆是两个非常重要的研究对象,它们图形优美,有极强的对称性,圆和椭圆可通过仿射变换相互转化,快速解决椭圆中相关的问题.椭圆中也会生成很多圆,比如内切圆、伴随圆、基圆和蒙日圆等,它们在性质具有怎样的关联?本文从一道清华自测题谈起,通过对问题的解法探究、拓展推广、链接应用等,建构这一类问题的解法,帮助学生抓住问题的本质,提升解决问题的能力,积累解题经验,优化思维品质,提升学生的核心素养.     

利用圆巧解题

因为圆在初中平面几何中有较多的涉及,在高中数学中又有圆锥曲线压身,所以圆的身份比较尴尬:想被重视却重视不起来,从而导致一些能用圆巧妙解决的较难问题无法被有效突破.本文举例说明. 一、寻找向量中圆的身影,有效突破最值 向量作为高考必考的知识点已经成为高考命题者尝试创新命题的一个重要阵地,近年来在高考和各省市模拟卷中出现了不少有新意的考题,其中有一些考题若能挖掘出题中隐含的"圆",则问题便能较好的求解.我们知道向量是数形结合体,故一般向量问题都会有两种解决办法:代数法和几何法.下面我们就从这两个方面来进行求解.     

巧作辅助线 妙解圆问题

<正>在中学阶段,同学们学习了圆的定义、圆的性质、圆的数学规律,在进行圆知识的习题训练中,常遇到一些看上去无法下手的问题,此时如果能够熟练应用圆的半径、直径、切线等,灵活根据需要适当添加一些辅助线,往往就会有"豁然开朗"的感觉。下面举例说明。一、作半径构造等腰三角形求解圆的边角关系问题时,通过作圆的半径,可以利用"同圆的半径相等"构造等腰三角形,从而把看上去毫无关联的线段、角的问题转化到等腰三角形中,利用三角形的边角关系进行解答。