例谈巧用均值不等式的基本策略

<正>均值不等式是最重要而基本的不等式之一,应用极其广泛,巧妙地运用均值不等式常能使许多问题得到漂亮的解决,产生意想不到的效果.均值不等式也是历年来高考和数学竞赛中必不可少的内容.在运用均值不等式时需注意同时满足以下三个条件:(1)各项均为正数;(2)和或积为定值;(3)具有等号成立的条件.但要灵活运用均值不等式,有时还需要熟练掌握一些"诀窍"和"技巧".宋廷福(2004)提出四条均值不等式的常     

巧用均值不等式证明2018年数学奥林匹克不等式题

均值不等式是一个应用广泛的不等式,在证明不等式问题时,为了创设使用均值不等式的条件,常常需要对题中的式子作适当的变形,而变形的出发点又是在兼顾所给条件的基础上注意不等式的取等条件,若遇到等号取不到、用“均值法”无效时可考虑引入参数,借助待定系数法来解决.这样才能使复杂问题简单化,从而达到事半功倍的效果.下面举例说明.     

条件极值与均值不等式求最值的比较

利用均值不等式证明不等式需要构造n个可能相等的正数,特别是用来求最大(小)值,就必须构造n个相等的正数.对于很多学生来说,这比较困难.本文利用求条件极值的方法简单证明了均值不等式和加权均值不等式,从而一些用均值不等式证明的不等式就可以用条件极值来证明,特别是含有等号的严格不等式可用求条件极值的方法来证明.     

应用均值不等式求函数最值

均值不等式除用于比较实数大小及证明不等式外,主要用于求函数最值.均值不等式使用的条件是"一正二定三相等",三个条件缺一不可.为了达到使用均值不等式的三个条件,往往需要利用配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段.     

不等式二轮复习

一、把握知识要点1.不等式的性质2.不等式的解法①要理解三个二次之间的关系;熟练掌握一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法;会解含参数的一元二次不等式.②会解绝对值不等式,能将分式不等式转化为整式不等式(组)求解.3.简单的线性规划4.均值定理掌握均值不等式的证明过程;能够利用均值不等式求函数的最值;能利用均值不等式解答实际问题.     

巧用取等引入参数求最值

<正>在各类数学竞赛和高考试题中,最值问题都是常考的重要内容,解决最值问题最常用的方法之一就是运用均值不等式.而在运用均值不等式之前,往往需要对已知条件或者所求问题进行变形,根据题目的结构特点来进行适当的配凑.     

处理柯西、均值不等式问题的“四字方略”

柯西、均值不等式结构明快,形式优美,应用广泛,但不等式问题千变万化,要很好地掌握它们需要一定的处理策略,通过教学研究和实际教学发现"变、配、拆、添""四字方略"是处理柯西、均值不等式问题的常用策略,通过实例来说明"四字方略"在实际应用中效果显著.     

含参数均值不等式在数学竞赛中的应用

正在数学竞赛中,有些问题很难直接用均值不等式加以解决,因为事先很难知道不等式等号成立的条件,为了使这些问题能通过均值不等式加以解决,引进参数,利用含参数的均值不等式,然后利用等号成立条件,解出待定参数,使问题得到解决.下面举例说明:     

应用均值不等式 注意把握“六巧”

均值不等式是高考的热点,有些数学问题不能明确地看出是否可以应用基本不等式,这就存在一个如何创造均值不等式应用条件的问题.本文就此介绍六种基本技巧,供同学们参考.一、巧拆项注意到使用均值不等式的前提必是两个和式、积式,有时题设问题不具备此特征.这时     

均值不等式的应用

本文旨在探究均值不等式的应用.即利用均值不等式去解决一类关于n次多项式的不等式证明问题。     

巧用“均值不等式”的几类方法

“均值不等式”在证明不等式及各类最值问题中具有广泛的应用．然而由于其表现形式的多样性。需要经过适,当的变形和处理．本文结合典型例题给出了巧用“均值不等式”的几类方法．     

运用均值不等式解题误区例析

均值不等式在解题中应用十分广泛,但部分同学对利用均值不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)认识不足,导致解题失误.本文举例说明应用均值不等式求最值应注意的问题.     

均值定理中的“凑”与“配”

不等式中的均值定理(基本不等式)是高考的重点和热点,同时也是解决很多问题的重要工具,应用均值定理(基本不等式)的前提是满足"一正"、"二定"、"三相等",当题目的条件不满足这一要求时,就需要适当的"凑"与"配".下面结合具体例子予以说明.     

用不等式建模搭建生活应用问题的平台

不等式在解决实际问题中有着十分重要的用途,列不等式是解答范围问题的前提;构造函数关系,活用均值不等式是解答均值问题的主要工具.有关统筹安排、经济核算、污水处理、汽车的最大限速、容器的最大容积、用料最省、购物方式、经济效益问题等常建立不等式模型求解.     

巧用均值不等式证明数学奥林匹克不等式题

<正>均值不等式是一个应用非常广泛的不等式,在证明不等式问题时,为了创设使用均值不等式的条件,常常需要对题中的式子作适当的变形,而变形的出发点又常常是在兼顾所给条件的基础上注意不等式的取等条件．例1 （2022年香港数学奥林匹克试题）     

一个不等式的另证与推广

《数学通报》2018年5月2425号问题提供的解答用到了幂平均不等式、均值不等式以及切比雪夫不等式,本文仅用均值不等式和柯西不等式给出它的一个另证与推广.     

运用均值不等式解题的变形技巧

均值不等式:设a1,a2,…,an∈R+,则a1+a2+…+an/n≥√a1a2…an 当且仅当a1=a2=…=an时,不等式等号成立. 学生在应用时,最感困难的是怎样变形来沟通待解决的问题与均值不等式之间的联系,确实应用均值不等式解题是以适当的变形为基础,可以说恰到好处的变形是应用均值不等式解题的关键.为此,本文归纳运用均值不等式解题的变形技巧,供参考.     

应用均值不等式常规方法巧解竞赛题

均值不等式试题是历年竞赛题的热点内容,利用均值不等式解题的关键是创设应用均值不等式的条件,配合一定的转化、变形、构造技巧,这样可使复杂问题简单化,收到事半功倍的效果.依赖常规方法,转变解题思维,竞赛题也会迎刃而解.     

两类均值不等式的简单应用

<正>极值点偏移问题是近几年高考的热点问题,求解此类问题的一个重要工具就是指数和对数均值不等式.本文借助几类典型例题加以说明,希望能对读者的高考复习提供帮助.一、两个均值不等式1.对数均值不等式结论1 对任意的a,b>0(a≠b),有     

再谈用好均值不等式

均值不等式是初等数学乃至高等数学中应用较为广泛的一个基本不等式.在许多问题的解决中,往往能发挥出它的独特的功能.而要用好均值不等式,常常又涉及到分拆、组合、凑配、放缩等技巧性变形.既有难度,又较为灵活.本文将进一步介绍其有关凑配技巧,从而更加凸现均值不等式的作用.