对“百数问题”的再改进

所谓“百数问题”,是指: “在1～100这一百个自然数中,任取76个,证明一定存在四个数,其中有两个数之和等于另外两个数之和.” 文[1]将76改进为18.本文指出,18还可减为16. 命题 在1～100这一百个自然数中,任取16个,则一定存在四个数,其中有两个数之差等于另外两数之差(“差”的意义是指大数减去小数之差). 分析:为了证明这个命题,我们先规定一些术     

关于集合{1,2,…,n}的一个问题

周春荔老师的“集合的分划与抽屈原理”(《中学生数学》,1995.4)中的例6是:“在1100这一百个自然数中,任取76个,证明定存在四个数,其中有两个数之和等于另     

2006年新年数学趣题

1.计算:2005×20062006-2006×200520052.“祝元旦节快乐、好”七个汉字各应换成什么数字才能使下列算式成立?祝元旦节快乐×好=元旦节快乐祝3.七位数“□2006□□”能同时被4、9、25整除,这个七位数是多少?4.如果时钟现在表示的时间是14时整,那么分针旋转2006圈之后,时钟是多少时整?5.从1、2、3、……、2006这2006个自然数中,最多可以取多少个数,才能使其中每两个数的差不等于5。6.有一列数,第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的平均数,则第2006个数的整数部分是多少?7.一个自然数,各个数位上数字之和是200…     

用“估算、确认、破解”方法解题

有的习题用“估算———确认———破解”的思路来分析思考,能迅速找到答案。例四个连续的自然数的倒数之和等于1920,则这四个自然数两两乘积的和等于多少?一、估算根据条件,经初步计算,确定四个连续自然数的范围。由于四个连续的自然数的倒数之和等于1920,而1920介于1620与2020之间,所以我们可以估算出四个倒数的平均数介于14与15之间,进而继续估算出四个连续自然数的中间两个可能是4与5,另外两个可能是3与6。二、确认检验估算的结果是否符合题意。因为13+14+15+16=1920,所以估算的结果是正确的,这四个连续的自然数是3、4、5、6。三、破解…     

试谈“抽屉原则”

我们先看几个句子：将6个球放到5个抽屉中，不管如何放法至少有一个抽屉中的球数不少于2个。任运13人，至少有两个人出生的月份是相同的任选5个整数，用4除之，至少有两个数的除数（指在余数公式中定义的除数）是相同的。以上实例或概括成抽屉原则：将不少于m＋1个物体，随意放在m个抽屉中去，则至少有一个抽屉中的物体不少于2个。（注意在使用时，关键是设抽屉可代表物，数，任何一个东西，但必须是个整数）证明：（反证法）假定每个抽屉中的物体都少于2个，那么每个抽屉的物体就不会多于1个（有可能没有），那么它们中的物体个数之和也不…     

连续自然数的和与积的一些性质

几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数.     

这三个数中最大的一个是多少

同学们对解数学竞赛题的思路很感兴趣,杜博士特举例和大家共同分析。例:三个连续自然数的和是231,这三个数中最大的一个是多少?(江西省小学生数学比赛选拔赛试题)这是一道有关平均数的计算题。特点:已知三个连续自然数的和,要求这三个数中的最大数是多少,关键是弄清三个连续自然数的特征、平均数的计算公式和平均数与三个连续自然数之间的关系。如1、2、3与6、7、8两组数,都是三个连续自然数。后一个数比前一个数多1。若把中间数作参照数,开头数最小,等于中间数减1;末尾数最大,等于中间数加1。特征:如果已知中间数。那么,三个连续自然数中的…     

“两边夹”在初中数学中

我们知道,的证明是利用以及实现的.我们称这样的思路为“两边夹”.能否让初中学生也掌握这种解题思路呢?在第二课堂中是完全可以办到的.举例如下. 例1 设自然数n有下面性质:从1,2,…,n中任取51个不同的数,这51个数必有两个数之和等于101,这样的n的最大的一个是__     

意料之外 情理之中——几例有趣的数学怪现象 (初一、初二、初三)

1.两数之和=两数之积两个数之和怎么会等于两个数之积呢?不可能!你肯定会这样自问自答,不过,确实有这样的两数存在,如     

幻方的存在性

幻方在我国古代叫纵横图,是由一些连续的整数组成一个满足一定条件的数表。本文以构造的方法证明幻方的存在性.定义1:整数 k～n~2+k-1按某种方法排成1个n×n 矩阵.若矩阵的每行、每列、及两对角线的 n 个数之和均相等,称该矩阵为 k～n 幻方矩阵、或 k～n 幻方.特别、当k=1时称为 n 阶幻方矩阵,或是 n 阶幻方.其每行(列)的 n 数之和称为幻方的和,记为 Sn.由于任何一个 k～n 幻方总可以写成一个 n 阶幻方与(k-1)乘元素为1的方阵之和.所以在本文中只讨论 n 阶幻方.由定义可知,一个 n 阶幻方,其行与行之间、列与列之间的无互不相同,且和相等.因此     

接写的25个自然数的和是多少

问题:已知前面25个自然数的和是325:1+2+3+……+25=325。求接写的25个自然数的和,即26+27+28+……+50=?这是一道求连续自然数的和的巧算题。解题的关键是熟悉等差数列的求和公式,或把数列中每项(每个数)拆分写成两个数的和,应用已知题设巧算。公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2原式共有25个数(项),第一个数(首项)是26,最末一个数(末项)是50,可直接应用公式算和。也可以这样思考,先把每项以25作第一个加数拆分成和:26=25+1,27=25+2,28=25+3,……,50=25+25。然后再分组算和。解题方法:直接应用公式或先拆分再分组求和。解题:方法1原式=(…     

奇妙而神秘的完全数

<正>在自然数中,"6"这个数是非常普通的一个数,然而它却隐藏一个不被人们注意的特性.这就是6的因数有四个,即1,2,3,6.除了它本身以外,其它三个因数的和恰好等于6这个数本身,具有这样特点的数,人们称之为完全数.一般地,如果一个自然数等于除它本身以外的所有正因数之和,则这个数叫做完全数.6是最小的一个完全数.有人做过统计:     

勾股数的特点及构造方法

如果三个正整数中,较小两个数的平方和等于最大数的平方,那么,以这三个数为边长的三角形是直角三角形,因而具备上述特点的三个正整数数称为一组勾股数,简称勾股数.关于勾股数,有一个有趣的特点:三个数中,不存在相等的数,并且至少有一个数为3的倍数,至少有一个数为4的倍数,同时至少有一个数为5的倍数,即如果一组三个正     

神奇的“完全数”

如果一个自然数恰好等于除去它本身以外所有因数之和,这样的自然数叫做“完全数”.它分为奇完全数和偶完全数. 在自然数中,完全数的数量较少,在10000以内只有4个完全数:6,28,496,8128,其中6是最小的完全数.     

一个便捷的计算公式(高一)

题1 在1到100这100个正整数中,最多可选出多少个数,使得其中没有一个数是另一个数的3倍? 解设S1={x|x=3k 1,0≤k≤33}, S2={x|x=3k 2,0≤k≤32}. 令S=S1∪S2∪{9,18,36,45,63,72,81,90,99), 则S中有76个元素,且S中没有一个数是另一个数的3倍. 另一方面,若从1,2,…,100中选出77个数,考虑下列24个数对: (k,3k),k=1,2,12,13,14,…,33,     

奇妙而神秘的完全数

在自然数中,"6"这个数是非常普通的一个数,然而它却隐藏一个不被人们注意的特性。这就是6的因数有四人,即1,2,3,6。除了它本身以外,其它三个因数的和恰好等于6这个数本身,具有这样特点的数,人们称之为完全数。在数学中,如果一个自然数等于除它本身以外的所有正因数之和,则这个数叫做完全数。6是最小的一个完全数。有1人做过统计     

概率问题的五个切入点

学会运用“古典概型的概率公式”解题 例1有20张卡片．每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k＋1,其中矗=0,1,2,…,19．从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0=10）不小于14”为A,则P（a）=——．     

判定M=n(n+1)的若干方法

本文介绍判断一个自然数是否等于两个相邻自然数之积的若干方法,供参考。一、末位数法根据“相邻两自然数之积的末位数只能是0、2、6”可以判断一个自然M不等于相邻两自然数之积,只须证明M的个位数不是0、2、6。例1.求证对于任意自然数n,n~2+n+1都不能被25整除。证明:因为n~2+n+1=n(n+1)+1的末位数只能是 1、3、7,所以n~2+n+1不能被5整除。故对任意自然数n,n~2+n     

四个孩子的年龄

有四个孩子,恰好一个比一个大一岁。他们的年龄相乘等于3024。算一算,这四个孩子的年龄是多少?解答:1.因数法:3024是四个数的乘积,至少包含四个因素,我们可以看看它有哪些因数:3024=2×2×2×2×3×3×3×7题目需求的是四个因数,而且四个因数是四个相连的数。在这八个因数中,最     

你会做吗?

1、你能将自然数1—9排列在下面6个正方形的四角,使每个正方形四角的4个数之和等于20吗? 2、你能把自然数1—13排列在下面11个正方形的四角,使每个正方形四角的4个数之和等于28吗? 据美国 Teaching K—8 1992年第11、12期。