引发逆向思维的几种情形

<正>一、由因式的分解引发逆向思维例1(¹/25-1/25-¹/23)2(8+21/23)2(8+2¹/215).分析大多数学生是从先算平方,再按多项式法则展开、合并这一常规解法.注意到8+21/215).分析大多数学生是从先算平方,再按多项式法则展开、合并这一常规解法.注意到8+2¹/215这个式子的结构特征,这个式子能"分解因式"成(1/215这个式子的结构特征,这个式子能"分解因式"成(¹/25+1/25+¹/23)2,故原式等于(1/23)2,故原式等于(¹/25-1/25-¹/23)2(1/23)2(¹/25+1/25+¹/23)2,此时再逆用积的乘方公式即可.解∵8+21/23)2,此时再逆用积的乘方公式即可.解∵8+2¹/215=5+3+21/215=5+3+2¹/215=(21/215=(2¹/25)2+(1/25)2+(¹/23)+21/23)+2¹/215=(1/215=(¹/25+1/25+¹/23)2,     

一道高考题的求解策略及深入探究——剖析2018年上海高考第12题

<正>1试题呈现已知实数x_1、x_2、y_1、y_2满足x_1²+y_12+y_1²=1,x_22=1,x_2²+y_22+y_2²=1,x_1x_2+y_1y_2=1/2,则|x_1+y_1-1|/2(1/2)+|x_2+y_2-1|/2(1/2)的最大值为.本题为2018年上海市高考数学试题第12题,从题面上看,考查的是以"绝对值和方程"为载体、不等式为主线的典型问题,着重考查学生分析问题、解决问题的能力,能够检验学生对曲     

利用转换思想巧解题

一、"整"化"零"的转换"整""零"转换是将所求问题的整体分解成若干个局部或将各个局部整合在一起,这样化难为易,最终目的还是化整为零.例1已知a、b∈R,求证（a2+b2）^1/2+（（2-a）2+b2）^1/2+（（1-a）2+（（3）1/2-b）2）^1/2>3.分析:根据两点间的距离公式,要证不等式的几何意义就     

“不等”中挖掘“等”的辩证解题模式

在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x²+y²+z²=1,x+2y+3z=（14）^1/2,则x+y+z=_<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²,因为x²+y²+z²=1,所以（x+2y+3z）²≤14,即得x+2y     

用“1”巧证不等式

1.利用"1=1ⁿ"例1设x,y,z∈R⁺,且x+y+z=1,求证:x²+y²+z²+2（3xyz）^1/2≤1.分析注意到原不等式左、右边式子中指数的差异及条件x+y+z=1,故把不等式右边的"1"构造为1=1²=（x+y+z）².证明原不等式可转化为     

巧用一元二次方程解题

例1已知3x-3^1/2y+z=0,求证y²≥4xz.分析待证的"y²≥4xz",类似于"b²≥4ac".现在所要解决的问题就是将"3x-3^1/2y+ z=0"中的"x,y,z"由通常的主元地位降至参数.而"3X-3^1/2y+z=0"中的3=(3^1/2)²,给我们提供了"二次"与"一次"的关系,于是本题可     

一道不等式证明题的构造性解法~

已知:a、b、c、d∈R,求证:ac+bd≤（a²+b²）^1/2.（c²+d²）^1/2.本题从比较法、分析法或综合法入手,都可以进行证明.但在教学过程中可以通过引导学生从不同角度、不同层次进行观察,运用各种思维方式,充分调动学生已有的数学认知结构,构造出不同的数学形式,达到解决问题的目的.同时,在教学过程中要教给学生在解决问题的时候应对什么进行构造,构造成什么,怎么构造,实行数学构造思想方法在教学中的     

形似神似与形似神非——记三类双根式函数最值问题的求解

一、前言在一次高三"推门"听课过程中,碰到这样一个问题,求函数f（x）=（2-x）^1/2+（x-1）^1/2的最值.学生很快通过两边平方结合二次函数性质,求得当x=3/2时,函数有最大值2^1/2;当x=1或2时,函数取到最小值.紧接着教师又抛出了三个形似问题,分别求下列函数的最     

用放缩法简证一道竞赛题

题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证（a+1/4（b-c）²）^1/2+b^1/2+c^1/2≤3^1/2.（07年女子数学奥林匹克）分析所证不等式中（a+1/4（b-c）²）^1/2的出现,给解题增加了难度.如果由此入手,寻找问题突破口,就会发现"（a+1/4（b-c）²）^1/2"可以放大为"(a+1/2(b^1/2-c^1/2)²)^1/2",从而用放缩法求     

错在哪里

<正>数学是一门严谨的科学,解决数学问题要有严谨的态度.然而,在解决数学问题的过程中常常有一些细节性错误,很难发现.下面是学生作业中偶得一例,写出来与大家共享.一、问题与解答问题在△ABC中,a=3,b=2,cosA=1/3.求(1)sinB;(2)求c.解(1)根据正弦定理,可得sinB=42^(1/2)/9;(2)解法1根据余弦定理a(1/2)/9;(2)解法1根据余弦定理a²=b2=b²+c2+c²-2bccosA.     

立足“三个理解” 打造有效课堂——基本不等式证明的教学设计与反思

<正>一、教学过程实录1.情境引入,激发兴趣问题1你会比较下列各数的大小吗?(1)1+2/2__2¹/2;(2)7+5/2__351/2;(2)7+5/2__35¹/2;(3)1/2+3/2/2__31/2;(3)1/2+3/2/2__3¹/2/2;(4)5+5/2__5.设计意图不等关系的知识,学生已经学习过,从学生已有的知识入手,可以让学生有亲切感,不至于无从下手.鉴于学生的学习能力与认知水平,问题1的设置相对比较简单,学生很容易完成,从而刚上课让学生体会到初战告捷的成功感,使学生提升学生的求     

再解第45届俄罗斯数学奥林匹克竞赛试题

题目证明:对于任意ΔABC,不等式a cos A+b cos B+c cos C≤p成立,其中a,b,c为ΔABC的三边,A,B,C分别为它们的对角,p为半周长.解法1:原不等式等价于a(1-2 cos A)+b(1-2 cos B)+c(1-2 cos C)≤0①.由余弦定理,不等式①等价于a⁴+b⁴+c⁴-2(a²b²+b²c²+a²c²)+a²bc+b²ca+c²ab≥0②.要证明②式,只需证明(a²+b²+c²)2-4(a²b²+b²c²+a²c²)+abc(a+b+c)≥0,即证明(a²+b²+c²)3-4(a²b²+b²c²+a²c²)(a²+b²+c²)+abc(a+b+c)(a²+b²+c²)≥0③.由均值不等式可得abc(a+b+c)(a²+b²+c²)≥abc·33 abc·33 a²b²c²=9a²b²c².故要证③式,只需证(a²+b²+c²)3-4(a²b²+b²c²+a²c²)(a²+b²+c²)+9a²b²c²≥0④,由舒尔不等式可知④式显然成立,因此原不等式得证.     

双曲线中三线共点问题探究

<正>"三线共点"问题是双曲线中较为常见的问题.通常可以先联立两条直线方程,求出交点,再将交点坐标代入第三条直线方程中来验证.这类问题的解决往往要结合双曲线的定义、几何性质,变化较多,难度较大.下面以一道联考题引入并作一些探究.例1已知双曲线(x²)/(a2)/(a²)-(y2)-(y²)/(b2)/(b²)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x2)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x²+y2+y²=a2=a²的一条切线分别交双曲线的左,右     

这是“循环论证”吗

1.问题与争论.某次初三调研试卷中有这样一道试题:知识回顾:在学习"二次根式"时,我们知道:2^1/2+3^1/2≠5^1/2;在学习"勾股定理"时,由于2^1/2、3^1/2、5^1/2满足等式(2^1/2)²+(3^1/2)²=(5^1/2)²,因此以2^1/2、3^1/2、5^1/2为边长的线段能构成直角三角形.     

例说分式求值的技巧

<正>分式求值同题是初中数学的重要内容.分式的形式多样,我们在解答此类问题时,要有灵活的解题策略,才能快速、准确地求解,下面举例说明.例1已知x/(x²+x+1)=-2,求x2+x+1)=-2,求x²/(x2/(x⁴+x4+x²+1)的值.解析取已知等式的倒数,有(x2+1)的值.解析取已知等式的倒数,有(x²+x+1)/x=-1/2,即x+1/x=-3/2.再取所求值的倒数,得     

对一道中考题的探究

<正>内蒙古赤峰市曾有一道中考题如下:观察一组式子:3²+42+4²=52=5²,52,5²+122+12²=132=13²,72,7²+242+24²=252=25²,92,9²+402+40²=412=41²,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a2,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a²+b2+b²=c2=c²,我们知道满足a2,我们知道满足a²+b2+b²=c2=c²的正整数a、b、c叫勾股数.其中,第一个数为奇数,最大的数与较大的数差为1.     

求解最值问题的几种思路

<正>最值问题涉及的知识面较广,解法灵活多变,蘊含着丰富的数学思想方法,对发展学生的思维,提升学生解题能力起着十分重要的作用.本文举例介绍这类问题的常见思路和方法.一、利用非负数的性质在实数范围内,显然有m²+n2+n²+p≥p,当     

对一道高考题的探究

<正>2015年高考四川卷理科第20题是高考试题中考察圆锥曲线的典型类型.该题内涵丰富,具有进一步研究的价值.本文通过"特殊到一般"的归纳和"类比"思想对其展开了一系列的探究.一、试题再现如图1,椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率是     

何惧白璧微瑕——谈“点差法”在圆锥曲线过定点问题的改进

<正>1问题背景在圆锥曲线问题中,"点差法"即代点相减法,对于解决中点弦方程、弦中点轨迹方程以及对称问题等方面都非常有效,堪称利器^([1,2]).然而,"点差法"有时却会失效,导致错误的答案([1,2]).然而,"点差法"有时却会失效,导致错误的答案^([3]).以笔者所在学校的高二数学月考题为例:例1已知直线l经过定点(0,1),被双曲线x([3]).以笔者所在学校的高二数学月考题为例:例1已知直线l经过定点(0,1),被双曲线x²-y2-y²/4=1所截得的弦的中点轨迹方程是.大部分学生由"点差法"可求出轨迹方程,结果是4x2/4=1所截得的弦的中点轨迹方程是.大部分学生由"点差法"可求出轨迹方程,结果是4x²-y2-y²+y=0,但正确答案是4x2+y=0,但正确答案是4x²-y2-y²+y=0,y∈(-∞,     

从一个无理数的证明谈起

<正>1问题呈现命题1若n为正整数,则n^(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2)为无理数.文[1]在证明命题1时,运用了反证法,不妨摘录其中的一段,如下:"假设n(1/2)为无理数.文[1]在证明命题1时,运用了反证法,不妨摘录其中的一段,如下:"假设n^(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2)为有理数,则存在互质的正整数a和b,使n(1/2)为有理数,则存在互质的正整数a和b,使n^(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2)=a/b,得(n+1)(1/2)=a/b,得(n+1)^(1/2)=a/b-n(1/2)=a/b-n^(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)^(1/2).于是又得